Determining Natural bending frequency of a machine-tool spindle taking into account bearing anisotropic elasticity

Full Text

Повышение точности обработки на металлорежущих станках наряду с увеличением диапазона регулирования привода главного движения и конструктивным упрощением шпиндельных узлов диктует необходимость поиска резервов в прогнозировании динамических процессов и разработке мероприятий по снижению возможных резонансных явлений. Использование теоретических положений, разработанных для роторных систем [1-6], для исследования динамических процессов в шпиндельных узлах требует учета ряда особенностей шпинделей, не нашедших отражения в имеющихся моделях. Первая особенность состоит в том, что современные шпиндели представляют собой массивные валы с участками, несущественно отличающимися по диаметру, что позволяет при рассмотрении динамики шпинделя пренебречь гироскопическими силами и рассматривать шпиндель как вал постоянного сечения. Еще одной особенностью шпиндельных узлов является необходимость обеспечения высокой жесткости шпиндельного узла в зоне обработки, в связи с чем радиальная жесткость передней опоры обычно в несколько раз превышает жесткость задней. Кроме того, как показывают эксперименты, жесткость опор носит анизотропный характер, то есть не является одинаковой для различных радиальных направлений. Причем анизотропность может быть постоянной, связанной с упругими характеристиками системы «тела качения - наружное кольцо - корпус» и имеющей угловую привязку к корпусу шпиндельного узла, и переменной, связанной с вращением шпинделя: система «тела качения - внутреннее кольцо - вал». Ограничимся рассмотрением годографа в виде овальности, характеристика которой оценивается соотношением размеров и и их ориентацией относительно координатной системы (рис. 1). Рис. 1. Годограф жесткости Рис. 2. Ориентация годографов в виде овальности жесткости опор шпинделя Поскольку выбор координатной системы произволен, будем считать, что и для годографа жесткости совпадают соответственно с координатными осями и . Рассматривая анизотропию податливости задней опоры шпинделя, следует учесть ее произвольную ориентацию относительно выбранной по передней опоре ориентации системы координат (рис. 2). Тогда ; . (1) Представим динамическую модель шпиндельного узла как одномассовую с массой , сосредоточенной в точке, определяемой координатами и , совершающую изгибные колебания. Упругие свойства системы учтем изотропной упругостью тела шпинделя и анизотропной упругостью каждой из опор (рис. 3), где - смещение массы ; - жесткость передней и задней опор соответственно; - смещения оси шпинделя в передней опоре; - смещения оси шпинделя в задней опоре. Для определения собственных частот воспользуемся энергетическим методом. Используя уравнения Лангранжа второго рода и учитывая, что потенциальная энергия системы будет складываться из потенциальной энергии деформации опор и шпинделя, получим (2) где - жесткость упругой изгибной деформации шпинделя в точке расположения массы ; - перемещения массы вследствие деформации опор (рис. 4): ; . (3) Рис. 3. Динамическая модель Рис. 4. Перемещения массы изгибных колебаний шпинделя вследствие деформации опор При и обобщенных координат остается всего четыре , и при , учитывая (3), получим (4) Полученная система (4) совпадает с системой, разработанной для случая и анизотропных, но одинаковых опор [7]. Рассматривая третье и пятое уравнения системы (2), получим , (5) где . (6) Подставив выражение (5) в первое уравнение системы (2), получим , (7) где - приведенный коэффициент жесткости: . (8) Из уравнения (7) можно найти собственные частоты: . (9) Используя второе, четвертое и шестое уравнения системы (2), получим выражения для координаты : , где ; (10) . (11) Из выражения (8) при и легко получается приведенный коэффициент жесткости для симметричного расположения массы и одинаковых опор, рассмотренный в [7]: . Преобразуем выражения (8) и (10), подставив в них соответственно (6) и (11): ; (12) . (13) Таким образом, приведенный коэффициент жесткости по соответствующей координате и соответственно собственная частота изгибных колебаний зависят: - от расположения центра масс по длине шпинделя (значение ); - от жесткости передней опоры ( или ); - от соотношения жесткостей передней и задней опор ( и ); - от соотношения жесткостей передней опоры и тела шпинделя ( и ). Учитывая овальность годографа жесткости, следует отметить, что приведенный коэффициент жесткости и собственная частота изгибных колебаний будут меняться по мере вращения шпинделя при повороте на 90: . (14) Разработка 3D-модели шпиндельного узла токарного станка мод. 16Б16Т1, у которого 365 мм, позволила определить массу вращающегося ротора , положение центра тяжести (,) и жесткость тела шпинделя для двух случаев: - модель I - тело шпинделя (= 20,9 кг; 180 мм; 185 мм; 2,49  105 Н/мм); - модель II - тело шпинделя с шестерней перебора, полумуфтой и патроном (m = 56,5 кг; 354 мм; 11 мм; 182  105 Н/мм). Жесткость опор шпинделя токарного станка мод. 16Б16Т1, рассчитанная по зависимостям, приведенным в [8], составила соответственно 871612 Н/мм; 375150 Н/мм. Обозначая овальность годографов жесткости передней опоры через и задней - через и считая, что значения жесткостей опор и связаны с предельными значениями выражениями ; , получим ; ; ; . (15) Подставив (15) в выражения (12) и (13), получим значения приведенных коэффициентов жесткости по соответствующим осям: ; (16) . (17) Таким образом, полученные выражения учитывают форму годографа жесткости передней опоры (параметр ) и форму и ориентацию годографа жесткости задней опоры (параметры и ). Так как ориентация годографа жесткости задней опоры носит случайный характер, то и могут принимать любые значения в диапазоне от до . Таким образом, приведенные коэффициенты жесткости имеют не фиксированное значение, а определяются некоторым диапазоном, связанным с возможным варьированием и (или ). Результаты расчета приведенных коэффициентов жесткости шпиндельного узла токарного станка мод. 16Б16Т1 для обеих расчетных моделей приведены в таблице. Приведенные коэффициенты жесткости (Н/мм) шпиндельного узла токарного станка мод. 16Б16Т1 3D-модель I 1,88 · 105 2,11 · 105 1,83 · 105 2,08 · 105 II 8,80 · 105 11,55 · 105 5,96 · 105 8,80 · 105 Объединенный диапазон изменения приведенного коэффициента жесткости (Н/мм) по осям и (изменения и ) составляет для модели I - 1,83 · 105...2,11 · 105, а для модели II - 5,96 · 105...11,55 · 105. Так как изменение приведенного коэффициента жесткости для расчетных моделей связано не только с изменением положения центра тяжести, но и с изменением массы шпинделя, то оценим собственные частоты изгибных колебаний , Гц, с учетом диапазонов варьирования приведенного коэффициента жесткости: для модели I диапазон изменения составит 2957,00...3174,49; для модели II - 3247,96...4519,91. Представляет интерес оценка влияния упругих характеристик опор шпинделя, формируемых при конструировании (выбор конструкции опоры и типа подшипников) и при сборке (величина предварительного натяга), на изменение величины и диапазон приведенных коэффициентов жесткости и . Для этого были рассчитаны значения и для следующих случаев: - при увеличении жесткости передней опоры путем введения для увеличивающего коэффициента 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; - при увеличении жесткости задней опоры путем введения для увеличивающего коэффициента 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; - при одновременном увеличении жесткости обеих опор. Результаты сравнения приведенных коэффициентов жесткости и при увеличении только жесткости передней опоры и при одновременном увеличении жесткости обеих опор путем введения для и увеличивающего коэффициента 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5 приведены на рис. 5 и 6. а б Рис. 5. Изменения приведенных коэффициентов жесткости при одновременном увеличении жесткости обеих опор (С0Y) и увеличении жесткости только передней опоры (CY): а - расчетная модель I; б - расчетная модель II а б Рис. 6. Изменения приведенных коэффициентов жесткости при одновременном увеличении жесткости обеих опор (С0Z) и увеличении жесткости только передней опоры (CZ): а - расчетная модель I; б - расчетная модель II Из приведенных графиков следует, что увеличение жесткости обеих опор более существенно сказывается на уровне приведенных коэффициентов жесткости. Однако это наблюдается только для расчетной модели I. Для расчетной модели II, у которой центр тяжести расположен вблизи передней опоры, влияние жесткости задней опоры практически не наблюдается. Для расчетной модели I одновременное увеличение жесткости обеих опор приводит к некоторому незначительному уменьшению диапазона изменения приведенных коэффициентов жесткости по сравнению с диапазонами, полученными при изменении жесткости только передней опоры. Выводы: Получены зависимости, позволяющие оценить величины собственных изгибных колебаний шпинделя с учетом собственной жесткости шпинделя, межопорного расстояния, жесткостей опор шпинделя. В отличие от существующих методик при определении собственных изгибных колебаний шпинделя учтена анизотропия жесткостей опор, связанная с погрешностями монтажа, и для случая годографа жесткости в виде овальности показано влияние взаимной ориентации годографов жесткостей передней и задней опор. Показано, что наличие анизотропии жесткостей опор шпинделя приводит к появлению диапазона собственных изгибных частот шпинделя, что существенно затрудняет проведение диагностических мероприятий.

About the authors

Alexander F Denisenko

Samara State Technical University

(Dr. Sci. (Techn.)), Professor. 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100

Mihail V Yakimov

Samara State Technical University

Senior Lecture. 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100

References

Supplementary files