Thermoelasticity in multilayer structureswith variable physical properties of the medium

Full Text

Сложности решения задач термоупругости с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды состоят в нелинейности исходной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, а также в необходимости выполнения условий сопряжения в виде равенства напряжений и перемещений в точках контакта слоев. Применительно к решению указанных задач в настоящей работе применен метод построения систем координатных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения. Путем использования ортогонального метода Бубнова - Галеркина решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений сведено к решению системы алгебраических линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов, число которых равно числу приближений. Получение аналитического решения в данном случае оказывается возможным благодаря использованию глобальной (одинаковой для всех слоев) системы неизвестных коэффициентов. Математическая постановка задачи термоупругости для длинного полого цилиндра (плоская деформация) в случае, когда модуль упругости и коэффициент линейного расширения в пределах каждого слоя являются произвольными функциями радиуса, имеет вид [1, 2] (рис. 1) , (1) ) где - перемещение i-го слоя; , , - модуль упругости, коэффициент линейного расширения и температура i-го слоя; - коэффициент Пуассона; - радиальная координата; - число слоев. Рис. 1. Схема многослойного полого длинного цилиндра В случае, когда и , система уравнений (1) приводится к виду (2) ) Напряжения в каждом слое по известному перемещению определяются по формулам ; (3) , (4) где - радиальное и окружное напряжения в i-м слое. Основную идею метода рассмотрим на примере решения задачи (2)-(4) применительно к двухслойному цилиндру с постоянными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды, отмечая при этом, что без каких-либо изменений данный метод может быть применен и к решению задач термоупругости для многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами. Граничные условия и условия сопряжения применительно к задаче (2)-(4) для двухслойного цилиндра (i = 1, 2) имеют вид (5) ; (6) ; (7) (8) где ; ; ; ; ; . Введем следующие безразмерные переменные и параметры: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; , (9) где , , масштабные значения перемещения, температуры и напряжения. С учетом принятых обозначений задача (2), (5) - (8) принимает вид ; (10) ; (11) ; (12) (13) , (14) где βi = (1 + νi)/(1 - νi); i = 1, 2; Формулы (3), (4) для безразмерных напряжений будут ; (15) (i = 1, 2). (16) Найдем решение задачи (10) - (16) для случая, когда температура в каждом слое описывается следующей функцией: , (), (17) где ; ; ; . Соотношение (17) в безразмерном виде для каждого слоя будет ; . (18) Решение задачи (10) - (14) принимается в виде [3] ; (19) , (20) где , функции, неизвестные коэффициенты которых определяются так, чтобы выполнялись неоднородные граничные условия (11) и (12), неоднородное условие сопряжения (13) и однородное условие сопряжения (14); , координатные функции, неизвестные коэффициенты которых находятся из однородных граничных условий (11), (12) и однородных условий сопряжения (13), (14), то есть при равенстве нулю всех членов, находящихся в произведении с и ; неизвестные коэффициенты (одинаковые для каждого слоя), определяемые из выполнения дифференциальных уравнений (10). После нахождения методом неопределенных коэффициентов и соотношения (19), (20) при любых значениях неизвестных коэффициентов будут точно удовлетворять граничным условиям (11), (12) и условиям сопряжения (13), (14). Для определения неизвестных коэффициентов составляется невязка уравнений (10) и требуется ортогональность невязок ко всем координатным функциям и , то есть Подставляя (19), (20) в (21), после определения интегралов относительно неизвестных коэффициентов будем иметь систему n - 2 алгебраических линейных уравнений. После определения неизвестных коэффициентов перемещения находятся по формулам (19), (20). Напряжения и по известным перемещениям находятся из соотношений (15) - (16). Исходные данные для решения задачи были следующие [3, 4, 5]: м; м; м; ; кг/м2; кг/м2; кг/м2; /К; /К; ºС; м. Результаты расчетов безразмерных радиальных и окружных напряжений по формулам (15), (16) во втором, шестом и десятом приближениях даны на рис. 2 - 7. Их анализ позволяет сделать вывод о том, что радиальные напряжения имеют отрицательный знак (сжатие). При этом на внешних поверхностях стенок , как это следует из граничных условий (11), (12), они равны нулю. Окружные напряжения в пределах первого слоя имеют отрицательный знак, а в пределах второго - положительный (растяжение). В точке контакта слоев наблюдается скачок окружных напряжений. Оценка точности получаемых решений выполнялась путем определения невязки уравнений (10), которая, как показали исследования, с увеличением числа приближений уменьшается. Рис. 2. Изменение радиальных напряжений (второе приближение) Рис. 3. Изменение окружных напряжений (второе приближение) Рис. 4. Изменение радиальных напряжений (шестое приближение) Рис. 5. Изменение окружных напряжений (шестое приближение) Рис. 6. Изменение радиальных напряжений (десятое приближение) Рис. 7. Изменение окружных напряжений (десятое приближение) Математическая постановка задачи термоупругости для двухслойного цилиндра при постоянных в пределах каждого слоя физических свойствах среды имеет вид [3 - 5] (22) (23) (24) (25) (26) Общий интеграл уравнения (22) записывается в виде (27) где - постоянные интегрирования. Формулы для определения радиальных и окружных напряжений в i-ом слое имеют вид (28) (29) Для определения постоянных интегрирования используются граничные условия (23), (24) и условия сопряжения (25), (26). Подставляя (27) в (23) - (26), относительно постоянных интегрирования получаем систему из четырех алгебраических линейных уравнений вида (30) где После определения постоянных интегрирования из решения системы уравнений (30) перемещения и напряжения находятся по формулам (27) - (29). На рис. 8 - 11 приведены графики распределения окружных и радиальных напряжений при тепловом ударе (граничные условия первого рода) различной интенсивности на внешней поверхности цилиндра. В частности, для различных вариантов расчета температура на поверхности была равной . При этом распределение температуры во втором слое принималось линейно изменяющимся от нуля в точке контакта до величины температуры на поверхности при соответствующем варианте расчета. Температура по всей толщине первого слоя была одинаковой и равной . Физические свойства слоев для двухслойного цилиндра были следующие: Рис. 8. Распределение окружных напряжений и температуры в двухслойном цилиндре: - напряжения σθ (расчет по формуле (29)); - распределение температуры Рис. 9. Распределение радиальных напряжений и температуры в двухслойном цилиндре: - напряжения σr (расчет по формуле (28)); - распределение температуры На графиках рис. 10, 11 приведены результаты расчета окружных и радиальных напряжений в случае, когда физические свойства слоев различны. Их анализ позволяет заключить, что окружные напряжения в точке контакта имеют разрыв (см. рис. 8, 10). При этом на внешней поверхности наблюдаются окружные напряжения сжатия, а на внутренней - растяжения. Особенностью радиальных напряжений является наличие излома кривых в точке контакта слоев (см. рис. 9, 11). На рис. 10, 11 приведены окружные и радиальные напряжения для двухслойного цилиндра в случае, когда температура в пределах второго слоя принимается одинаковой по его толщине (Т2 = 250; 500; 750; 1000 оС) при неизменной и равной температуре первого слоя. Такое распределение температуры может наблюдаться при существенно отличающихся коэффициентах теплопроводности слоев, когда теплопроводность второго слоя значительно превышает теплопроводность первого. Рис. 10. Распределение окружных напряжений и температуры в двухслойном цилиндре: - напряжения σθ (расчет по формуле (29)); - распределение температуры Рис. 11. Распределение радиальных напряжений и температуры в двухслойном цилиндре: - напряжения σr (расчет по формуле (28)); - распределение температуры Анализ температурных напряжений для этого случая позволяет заключить, что окружные напряжения в точке контакта слоев имеют значительный скачок (см. рис. 10). При этом на внешнем слое цилиндра наблюдаются окружные напряжения сжатия, а на внутреннем - растяжения. Радиальные напряжения имеют положительный знак при изломе кривых в точке контакта слоев. Рис. 12. Невязка уравнений (10) (второе приближение) Рис. 13. Невязка уравнений (10) (шестое приближение) На рис. 12, 13 показано изменение невязки уравнений (10) в диапазоне независимой переменной r1 ≤ r ≤ r3 во втором и шестом приближениях. Анализ графиков позволяет заключить, что с увеличением числа приближений невязка уменьшается. Выводы 1. При использовании системы координатных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения, получено приближенное аналитическое решение задачи термоупругости для двухслойного цилиндра с переменными физическими свойствами среды. Использование глобальной системы неизвестных коэффициентов позволяет свести решение исходной системы обыкновенных дифференциальных уравнений к решению системы алгебраических линейных уравнений, число которых равно числу приближений. Показано, что с увеличением числа приближений точность получаемого решения возрастает, что подтверждается уменьшением невязки исходных дифференциальных уравнений. 2. Показано, что при воздействии теплового удара на внешней поверхности цилиндра окружные температурные напряжения имеют противоположные знаки на внешней (отрицательные - напряжения сжатия) и внутренней (положительные - напряжения растяжения) поверхностях. В точке контакта слоев наблюдается скачок окружных напряжений, величина которого зависит от соотношения физических свойств слоев. 3. Максимальные окружные напряжения растяжения устанавливаются в момент времени, когда фронт температурного возмущения достигает внутренней поверхности цилиндра. Полученный результат позволяет сделать вывод, что окружные температурные напряжения растяжения могут достигать значительных величин на внутренних поверхностях цилиндрических тел, несмотря на отсутствие на них тепловой нагрузки. 4. Максимальные величины окружных напряжений растяжения, а также их скачок в точке контакта слоев наблюдаются в случае, когда температура внешнего слоя постоянна по его толщине (высокотеплопроводный материал) и превышает температуру внутреннего слоя (см. рис. 10, 11). Этот факт позволяет сделать заключение о том, что удаление различного рода отложений (накипь, кокс и прочее) на внутренних поверхностях трубопроводов посредством создания в слое отложений больших значений окружных напряжений, значительно превышающих предел прочности их материала, возможно путем создания теплового удара на наружных поверхностях трубопроводов.

About the authors

Anastasiya E Kuznetsova

Samara State Technological University

Email: kuznetsovaae@rambler.ru
Assistant 244, Molodogvardejskaya st., Samara, 443100, Russia

References

Supplementary files