Two-channel time-optimal control of induction heating process with maximum temperature constraint

Cover Page

Abstract


The formulation and method of solution of the problem of time-optimal control of induction heating process of an unlimited plate with two control actions on the value of internal heat sources with technological constraint in relation to a one-dimensional model of the temperature field are proposed. The problem is solved under the conditions of a given accuracy of uniform approximation of the final temperature distribution over the thickness of the plate to the required. The method of finite integral transformations is used to search for the input-output characteristics of an object with distributed parameters with two control actions. The preliminary parameterization of control actions based on analytical optimality conditions in the form of the Pontryagin maximum principle is used. At the next stage reduction is performed to the problem of semi-infinite optimization, the solution of which is found using the alternance method. The alternance properties of the final resulting temperature state at the end of the optimal process lead to a basic system of relations, which, if there is additional information about the shape of the temperature distribution curve, is reduced to a system of equations that can be solved. An example of solving the problem of time-optimal control of temperature field of an unlimited plate with two offices is carried out in two stages. At first stage the case of induction heating without maximum temperature constraints is considered, at the second stage is carried out on the basis of the results of the first stage to obtain the solution subject to the limitation on the maximum temperature of the heated billet.


Full Text

Процесс нагрева металлических изделий и полуфабрикатов уже давно является неотъемлемой частью производственного процесса в различных отраслях промышленности. Технологии индукционного нагрева используются для подготовки металлических заготовок к пластической деформации, для чего их сначала предварительно нагревают до требуемой температуры [1].

Нередки случаи, когда возникает необходимость в коррекции оптимальных режимов нагрева, вызванной жесткими технологическими требованиями к поведению температурного поля в процессе управления. Подобные ограничения могут накладываться на максимальное значение температуры по всему объему нагреваемой заготовки во избежание нежелательных изменений структурных свойств металла.

В рамках данной работы на первом этапе будет рассмотрена такая постановка задачи оптимального управления (ЗОУ), при которой фазовое ограничение не будет учитываться, чтобы определить, выполняется ли в таком варианте требование к максимальной температуре любой точки заготовки «автоматически». Если оно не выполняется, то необходимо проводить коррекцию оптимального режима индукционного нагрева с учетом фазового ограничения на температурное поле.

Как известно, решение задач, связанных с процедурой предварительного нагрева заготовки до требуемого температурного состояния, в большинстве своем требует привлечения теории оптимального управления объектами с распределенными параметрами (ОРП).

Общая постановка задачи оптимального управления

В качестве объекта управления рассматривается технологический процесс индукционного нагрева металлической заготовки с двумя управлениями по мощности внутренних источников тепла, воздействующих на различные поверхности неограниченной пластины. В условиях пренебрежения неравномерностью распределения температуры по длине и ширине заготовки температурное поле пластины  описывается в зависимости от пространственной координаты x и времени t линейным пространственно-одномерным однородным уравнением теплопроводности следующего вида [2]:

Q(x,t)t=a2Q(x,t)x2+W1(x)u1(t)+W2(x)u2(t),  x[0,R];t[0,T]. (1)

Здесь a – коэффициент температуропроводности; R – толщина пластины; W1(x),W2(x) – функция распределения электромагнитных внутренних источников тепла; u1(t),u2(t) – удельные мощности тепловыделения, рассматриваемые в качестве управляющих воздействий и изменяющиеся в заранее заданных пределах:

0u1(t)u1max;  0u2(t)u2max. (2)

Начальное распределение принимается равномерным по всему объему пластины и, в частности, равным нулю:

Q(x,0)=Q0(x)=Q0=const=0. (3)

На обеих поверхностях действуют одинаковые мощности внутренних источников тепла W1(x) и W2(x), определяемые известными выражениями [3]:

W1(x)=ch2ξxRcos2ξxRsh2ξsin2ξ2ξ, W2(x)=ch2ξRxRcos2ξRxRsh2ξsin2ξ2ξ,

где ξ – характерный параметр, определяемый соотношением

ξ=R2δ,  δ=2μωσ.

Здесь δ – глубина проникновения тока в металл; ω – частота питающего тока; σ – электропроводность нагреваемого материала; μ – абсолютная магнитная проницаемость. Типовые граничные условия для модели объекта (1) - (2) в общем случае имеют вид [4]

λQ(0,t)x=Qср(t)α1 Q(0,t),   t>0;λQ(R,t)x=Qср(t)α2 Q(R,t),   t>0,(4)

где    λ   – коэффициент теплопроводности;

α1,α2 – заданные теплофизические постоянные;

Qср(t)=0 – температура окружающей среды.

Соотношения (4) соответствуют граничным условиям 3-го рода [2]. Наглядное представление управляющих воздействий на поверхности заготовки представлено на рис. 1.

 

Рис. 1. Иллюстрация двухканального распределенного управления

 

В момент T окончания процесса управления требуется обеспечить заданную точность ε равномерного приближения конечного распределения температуры Q(x,t) к заданному Q*(x)=Q*=const>Q0:

maxx[0,R]Q(x,T)Q*ε. (5)

На всем протяжении периодического нагрева может накладываться ограничение на максимальное значение температуры по всему объему заготовки, нарушение которого вызывает оплавление нагреваемой заготовки или приводит к недопустимому изменению структуры металла. Такое ограничение заключается в требовании к максимальной температуре не превысить некоторую заданную допустимую величину Qдоп и описывается в форме следующего неравенства:

Q(x)=maxQ(x,t)Q,  t[0,T]. (6)

Как уже было сказано, на первом этапе решения ЗОУ требование (6) не будет приниматься в расчет при постановке задачи.

В качестве критерия оптимальности выступает общее время T процесса нагрева в виде следующего интегрального функционала качества:

I=0Tdt=Tminu1(t),u2(t). (7)

Объект, описываемый соотношениями (1) - (7), является объектом с распределенными параметрами. Для поиска вход-выходной характеристики ОРП с двумя управляющими воздействиями применяется метод конечных интегральных преобразований. Применение этого метода, позволяющего описать ОРП соответствующим модальным представлением, подробно описано в [5] при решении подобной задачи.

Метод конечных интегральных преобразований [4-7] определяет функцию состояния температурного поля Q(x,t) в зависимости от пространственной координаты x[0,R] и времени t[0,T] в форме разложения в ряд по собственным функциям Q¯n(μn,t) с временными модами Q¯n(μn,t) начально-краевой задачи (1) - (5):

dQ¯nμn,tdt=μn2Q¯nμn,t+1λEnW1nu1(t)+W2nu2(t),  n=1,2, ... ; (8)

Q¯nμn,0=Q¯0μn=0; (9)

Q(x,t)=n=0Q¯n(μn,t) φ(μn,x), (10)

где собственные функции φ(μn,x), собственные числа μn2, нормирующие множители 1En и числа ηn определяются следующими соотношениями [4,5]:

φn(μn,x)=1EncosηnxR,   n=1,2,...;ηn tgηnBi=0;   μn=aRηn;En=aR2ηnηn+sinηncosηn,  n=1,2,...

Выражение для Q(x,t) в форме (10) находится в явном виде по алгоритму, описанному в [5].

Зависимость температурного поля от управляющих воздействий по мощности внутренних источников тепла в выражении (10) без учета фазовых ограничений описывается в виде следующего равенства:

Q(x,t)=n=1Q¯n(ηn,t) φ(ηn,x)=n=1 φ(ηn,x)××0R0tW1ξφ(ηn,ξ)1au1τ+W2ξφ(ηn,ξ)1au2τexpηn2aR2(tτ)dξ dτ. (11)

Выражение (11) представлено в форме двойных интегралов по пространственно-временной координате и определяет реакцию объекта на воздействия W1(x)u1(t),  W2(x)u2(t).

В итоге может быть сформулирована следующая задача оптимального по быстродействию управления. Требуется найти такие стесненные ограничением (2) программные управляющие воздействия u1*(t), u2*(t), которые переводят объект управления (8) из заданного начального состояния (9) в требуемое конечное согласно (5), где Q(x,t) определяется выражением (11), при минимальном значении критерия оптимальности (7) в условиях, когда ограничение на поведение температурного поля (6) не учитывается на всем протяжении процесса управления.

Параметризация управляющих воздействий

На основании процедуры принципа максимума Понтрягина [8], применение которого распространяется на бесконечномерный объект управления [9] (9), (10), оптимальное по быстродействию управление без учета фазовых ограничений устанавливается в форме релейных функций времени, попеременно принимающих только свои предельно допустимые значения согласно (2) с точностью до числа N1 и N2 и длительностей Δ1i(N1) и Δ2i(N2) интервалов постоянства управляющих воздействий [3-9] соответственно u1(t) и u2(t):

u1*(Δ1(N1),t=u1max2+-1j+1u1max2, i=0j-1Δ1i(N1)<t<i=0jΔ1i(N1), j=1,N1¯,  Δ10=0, Δ1(N1)=Δ1i(N1);u2*(Δ2(N2),t)=u2max2+-1j+1u2max2, i=0j-1Δ2i(N2)<t<i=0jΔ2i(N2), j=1,N2¯, Δ20=0, Δ2(N2)=Δ2i(N2). (12)

В пределах первого интервала постоянства согласно ограничениям (2) здесь и далее принимается u1*(t)=u1max,u2*(t)=u2max в рассматриваемой задаче нагрева пластины до температуры Q*>Q0=0.

Выражение (12) свидетельствует о том, что в процессе нагрева объекта происходит скачкообразное (релейное) переключение управляющих воздействий с максимального значения, соответствующего нагреву заготовки с максимальной интенсивностью, когда каждый из индукторов включается на полную мощность, на минимальное значение мощности при отключении индукторов от сети.

Условимся, что далее будет рассмотрен наиболее употребительный на практике случай двухинтервального управления (рис. 2б), для этого примем N1=N2=2. Поскольку оба управляющих воздействия (12) должны заканчиваться в один и тот же момент времени, то длительности интервалов каждого из управлений стесняются условием равенства отдельных сумм: Δ11(2)+Δ12(2)=Δ21(2)+Δ22(2). После подстановки управления вида (12) в (11) и вычисления интегралов при t=T получим параметризованное представление конечного температурного состояния:

Q(x,Δ11(2),Δ12(2),Δ21(2),Δ22(2))=n=1 λR2aEnηn2cosηnxR+Bi1ηnsinηnxR××W1nu1maxeηn2aR2Δ12(2)eηn2aR2(Δ11(2)+Δ12(2))+W2nu2maxeηn2aR2Δ22(2)eηn2aR2(Δ21(2)+Δ22(2)), (13)

где W1n,W2n – моды разложения функций W1(x),W2(x) в ряд по собственным функциям.

Релейный характер двухканального двухинтервального оптимального по быстродействию управления, найденный в (12), представлен на рис. 2а, из которого видно, что действие обоих управляющих воздействий начинается и заканчивается одномоментно. В связи с этим удобнее перейти к двум комбинациям искомых величин: в качестве трех независимо варьируемых параметров выберем Δ11(2),Δ12(2),Δ21(2) и Δ21(2),Δ22(2),Δ11(2), а интервалы нагрева минимальной интенсивности для первого Δ12(2) и второго Δ22(2) управления обозначим в (13) как Δ22(2)=Δ11(2)+Δ12(2)Δ21(2) и Δ12(2)=Δ21(2)+Δ22(2)Δ11(2).

 

Рис. 2. Характер изменения оптимальных управляющих воздействий (а) и управляемой величины (б) в процессе индукционного нагрева

 

Редукция к задаче полубесконечной оптимизации

При полученном параметрическом представлении искомых управляющих воздействий (13) критерий оптимальности (7) в соответствии с рис. 2а определяется в виде простой суммы длительностей отдельных интервалов постоянства оптимального управления:

I=Δ11(2)+Δ12(2)=Δ21(2)+Δ22(2)min, (14)

а условие (5) оценки конечного распределения температур будет иметь вид:

ΦΔij(2)=maxx[0,R]QΔij(2)Q*ε,   i,j=1,2¯, ε>0. (15)

Здесь Q(x,Δij(2)) определяется по формуле (13).

Таким образом, производится точная редукция исходной ЗОУ к задаче полубесконечной оптимизации (ЗПО) на минимум целевой функции (14) конечного числа переменных Δij(2),  i,j=1,2¯ с бесконечным числом ограничений (15), порождаемых требованием обеспечения заданной точности равномерного приближения во всех точках x[0,R] [9,10].

Решение задачи полубесконечной оптимизации по схеме альтернансного метода

Задача (14), (15) разрешима в условиях N1=N2=2 не при всех , а только для εεmin(2) в (15), где εmin(2) – минимально достижимая величина  в рассматриваемом классе граничных управлений:

εmin(2)=minΔij(2)maxx[0,R]QΔij(2)Q*. (16)

Решение Δij(2),  i,j=1,2¯ задачи (14), (15) при достаточно малостеснительных допущениях обладает базовыми альтернансными свойствами [11].

Основное свойство заключается в том, что число точек xj0[0,R],  j=1,Rx¯, в которых достигаются предельно допустимые абсолютные отклонения Q(x,Δij(2)) от Q*, равные ε, всегда оказывается равным числу всех неизвестных в ЗПО (14), (15).

В качестве неизвестных фигурируют длительности интервалов постоянства Δ11(2),Δ12(2),Δ21(2) или Δ21(2),Δ22(2),Δ11(2) оптимального управления и величина минимакса εmin(2) в случае ε=εmin(2) в (16).

Таким образом, на искомом решении  задачи быстродействия выполняются  равенств вида

Qxj0,Δij(2)Q*=ε,  j=1,Rx¯; (17)

Rx=s,        ε>εmin(2);s+1,   ε=εmin(2). (18)

Здесь s – число свободно варьируемых параметров в составе Δij(2),  i,j=1,2¯,, равное s=N1+N21 в условиях одинаковой длительности процесса управления для обоих управляющих воздействий (см. рис. 2). В рассматриваемом случае двухинтервального характера управления при N1=N2=2 имеем s=N1+N21=2+21=3 в предельном случае ε=εmin(2). То есть искомыми параметрами будут s=3 длительности интервалов нагрева.

Если требуемая точность температурного отклонения ε задается конкретным числом, превышающим минимаксное значение εmin2, то задача характеризуется только искомыми параметрами в составе Δij(2),  i,j=1,2¯, и тогда число точек Rx оказывается равным s согласно условию (18). В этом случае в качестве неизвестных будут фигурировать длительности интервалов постоянства оптимального управления.

Если же значение ε по заданным изначально условиям должно совпадать с заранее неизвестной величиной минимакса εmin(2), то в соответствии с (18) точек xj должно быть на одну больше, то есть Rx=s+1. Тогда наряду с длительностями интервалов Δij(2),  i,j=1,2¯ величину εmin(2) надо отнести к искомым параметрам.

Рассмотрим наиболее интересный предельный вариант при ε=εmin(2), тогда число уравнений в (18) будет равно

Rx=s+1=3+1=4, (19)

при наличии четырех неизвестных: Δ11(2),Δ12(2),Δ21(2),εmin(2) или Δ21(2),Δ22(2),Δ11(2),εmin(2).

Таким образом, соотношения (17) с учетом (18), (19) оказываются замкнутыми относительно всех параметров процесса управления, что указывает на возможность решения исходной задачи оптимального управления.

Основное затруднение теперь состоит в том, что равенствам (17) формально соответствует множество вариантов по форме кривой пространственного распределения Qxj0,Δij(2). Для однозначного определения вида этой кривой нужно установить знаки разностей Qxj0,Δij(2)Q* в каждом из уравнений и найти координаты точек xj0. Эта задача может быть решена только при известной конфигурации кривой температурного распределения Qxj0,Δij(2)Q* на отрезке [0,R]x при двухинтервальном оптимальном управлении по мощности источников тепла, устанавливаемой на основании физических закономерностей процессов нестационарной теплопроводности в зависимости от величины ε.

Анализ этих закономерностей [11,12] приводит к двум вариантам конфигурации кривых температурного распределения Qxj0,Δij(2)Q* в условиях ε=εmin(2) в (17), представленным на рис. 3, где для кривой а принимаются длительности Δ11(2),Δ12(2),Δ21(2), а для кривой б – длительности Δ21(2),Δ22(2),Δ11(2).

Отметим, что на кривой а и кривой б, указанных на рис. 3, максимально допустимые отклонения Qxj0,Δij(2) от Q* оказываются знакочередующимися в последовательно расположенных точках xj[0,R], образуя чебышевский альтернанс.

Теперь, когда характер зависимости Qxj0,Δij(2)Q* найден из знаний предметной области процесса нестационарной теплопроводности, система (17) может быть однозначно определена для каждого из вариантов кривых конечного температурного распределения.

 

Рис. 3. Два варианта кривых результирующего температурного распределения при ε=εmin(2):

а – при поиске двух интервалов для управления u1;

б – при поиске двух интервалов для управления u2

 

Условимся, что будем рассматривать оба варианта кривой температурного распределения, приведенной на рис. 3, для каждой из которых запишем соответствующую систему уравнений, дополняемую условием существования экстремума во внутренних точках отрезка [0, R] максимума или минимума разности температур:

Q0,Δ11(2),Δ12(2),Δ21(2)Q=εmin(2);Qx2,Δ11(2),Δ12(2),Δ21(2)Q=εmin(2);Qx3,Δ11(2),Δ12(2),Δ21(2)Q=εmin(2);Qx4,Δ11(2),Δ12(2),Δ21(2)Q=εmin(2);Qxj,Δ11(2),Δ12(2),Δ21(2)x=0,j=2,3,4 (20, а)

 

Qx2,Δ21(2),Δ22(2),Δ11(2)Q=εmin(2);Qx3,Δ21(2),Δ22(2),Δ11(2)Q=εmin(2);Qx4,Δ21(2),Δ22(2),Δ11(2)Q=εmin(2);QR,Δ21(2),Δ22(2),Δ11(2)Q=εmin(2);Qxj,Δ21(2),Δ22(2),Δ11(2)x=0,j=2,3,4(20, б)

Каждая из систем (20) состоит из семи уравнений с семью неизвестными и решается стандартными численными методами. Численные результаты решения систем уравнений (20, а) и (20, б) с использованием программной среды MATLAB [14-17] были получены применительно к исходным данным, указанным в табл. 1 и 2.

 

Таблица 1  Характеристики нагреваемых заготовок

Параметр

Значение

Материал заготовки

титан

R, толщина заготовки, м

0,2

λ, коэффициент теплопроводности, Вт/(м ∙ ºС)

14

α1, коэффициент конвективной теплопередачи

32,5

α2, коэффициент конвективной теплопередачи

22,5

a, коэффициент температуропроводности, м2/c

4,3∙10-6

 

Таблица 2  Исходные данные для процесса нагрева

Параметр

Значение

Bi1, критерий Био

0,4643

Bi2, критерий Био

0,3214

Q0 начальная температура, ºС

0

Q* конечная температура, ºС

960

P1max максимальная величина поверхностной мощности нагрева по первому каналу управления, кВт/м2

106

P2max максимальная величина поверхностной мощности нагрева по второму каналу управления, кВт/м2

180

 

Результаты расчета оптимального по быстродействию индукционного процесса управления без учета технологических ограничений на максимальную температуру для системы (20, а), соответствующей кривой а на рис. 3: Δ11(2)=1524с, Δ12(2)=606c, Δ21(2)=1853с, εmin(2)=16,54 °C. 

Результаты решения системы (20, б), соответствующей кривой б на рис. 3: на рис. 3: Δ11(2)=1732с, Δ12(2)=312с, Δ21(2)=1416с, εmin(2)=13,67 °C.

Полученные при расчетах кривые температурного отклонения от заданной величины представлены на рис.4.

 

Рис. 4. Кривые температурного распределения при ε=εmin(2), полученные при решении систем (20, а) и (20, б) без учета фазового ограничения: а – при поиске двух интервалов для управления u1; б – при поиске двух интервалов для управления u2

 

Решение систем уравнений производилось с учетом первых 30 членов бесконечного ряда в выражении (13).

Таким образом, решение системы (20, б) является оптимальным и по быстродействию, и по точности нагрева. Именно для этого варианта решения построим график изменения температуры в процессе нагрева. На рис. 5 можно увидеть характер изменения температурного поля в трех точках: на крайних границах x=0,x=R и в центре пластины.

Остановимся на рис. 5 подробнее. Можно видеть, что максимальная температура достигает значения более 1500 ºС. Очевидно, что если такой оптимальный процесс с управлением вида (12), рассчитанный без учета (6), не нарушает этого ограничения, то он является оптимальным и с учетом данных ограничений, которые выполняется в некотором роде «автоматически».

Результаты решения задачи оптимального процесса управления во времени без учета технологических ограничений, отвечающие алгоритму (12), указывают, в пределах какого интервала постоянства оптимального управляющего воздействия может возникнуть нарушение ограничения на максимум допустимой температуры и как его следует изменить, чтобы выполнить неравенство (6). То есть первый этап решения задачи заключается в обнаружении выполнения или невыполнения условия (6) в каждом отдельном случае.

 

Рис. 5. Изменение управляемой величины и управляющих воздействий на всем протяжении оптимального процесса управления без учета фазового ограничения

 

Рассмотрим случай, когда условие (6) не выполняется «автоматически» и возникает необходимость ограничения, например, управления u2*(t) из-за превышения допустимого уровня температуры Qдоп=1400 ºС. Очевидно, что коррекция оптимального режима нагрева в связи с фазовым ограничением оказывается необходимой только в пределах первого интервала процесса нагрева с максимальной мощностью u2*(t)=u2max, что соответствует наиболее распространенному на практике случаю.

В источнике [3] показано, что процедура коррекции сводится к подбору таких управляющих воздействий на соответствующих участках в пределах первого интервала, которые поддерживают максимальную температуру Qmax на предельно допустимом уровне Qдоп. В [3] предлагается несколько вариантов оптимальной программы мощности нагрева, выбор конкретной из них зависит от специфики отдельной рассматриваемой задачи.

В итоге алгоритм оптимального управления усложняется на первом интервале наличием «участка движения по ограничениям», когда Qmax=Qдоп. На втором интервале нагрева в данной постановке задачи оптимальный режим нагрева остается неизменным.

Физика построения нового алгоритма управления с учетом фазового ограничения заключается в следующем. На первом этапе проводится форсированный нагрев заготовки с максимальной интенсивностью при u2*(t)=u2max применительно к рассмотренной выше задаче. В момент, когда температура Q(x,t) достигает величины Qдоп, следует участок поддержания на этом уровне управляющим воздействием u¯2(t) по мощности нагрева, которое скачкообразно уменьшается относительно u2max с целью снижения скорости роста температуры. Поддержание равенства Qmax=Qдоп требует непрерывного уменьшения мощности тепловыделения по мере выравнивания температурных перепадов.

В соответствии со сказанным алгоритм оптимального по быстродействию управления с учетом фазовых ограничений (6) вместо (12) принимает следующий вид:

u2*=u2max,  t(0,φ0);u¯(t),  t(φ0,Δ21(2));0,  t(Δ21(2),T);  (21)

где u¯(t) – стабилизирующее управление, которое находится [14]:

u¯(t)aQ+bQeβQ(tυ0). (22)

Здесь φ0 – момент достижения Qдоп. Коэффициенты aQ,bQ,βQ находятся по выражениям [14]:

aQ=L1μ22+L2μ12E1μ22+E2μ12; bQ=μ22μ12E1L2+E2L1E1+E2E1μ22+E2μ12; βQ=E1μ22+E2μ12E1+E2;Ln=θnAnηn2u1maxu2max;  θn=oRQxRυ0cosxRηndx;An=2ηn2cosηnRη22+Bi22+Bi2sinηn;  En=AnWn(ξ),  (23)

где η12η22 – первые два из собственных числе в (10). Именно в выражении (23) для коэффициента Ln заключена особенность корректировки оптимального режима нагрева при двухканальном управлении по сравнению с выражением, представленным в [14], за счет управляющего воздействия u1max по первому каналу, в котором управление не ограничивается.

Первый временной момент достижения допустимой величины υ0 может быть определен по рис. 5 и равен  υ0=1149с.

При известных υ0, u¯(t)  результирующее температурное поле вместо (13) вычисляется по следующей формуле для конечного момента времени процесса после подстановки управления вида (21):

Q(x,Δ21(2),Δ22(2),Δ12(2))=n=1 λR2aEnηn2cosηnxR+Bi1ηnsinηnxR××W1n u1maxeηn2aR2Δ11(2)eηn2aR2(Δ21(2)+Δ22(2)Δ11(2))+W2n1+eηn2 υ0++aQeηn2Δ22(2)eηn2 υ0+bQηn2ηn2βQeηn2βQΔ22(2)υ0eηn2 υ0eηn2Δ21(2)+Δ22(2). (24)

В (24) отражен тот факт, что коррекция режима оптимального управления с помощью стабилизирующего управления u¯(t) накладывается согласно динамике изменения температурного поля (см. рис. 5) на максимальную мощность второго источника тепла u2max на интервале интенсивного нагрева.

Теперь по описанной ранее схеме альтернансного метода остается решить систему (20, б), где Qxj0,Δij(2),  i,j=1,2¯ определяется выражением (24).

 

Рис. 6. Кривая температурного отклонения при ε=εmin(2) полученная при расчетах с учетом фазового ограничения при коррекции управления u2max

 

Результаты расчета оптимального по быстродействию процесса индукционного нагрева заготовки с ограничением на максимальную температуру при коррекции управления u2maxΔ21(2)=1560с, Δ22(2)=336с, Δ12(2)=1275с, εmin(2)=13,76 °C. Найденные координаты внутренних точек, в которых достигается минимаксное отклонение, можно видеть на полученной кривой температурного отклонения от заданной величины, представленной на рис. 6.

На рис. 7 представлен график изменения динамики температурного распределения и управляющего воздействия в процессе оптимального по быстродействию индукционного нагрева с ограничением на максимальную температуру точек нагреваемой заготовки. Наглядно виден участок, на котором происходит скачкообразное уменьшение u2max с целью удержания температуры на уровне Qдоп с того момента υ0, когда она впервые достигает допустимого предела при Qmax>Qдоп

 

Рис. 7. Изменение управляемой величины и управляющих воздействий с учетом фазового ограничения при коррекции управления u2max

 

Рассмотрим вариант с ограничением на максимальную мощность первого источника тепла u1max на интервале интенсивного нагрева неограниченной пластины. Логика построения алгоритма управления не будет иметь серьезных изменений по сравнению с предыдущим случаем. Главное отличие будет заключаться в коэффициенте Ln и в описании конечного температурного поля, то есть вместо (23) и (13) запишем:

Ln=θnAnηn2u2maxu1max;   (25)

 

Q(x,Δ21(2),Δ22(2),Δ11(2))=n=1 λR2aEnηn2cosηnxR+Bi1ηnsinηnxR××W1n 1+eηn2 υ0+aQeηn2Δ11(2)eηn2 υ0+bQηn2ηn2βQeηn2βQΔ11(2)υ0eηn2 υ0×× eηn2Δ21(2)+Δ22(2)+W2nu2maxeηn2aR2Δ22(2))eηn2aR2(Δ21(2)+Δ22(2)). (26)

 

Далее по схеме альтернансного метода остается решить систему (20, б), где Qxj0,Δij(2),  i,j=1,2¯ определяется уже выражением (26).

Результаты расчета оптимального по быстродействию процесса индукционного нагрева заготовки с ограничением на максимальную температуру при коррекции управления u1max: Δ21(2)=1681с, Δ22(2)=318с, Δ11(2)=1357с, εmin(2)=13,35 °C.Найденные координаты внутренних точек, в которых достигается минимаксное отклонение, можно видеть на полученной кривой температурного отклонения от заданной величины (рис. 8), а графики изменения температуры металлической заготовки в процессе нагрева, а также изменение мощности обоих управляющих воздействий – на рис. 9.

 

Рис. 8. Кривая температурного отклонения при ε=εmin(2), полученная при расчетах с учетом фазового ограничения при коррекции управления u1max

 

Из двух полученных вариантов решения ЗОУ первый является предпочтительным в силу меньшего времени процесса нагрева.

Существует третий вариант процедуры коррекции режима оптимального управления при поддержании максимальной температуры Qmax на предельно допустимом уровне Qдоп с постепенным уменьшением мощности обоих управляющих воздействий. Каждому из управлений в таком случае должен соответствовать некоторый весовой коэффициент исходя из понимания о соотношении этих составляющих. Это отдельная трудоемкая задача, рассмотрение которой не будет приведено в рамках данной работы.

 

Рис. 9. Изменение управляемой величины и управляющих воздействий с учетом фазового ограничения при коррекции управления u1max

 

Таким образом, методика расчета оптимального процесса нагрева с учетом технологического ограничения на поведение температурного поля на протяжении всего процесса реализуется в два этапа: на первом этапе необходимо решить задачу быстродействия без учета фазового ограничения и по найденному алгоритму управления построить зависимость Q(x,Δ21(2),Δ22(2),Δ11(2)), по которой проверяется выполнение условий (6). Если условие (6) не выполняется, то алгоритм оптимального по быстродействию управления корректируется по выражениям (21) - (24).

About the authors

Natalya A. Il`ina

Samara State Technical University

Author for correspondence.
Email: ilina.natalyaa@yandex.ru

Russian Federation, 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100

Graduate student

References

  1. Butkovskiy A.G., Malyy S.A., Andreev Yu.N. Upravlenie nagrevom metalla [Control of Metal Heating]. Moscow: Metallurgy Publ., 1981. 272 p. (In Russian).
  2. Kartashov E.M. Analiticheskie metodu v teorii teploprovodnosti tverdukh tel [Analytical methods in the theory of heat conductance in solids]. Moscow: Vyssh. Shkola, 2001. 550 p. (In Russian).
  3. Rapoport E.Ya., Pleshivtseva Yu.E. Optimal’noe upravlenie temperatyrnumi rezhimami nagreva [Optimal Control of Induction Heating Processes]. Moscow: Nauka, 2012. 309 p. (In Russian).
  4. Rapoport E.Ya. Strukturnoe modelirovanie ob’’ektov i sistem s raspredelennymi parametrami [Structural modeling of objects and control systems with the distributed parameters]. Moscow: Vyssh. Shkola, 2003. 299 p. (In Russian).
  5. Rapoport E.Ya., Il’ina N.A. Optimal’noe po bystrodeystviyu upravlenie nestatsionarnum protsessom teploprovodnosti s kombinirovannymi vneshnimi vozdeystviyami po granichnym ysloviyam [Time-optimal control of nonstationary heating process with combined external influences under boundary conditions]. Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Un-ta. Ser. Tekhn. Nauki. 2019. No. 2 (62). Pp. 36–51. (In Russian).
  6. Koshlyakov N.S., Gliner E.B., Smirnov M.M. Uravneniya v chastnykh proizvodnykh matematicheskoy fiziki [The partial differential equations of mathematical physics]. Moscow: Nauka, 1970. 707 p. (In Russian).
  7. Martynenko N.A., Pustylnikov L.M. Konechnye integralnye preobrazovaniya i ih primenenie k issledovaniju sistem s raspredelennymi parametrami [Final engineering transformations and their application to the study of systems with distributed parameters]. Moscow: Nauka, 1986. 303 p. (In Russian).
  8. Pontryagin L.S., Boltyanskiy V.G., Gamkrelidze R.V., Mischenko E.F. Matematicheskaya teoriya optimalnykh protsessov [Mathematical theory of optimal processes]. Moscow: Nauka, 1969. 384 p.
  9. Rapoport E.Ya. Optimal’noe upravlenie sistem s raspredelennymi parametrami [Optimal Control for Systems with Distributed Parameters]. Moscow: Vyssh. Shkola, 2009. 677 p. (In Russian).
  10. Ponteleev A.V., Bortakovskiy A.S. Teoriya upravleniya v primerakh i zadachakh [The theory of control in examples and problems]. Мoscow: Vyssh. Shkola, 2017.
  11. Rapoport E.Ya. Al’ternansnyy metod v prikladnykh zadachakh optimizatsii [Alternance Method for Solving Applied Optimization Problems]. Moscow: Nauka, 2000. 336 p. (In Russian).
  12. Rapoport E.Ya., Pleshivtseva Yu.E. Algoritmicheski tochnyy metod parametricheskoy optimizatsii v kraevykh zadachakh optimal’nogo upravleniya sistemami s raspredelennymi parametrami [Algorithmically accurate method of parametric optimization in boundary value problems of optimal control of systems with distributed parameters]. Avtomatizatsiya. 2009. Vol. 45. No. 5. Pр. 103–112. (In Russian).
  13. Rapoport E.Ya., Il’ina N.A. Dvukanal’noe optimal’noe po bystrodeystviyu upravlenie protsessom nestatsionarnoy teploprovodnosti [Two-channel time-optimal control of the process of nonstationary heat conductivity] // Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Un-ta. Ser. Tekhn. Nauki. 2018. No. 1 (57). Pp. 7–18. (In Russian).
  14. Dyakonov V.P. MATLAB. Polnuy samouchitel’ [MATLAB.Full tutorial]. Moscow: DMK Press, 2012. 768 p. (In Russian).
  15. Potemkin V.G. Vvedenie v Matlab [Introduction to Matlab]. Moscow: Softline Co, 2001. http://matlab.exponenta.ru/ml/book1/index.php (accessed March 02, 2019).
  16. Optimization Toolbox 2.2 Rukovodstvo pol’zovatelya [Optimization Toolbox 2.2 User manual]. http://matlab.exponenta.ru/optimiz/book_1/ (accessed March 02, 2019).
  17. MATLAB.Exponenta Vvedenie v sovremennye metodu optimizatsii system upravleniya [Introduction to modern methods of control systems optimization]. http://matlab.exponenta.ru/optimrobast/book1/index.php (accessed February 10, 2019).

Supplementary files

There are no supplementary files to display.

Statistics

Views

Abstract - 73

PDF (Russian) - 16

Cited-By


Article Metrics

Metrics Loading ...

PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2020 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies