On the determination of a joint density function for one class of discrete stochastic processes

Full Text

Известно, что одними из лучших по свойствам оценок являются правдоподобные оценки. Они являются состоятельными, асимптотически нормальными и асимптотически эффективными [1]. Но часто решение задачи их оценивания бывает затруднено в силу того, что для их получения необходима дополнительная информация о законах распределения анализируемых данных и, самое главное, независимости отсчетов. Здесь рассматривается один из подходов, который позволяет упростить решение задачи получения оценок. Это достигается путем специального преобразования выборки, что позволяет построить функцию правдоподобия [2]. Пусть имеем дискретный стационарный центрированный случайный процесс с дисперсией и корреляционной функцией: Известно [3], что совместная плотность распределения любого центрированного процесса с нормальным законом распределения имеет вид где - среднеквадратическое отклонение; - определитель нормированной корреляционной матрицы; - элементы матрицы, обратной нормированной корреляционной. Наша задача состоит в определении для рассматриваемого случая величин . Эти величины будем находить из системы уравнений Здесь - элемент нормированной корреляционной матрицы, - cимвол Кронекера. С учетом выражения (1) для вычисления определителя нормированной корреляционной матрицы получены следующие соотношения: Здесь - определитель нормированной корреляционной матрицы размерности . На основании этого из системы уравнений (3) находим, что Подставив из соотношения (5) в выражение (2), получим: Для примера приводим ряд практически важных случаев: 1) известный случай, когда процессы некоррелированы, : 2) нормированная корреляционная функция : ; 3) нормированная корреляционная функция : Рассмотрим применение полученных результатов для параметрического оценивания корреляционной функции стационарного случайного процесса. Пусть имеется центрированный стационарный случайный процесс с корреляционной функцией Здесь - дисперсия процесса; - параметры корреляционной функции, . Ставится задача правдоподобного оценивания этих параметров. Для этого возьмем выборку значений этого процесса: Из этой выборки сформируем другую [2]: Процесс удовлетворяет условию (1), где Подставив из соотношения (8) в выражение (2), получим функцию правдоподобия, рассматриваемую как функцию четырех параметров: . Значения этих параметров находятся из условия максимума функции правдоподобия. По найденному значению находится При практическом применении удобно для простоты ввести обозначения: В этом случае Предложенный метод, во-первых, расширяет круг моделей корреляционных функций, параметры которых могут быть правдоподобно оценены, и, во-вторых, делает их оценивание достаточно простым. Такой подход может быть применен не только для корреляционного анализа, но и для построения различных моделей взаимосвязи.

About the authors

Igor I Volkov

Samara State Technical University

Email: shade30@gmail.com
(Ph.D. (Techn.)), Associate Professor 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia

Sergey V Fedorov

Samara State Technical University

Email: shade30@gmail.com
Teacher 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia

References

Supplementary files