Obtaining solutions of hyperbolic heat conduction equations with boundary conditions of third kind

Full Text

В работах [1-3] дана последовательность получения и результаты исследования точного аналитического решения гиперболического уравнения теплопроводности для пластины с симметричными граничными условиями первого рода. И, в частности, было показано, что в процессе нагрева (охлаждения) пластины на фронте температурного возмущения наблюдается скачок температуры. При достижении фронтом возмущения центра пластины возникает обратная волна, также имеющая скачок температуры на ее фронте. В процессе детального исследования полученного решения было обнаружено, что в отдельные моменты времени процесса охлаждения температура на некоторых участках внутри пластины может оказаться меньшей температуры, заданной граничными условиями первого рода. Причиной полученных результатов является инерционность теплового потока, определяемого формулой , (1) где - коэффициент релаксации (время релаксации); - скорость тепловой волны; коэффициент температуропроводности. Из формулы (1) следует, что когда градиент температуры становится равным нулю (), тепловой поток не исчезает мгновенно, а затухает со временем релаксации. Такая закономерность изменения теплового потока приводит к осцилляциям температуры внутри пластины в процессе теплообмена, которые в отдельные моменты времени могут проникать в область отрицательных значений температур. Для рассмотрения и анализа особенностей теплообмена при краевых условиях третьего рода найдем решение задачи вида ; (; (2) ; (3) ; (4) ; (5) , (6) где ; ; ; ; - безразмерная температура; - относительная координата; - число Фурье; ; - число Био; - температура; - время; - координата; - толщина пластины; - начальная температура; - температура среды; - коэффициент теплоотдачи; - коэффициент теплопроводности. С целью упрощения процесса получения решения задачи (2)-(6) инерционностью теплового потока в граничном условии третьего рода пренебрегаем. Отметим, что при больших значениях (или при малых величинах ) данное допущение практически не будет влиять на получаемое решение. Решение задачи (2) - (6) принимается в виде . (7) Подставляя (7) в (2), находим ; (8) , (9) где - некоторая постоянная. Подставляя (7) в (5), (6), находим граничные условия для уравнения (9): ; (10) . (11) Решение задачи Штурма - Лиувилля (9)-(11) принимается в виде . (12) Соотношение (12) удовлетворяет уравнению (9) и граничному условию (10). Подставляя (12) в (11), получаем . (13) Отсюда относительно получаем следующее тригонометрическое уравнение: . (14) Уравнение (14) для любого конкретного удовлетворяется лишь при некоторых дискретных значениях величины , называемых собственными значениями. Например, при получаем (15) Значения , определяемые по формуле (15), совпадают с собственными числами краевой задачи Штурма - Лиувилля при граничных условиях первого рода. Для любых других значений числа уравнение (14) решается численными методами или графически. Для однородного дифференциального уравнения (8) можно записать следующее характеристическое уравнение: (16) Если , то уравнение (16) для любого собственного значения имеет два действительных отрицательных корня и : (17) С учетом найденных величин и решение уравнения (8) для каждого собственного значения будет , (18) где - неизвестные коэффициенты, определяемые из начальных условий (3), (4). Подставляя (12), (18) в (7), находим (19) Каждое частное решение (19) точно удовлетворяет уравнению (2) и граничным условиям (5), (6). Для выполнения начальных условий (3), (4) составим сумму частных решений: . (20) Подставляя (20) в (4), получаем . (21) Подставляя (20) в (3), с учетом (21) находим . (22) Соотношение (22) представляет разложение единицы в ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма - Лиувилля (9)-(11). Умножим уравнение (22) на и проинтегрируем полученное соотношение в пределах от до : . (23) Соотношение (23) ввиду ортогональности косинусов приводится к виду . . (24) Определяя интегралы в (24), находим (25) В результате нахождения неизвестных коэффициентов и точное аналитическое решение задачи (2)-(6) находится из (20). Если дискриминант соотношения (17) , то будем иметь следующие два комплексных корня: где . Частные решения уравнения (8) будут (26) На основе частных решений запишем общий интеграл уравнения (8): , (27) где - неизвестные постоянные. Соотношение (27) можно переписать следующим образом: . (28) В отличие от решения этой задачи, приведенного в [5, 6] в настоящей статье возникающие нелинейные части корней уравнения (16) с помощью формул Эйлера включаются в константы интегрирования. С использованием формул Эйлера ; соотношение (28) приводится к виду . (29) Соотношение (29) с учетом обозначений ; будет . (30) Подставляя (12), (30) в (7) и составляя сумму частных решений, находим . (31) Для определения постоянных и используются начальные условия (3), (4). Подставляя (31) в (4), получаем Отсюда находим (32) Подставляя (31) в (3), с учетом (32) будем иметь . (33) Умножая обе части соотношения (33) на и интегрируя в пределах от до , находим . (34) Соотношение (34) с учетом ортогональности косинусов примет вид . (35) Определяя интегралы в (35), получаем . (36) После определения постоянных и решение задачи в замкнутом виде находится из (31). Непосредственной подстановкой показали, что все уравнения задачи (2)-(6) решениями (20) и (31) выполняются точно. Данные расчетов по формуле (31) позволяют заключить, что при полученное решение полностью совпадает с решением данной задачи при краевых условиях первого рода [4]. При малых значениях , то есть когда вторым слагаемым в уравнении (2) можно пренебречь, результаты решения по формуле (20) полностью совпадают с решением соответствующего параболического уравнения теплопроводности при граничных условиях третьего рода [4]. С увеличением числа для одних и тех же чисел на температурных кривых появляется излом, фронт которого перемещается по координате во времени (рис. 1). При этом обнаруживаются прямая и обратная температурные волны. Излом на прямой волне заключается в том, что температурные кривые составляют некоторый угол с линией температуры (начальная температура пластины). Отметим, что в случае параболического уравнения теплопроводности до моментов времени, когда фронт тепловой волны не достигает центра пластины, температурные кривые являются касательными к линии . После того как фронт тепловой волны достигает центра пластины, наблюдается обратная тепловая волна, также характеризующаяся изломом температурных кривых (см. рис. 1, 2). После достижения фронтом излома обратной тепловой волны поверхности пластины наблюдается новая (вторая) прямая волна, которая также имеет излом. Причем температура на фронте излома в процессе его движения к центру пластины остается большей температуры как в центре, так и на поверхности. В процессе движения прямых и обратных волн охлаждения пластины температура на ее поверхности может оказаться ниже температуры окружающей среды. С увеличением времени происходит колебательное изменение температуры пластины относительно температуры среды с отклонением в сторону как положительных, так и отрицательных значений. При каких-то больших значениях числа Фурье амплитуда колебаний уменьшается, и при температура пластины принимает температуру среды. Рис. 1. Изменение температуры: ; ; n = 1000 - число членов ряда (31) Рис. 2. Распределение температуры: ; ; n = 190 - число членов ряда (31) С увеличением числа Био угол излома температурных кривых уменьшается и при становится равным 90°, то есть излом температурных кривых переходит в скачок температуры, имеющий место как на прямых, так и на обратных температурных волнах. Распределение температуры в данном случае полностью совпадает с решением аналогичной задачи при граничных условиях первого рода [1, 2] (рис. 3). Рис. 3. Изменение температуры: ; ; n = 1000 - число членов ряда (31)

About the authors

Igor V Kudinov

Samara State Technical University

Email: totig@yandex.ru
(Ph.D. (Techn.)), Associate Professor 244, Molodogvardeyskaya str., Samara, 443100, Russian Federation

Lubov’ S Abisheva

Samara State Technical University

Postgraduate Student 244, Molodogvardeyskaya str., Samara, 443100, Russian Federation

Marina P Skvortsova

Samara State Technical University

Postgraduate Student 244, Molodogvardeyskaya str., Samara, 443100, Russian Federation

Galina N Maksimenko

Samara State Technical University

Postgraduate Student 244, Molodogvardeyskaya str., Samara, 443100, Russian Federation

References

Supplementary files