Метод расчета коэффициента искажения синусоидальности кривой напряжения, создаваемого трехфазными выпрямителями

Полный текст

Разработка методики расчета высших гармоник и определения коэффициента искажения синусоидальности кривой напряжения является актуальной проблемой, так как существующие методики позволяют решить эту задачу с большой погрешностью. В цехах современных промышленных предприятий более половины электроэнергии используется в преобразованном виде (на металлургических заводах – более 90 %). Широко применяются вентильные преобразователи (ВП), различного рода преобразователи частоты [1, 2]. Такие нагрузки называют нелинейными, к их числу относятся в первую очередь различного рода ВП.

Эти нагрузки потребляют из сети ток, кривая которого оказывается несинусоидальной, в результате возникают нелинейные искажения кривой напряжения сети или, другими словами, несинусоидальные режимы.

Несинусоидальность напряжения и тока обусловливает дополнительные потери и нагрев, а также ускоренное старение изоляции электрооборудования [3], что подтверждается результатами диагностического обследования различного электроэнергетического оборудования: трансформаторов, кабельных линий, электродвигателей, компенсирующих конденсаторов. Кроме того, ВГ в СЭС промышленных предприятий вызывают нарушение работы и ложные срабатывания устройств релейной защиты и автоматики, приводят к сбоям в работе электронных систем управления и вычислительной техники, создают помехи в аппаратуре телемеханики и связи, искажают показания счетчиков электрической энергии. Прогрессирующее внедрение вентильных преобразователей создает актуальность решения проблемы высших гармоник в электрических сетях путем совершенствования расчета и создания устройств противодействия гармоникам. Коэффициент несинусоидальности является показателем качества электроэнергии.

Для уменьшения влияния высших гармоник применяют подключение преобразовательных устройств через фильтры высших гармоник [3–5] – это сетевые дроссели, линеаторы. Существует несколько схем, при помощи которых можно реализовать активную коррекцию коэффициента мощности, что приводит к уменьшению воздействия высших гармоник. Также применяются пассивные узкополосные и широкополосные фильтры [6–8], которые устанавливаются на шинах ТП. Во всех случаях необходимо знать амплитуду и номера гармоник.

Рассмотрим существующие методики расчета на конкретном примере схемы включения выпрямителя (расчетная схема на рис. 1).

Мощность короткого замыкания системы $S_k=300$ мВА. Определяется сопротивление системы, приведенное к напряжению 0,4 кВ.

Индуктивное сопротивление

$X_{\text{С}}=\frac{U_{\text{Н}}^2}{S_{\text{К}}}=\frac{{400}^2}{300000000}=\mathrm{0,00053}$ Ом.

Сопротивление кабельной линии ААБ (3Х70+1Х35), ${Х}_{\text{УД}}=\mathrm{0,0612}$ Ом/км, $R_{\text{УД}}=\mathrm{0,447}$ Ом/км, длина кабеля $l_{\text{K}}=800$ м.

Сопротивления кабеля, приведенные к напряжению 0,4кВ:

$R_{К}=R_{\text{УД}}\cdot l_{К}\cdot {\left(\frac{\mathrm{0,4}}{10}\right)}^2=\mathrm{0,447}\cdot \mathrm{0,8}\cdot {\left(\frac{\mathrm{0,4}}{10}\right)}^2=\mathrm{0,000572}$ Ом,

$X_{К}=X_{\text{УД}}\cdot l_{К}\cdot {\left(\frac{\mathrm{0,4}}{10}\right)}^2=\mathrm{0,0612}\cdot \mathrm{0,8}\cdot {\left(\frac{\mathrm{0,4}}{10}\right)}^2=\mathrm{0,0000783}$ Ом.

Рис. 1. Расчетная схема

Сопротивления трансформатора Т1 подстанции мощностью 630 кВА, приведенные к 0,4 кВ. Технические данные: $\Delta P_{ХХ}=\mathrm{1,16}$ кВт, $\Delta P_{\text{KЗ}}=\mathrm{7,6}$ кВт, $\Delta U_{\text{KЗ}}=\mathrm{5,5}$ %.

Полное сопротивление, приведенное к 0,4 кВ:

$Z_{\text{T}}=\frac{U_{\text{K}}\%}{100}\cdot \frac{U_{\text{H}}^2}{S_{\text{H}}}=\frac{\mathrm{5,5}}{100}\cdot \frac{{400}^2}{630000}=\mathrm{0,014}$ Ом.

Активное сопротивление

$R_T=\frac{\Delta P_{КЗ}{U}_H^2}{S_H^2}=\frac{7600\cdot {400}^2}{{630000}^2}=\mathrm{0,00306}$  Ом,

$X_T=\sqrt{Z_T^2-R_T^2}=\sqrt{{\mathrm{0,014}}^2-{\mathrm{0,00306}}^2}=\mathrm{0,01366}$ Ом.

Суммарные сопротивления питающей сети:

$R_{\text{ПС}}=\mathrm{0,000572}+\mathrm{0,00306}=\mathrm{0,00363}$ Ом,

${Х}_{\text{ПС}}=\mathrm{0,00053}+\mathrm{0,0000783}+\mathrm{0,01366}=\mathrm{0,0143}$ Ом.

Трехфазная мостовая схема Ларионова

Расчет параметров трансформатора выпрямительной установки, соединение обмоток «звезда – звезда» (рис. 2).

Рис. 2. Трансформатор «звезда – звезда» и выпрямитель по схеме Ларионова

Мощность трансформатора Т2 (ТМ100/10) 100 кВа. Технические данные:

$\Delta P_{XX}=\mathrm{0,33}$ кВт, $\Delta P_{\text{KЗ}}=\mathrm{1,97}$ кВт, $\Delta U_{\text{KЗ}}=\mathrm{4,5}$ %.

Полное сопротивление трансформатора, приведенное к 0,4 кВ:

$Z_{\text{T}}=\frac{U_{\text{K}}\%}{100}\cdot \frac{U_{\text{H}}^2}{S_{\text{H}}}=\frac{\mathrm{4,5}}{100}\cdot \frac{{400}^2}{100000}=\mathrm{0,072}$ Ом.

Активное сопротивление

$R_T=\frac{\Delta P_{КЗ}{U}_H^2}{S_H^2}=\frac{1970\cdot {400}^2}{{100000}^2}=\mathrm{0,0315}$ Ом.

Индуктивное сопротивление

$X_T=\sqrt{Z_T^2-R_T^2}=\sqrt{{\mathrm{0,072}}^2-{\mathrm{0,0315}}^2}=\mathrm{0,06474}$ Ом.

Постоянное выпрямленное напряжение $U_d=48$ В.

Выпрямленный ток $I_d=1500$ А. Мощность выпрямителя $P_B=72$ кВт.

Фазное напряжение вторичной обмотки трансформатора для выпрямителя [9, 10]:

${U_2}_{Ф}=\frac{U_d}{\mathrm{2,34}}=\frac{48}{\mathrm{2,34}}=\mathrm{20,51}$ В.

Коэффициент трансформации:

$K_{Т}=\frac{U_{\text{1Ф}}}{U_{\text{2Ф}}}=\frac{220}{\mathrm{20,51}}=10.726$.

Ток нагрузки из-за наличия в ней значительной индуктивности сглажен:

$I_d=\frac{U_d}{R_d}$.

Действующее значение тока вторичной обмотки трансформатора [9 – 11]:

$I_{d2}=\sqrt{\frac{1}{2\pi }\left(2\underset{0}{\overset{\frac{2}{3}\pi }{\int }}{I}_d^{2}dv\right)}=\sqrt{\frac{2}{3}}{I}_d=0.817I_d=\mathrm{0,817}\cdot 1500=1225.5$ А.

Действующее значение фазного тока первичной обмотки трансформатора [9] при соединении ее в «звезду»:

$I_{d1}=\frac{I_{2d}}{K_T}=\frac{\mathrm{1225,5}}{\mathrm{10,726}}=\mathrm{114,26}$ А.

На рис. 3, а приведена диаграмма трехфазных напряжений. На рис. 3, b – диаграмма токов первичной обмотки трансформатора Т2 фазы А. Эти токи в виде периодической функции могут быть представлены в виде ряда Фурье [14–17]:

$f\left(x\right)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)$, (1)

где коэффициенты ряда $a_0, a_n, b_n$ – действительные числа.

Коэффициенты ряда определяются по формулам:

$a_0=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f\left(x\right)dx$, (2)

$a_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f\left(x\right)\cdot \cos nxdx$, (3)

$b_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f\left(x\right)\cdot \sin nxdx$, (4)

$n=\mathrm{1,2,3,...}$ – номер гармоник.

Если функция нечетная (симметричная относительно абсцисс), то достаточно определить только коэффициент $b_n$; если функция четная, то определяются коэффициенты $a_0, a_n$; если функция аморфная (не четная и не нечетная), то определяются все коэффициенты.

Если – нечетная периодическая функция с периодом 2π, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то можно определять

$b_n=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}f\left(x\right)\cdot \sin nxdx$ (5)

и разложение в ряд Фурье для нечетной функции имеет вид

$f\left(x\right)=\sum _{т=1}^{\infty }{b}_n\sin nx$. (6)

Если разложить функцию тока $I_{d1}$ первичной обмотки трансформатора в ряд Фурье [9, 18], то получим кроме первой, т. е. основной гармоники, высшие 5, 7, 11, 13, 17, 19 и т. д. гармонические составляющие ($n=6k\pm 1$, где $k$ – любое натуральное число, 6 – число пульсов схемы выпрямления за период).

ГОСТ–97 нормирует коэффициенты n-ой гармонической составляющей [1, 2, 19]

$K_{U\left(n\right)}=\frac{U_n}{U_{\text{НОМ}}}\cdot 100$. (7)

Рис. 3. Диаграммы напряжений и токов

Коэффициент несинусоидальности напряжения питающей сети определяется по формуле [1, 2, 19]

$K_U=\frac{\sqrt{{\displaystyle \sum _{n=2}^{40}{U}_n^2}}\cdot 100}{U_{\text{НОМ}}}$, (8)

где n – номер гармоники; U_n – падение напряжения в сопротивлении питающей сети от тока соответствующей гармоники.

В таблице 1 приводятся допустимые значения коэффициентов несинусоидальности.

Таблица 1. Значения коэффициентов гармонических составляющих напряжения $K_{Un}$%. ГОСТ 32144―2013

В [19] приведен расчет коэффициента искажения синусоидальности кривой напряжения с учетом 5, 7, 11, 13 гармоник:

$K_u=\frac{100\%\cdot \sqrt{{\displaystyle \sum U_n^2}}}{U_{\text{Ф}}}=\frac{100\%\cdot \sqrt{{\mathrm{7,74}}^2+{\mathrm{7,74}}^2+{\mathrm{7,74}}^2+{\mathrm{7,74}}^2}}{220}=\mathrm{7,04}\%$, (9)

что меньше допустимых 8 %, определяемых ГОСТ–97 для напряжения 380 В.

В выражении (9) все слагаемые под корнем равны, так как при увеличении номера гармоники ее амплитуда уменьшается в n раз по сравнению с первой гармоникой, при этом во столько же раз увеличивается частота и индуктивное сопротивление $X_{\text{ПС}}=L\omega$ питающей сети. Однако в [19] наблюдаются ошибки, так как в (9) под корнем получены числа путем перемножения сопротивления X_ПС на амплитуду тока гармоник. Целесообразнее умножать на действующее значение тока гармоники. Кроме того, для первой гармоники принято действующее, а не амплитудное значение тока первичной обмотки трансформатора.

Для правильного решения необходимо разложение в ряд Фурье функции тока (рис. 3, в). Разложение в ряд Фурье целесообразно выполнять с применением вычислительной техники, например в программе Mathcad [14].

На панели Mathcad размещаются: калькулятор, греческий алфавит, программирование и символьные операции. Затем записывается интеграл по выражению (5), нажимается "→" (символьные), в следующей строке записывается $n=1$ (первая гармоника), затем копируется первое выражение и нажимается "=" на калькуляторе – получаем решение при ($x=\omega t$).

$\frac{2}{\pi }\underset{\frac{1}{6}\pi }{\overset{\frac{5}{6}\pi }{\int }}\left(114\right)\text{sin}\left(nx\right)dx\to \frac{228\left(\text{cos}\left(\frac{\pi n}{6}\right)-\text{cos}\left(\frac{5\pi n}{6}\right)\right)}{\pi n}$,

$n\text{:}=1$

$\frac{2}{\pi }\underset{\frac{1}{6}\pi }{\overset{\frac{5}{6}\pi }{\int }}\left(114\right)\text{sin}\left(nx\right)dx\to \frac{228\sqrt{3}}{\pi }=\mathrm{125,703}$.

Таким образом, отношение амплитуды первой гармоники к действующему значению 125,7/114=1,103. В результате получим формулу для определения коэффициента несинусоидальности с учетом действующих значений токов:

$K_u=\frac{100\%\cdot \mathrm{1,103}\cdot I_{d1}\cdot {Х}_{\text{ПС}}\cdot \sqrt{V}}{\sqrt{2}\cdot U_{\text{Ф}}}$, (10)

где V – количество учитываемых гармоник.

Подставляя значения в (10), получим $K_u=\mathrm{7,22}$% при $V=9$ и  $K_u=\mathrm{4,81}$% при $V=4$.

Для проверки получим уменьшение амплитуды фазного напряжения:

$\Delta U_{\text{Ф}}=\mathrm{311,1}\cdot \mathrm{0,0722}=\mathrm{22,46}$ В.

В соответствии с выражением (1) после суммирования гармоник должны получить функцию, соответствующую рис. 3, в, для чего необходимо учитывать не менее 12 гармоник.

Недостатком определения K_u является некоторая произвольность в количестве учитываемых гармоник. А также во всех источниках при расчете гармоник тока не дается рекомендаций, на какие номера гармоник необходимо устанавливать на подстанции резонансные фильтры.

Не случайно в новом ГОСТ [20] вычисляют значение коэффициента искажения синусоидальности кривой напряжения К_(U)i в процентах как результат i-го наблюдения по формуле (то есть не производится вычисление по гармоникам тока):

$K_{Ui}=\frac{\sqrt{{\displaystyle \sum _{n=2}^{40}{U}_{\left(n\right)i}^2}}}{U_{\left(1\right)i}}\cdot 100$,

где U_(1)i — действующее значение междуфазного (фазного) напряжения основной частоты для i-го наблюдения, В.

В данной работе производится другой подход к определению коэффициента искажения синусоидальности кривой напряжения. Выпрямительные установки не являются источниками гармоник, а представляют собой электроприемники с нелинейной характеристикой потребления электрического тока, при этом искажается форма кривой синусоиды питающего напряжения. Эта искаженная синусоида и является источником высших гармоник.

Полное сопротивления питающей сети:

$Z_{\text{ПС}}=\sqrt{R_{\text{ПС}}^{\text{2}}+X_{\text{ПС}}^{\text{2}}}=\sqrt{{\mathrm{0,00363}}^2+{\mathrm{0,0143}}^2}=\mathrm{0,0148}$ Ом.

Амплитуда фазного напряжения:

$U_{\text{m1}}=\sqrt{2}\cdot 220=\mathrm{311,1}$ В.

Величина амплитуды напряжения при протекании тока I_d1:

$U_{m2}=U_{m1}-I_{d1}\cdot Z_{\text{ПС}}=\mathrm{311,1}-\mathrm{114,26}\cdot \mathrm{0,0148}=\mathrm{309,4}$ В.

На рис. 4 показана расчетная графическая функция искаженной формы синусоиды. Это нечетная периодическая функция с периодом 2π, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье по выражению (5). При этом определяются коэффициенты разложения на отрезках b_1n (0-π/6), b_2n (π/6-5/6 π), b_3n (5/6 π- π), затем определяются значения суммы b_n= b_1n+ b_2n+b_3n.

Рис. 4. Расчетная графическая функция

Решение интегральных функций производится в программе Mathcad. Например, решение для b₁ для гармоники $n=5$:

$b_1\text{:}=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{\frac{1}{6}\pi }{\int }}311.1\cdot \text{sin}\left(x\right)\cdot \sin \left(nx\right)dx\to$

$\to \frac{2\left(-\frac{311.1\cdot \text{sin}\left(-0.52n+0.52\right)}{2n-2}-\frac{311.1\cdot \text{sin}\left(0.52n+0.52\right)}{2n-2}\right)}{\pi }$

$n:=5$,

$b_1:=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{\frac{1}{6}\pi }{\int }}311.1\cdot \sin \left(x\right)\cdot \sin \left(nx\right)dx\to 21.44$.

Аналогичные решения – для b₂, b₃ при варьировании номера гармоник, результаты представлены в табл. 2.

Таблица 2. Коэффициенты ряда Фурье для двенадцати гармоник

Наибольшие гармоники – с номерами 3, 5, 7, 11, на эти гармоники можно устанавливать резонансные фильтры. Полученные результаты существенно отличаются от расчетов с использованием гармоник тока.

Коэффициент несинусоидальности в соответствии с выражением (8)

$K_u=\frac{\sqrt{{\mathrm{0,234}}^2+{\mathrm{0,234}}^2+{\mathrm{0,12}}^2+{\mathrm{0,1}}^2}}{220}\cdot 100\%=0.166\%$.

Коэффициент несинусоидальности предлагается определять как отношение суммы действующих значений гармоник к фазному напряжению

$K_u=\frac{(\mathrm{0,234}+\mathrm{0,234}+\mathrm{0,12}+\mathrm{0,1})\cdot \mathrm{1,1}}{\sqrt{2}\cdot 220}\cdot 100\%=0.22\%$.

Соединение первичной обмотки трансформатора в треугольник (рис. 5) при тех же значениях параметров выпрямителя.

Действующие значения токов фаз первичной обмотки [13] равны:

$I_{ab}=I_{ca}=I_{d1}=\frac{I_{d2}}{\sqrt{3}{K}_{\text{T}}}=\frac{1225.5}{\sqrt{3}\cdot 10.728}=66.03\text{A}$,

так как у обмотки увеличивается число витков в $\sqrt{3}$ раза при напряжении 380 В.

Рис. 5. Первичная обмотка в треугольник

На рис. 6 показана векторная диаграмма для определения тока из сети, например для фазы А:

$\overline{I_{\text{A}}}=\overline{I_{ab}}-\overline{I_{ca}}$.

Результирующий вектор I_A сдвинут по фазе на 30⁰ относительно I_ab. Его величина определяется с учетом фазового сдвига:

$I_{d1}=I_{\text{A}}=I_{ab}\cdot \text{сos}{30}^0+I_{caq}\cdot \text{сos}{30}^0=2\cdot 66.03\cdot \text{сos}{30}^0=114.36\text{A}$,

то есть из сети потребляется такой же ток по величине, как при трансформаторе с соединением «звезда – звезда».

Рис. 6. Векторная диаграмма

При суммировании токов на графике (рис. 3, с, d, e) если прямоугольные формы не совпадают по фазе, то сила тока будет I_d1/2 = I_A/2. Это подтверждается [12] осциллограммами.

Расчетная графическая функция аналогична по форме (рис. 4) с изменением пределов интегрирования: (0-1/3π), (1/3π-2/3π), (2/3π-π), при этом также изменяются амплитуды напряжений.

Величина амплитуды напряжения в пределах (0-1/3π) и (2/3π-π) при протекании тока I_d1:

$U_{m2}=U_{m1}-I_{d1}\cdot Z_{\text{ПС}}=\mathrm{311,1}-\mathrm{114,26}\cdot \mathrm{0,0148}=\mathrm{309,4}\text{В}$.

Величина амплитуды напряжения в пределах (1/3π-2/3π) при протекании тока I_d1/2:

$U_{m3}=U_{m1}-\frac{I_{d1}}{2}\cdot Z_{\text{ПС}}=\mathrm{311,1}-\frac{\mathrm{114,26}}{2}\cdot \mathrm{0,0148}=\mathrm{310,25}\text{В}$.

Аналогичный расчет, как и в предыдущем случае, показывает, что номера гармоник будут такими же (см. табл. 2), амплитуда гармоник будет в два раза меньше.

Трехфазная нулевая схема

Фазное напряжение вторичной обмотки трансформатора для выпрямителя [9, 10] (рис. 7):

${U_2}_{Ф}=\frac{U_d}{\mathrm{1,17}}=\frac{48}{\mathrm{1,17}}=\mathrm{41,02}\text{В}$.

Коэффициент трансформации:

$K_{Т}=\frac{U_{\text{1Ф}}}{U_{\text{2Ф}}}=\frac{220}{\mathrm{41,02}}=\mathrm{5,36}$.

Рис. 7. Трехфазная нулевая схема

Действующее значение вторичного тока для трехфазной нулевой схемы с учетом диаграммы (рис. 3) [10, 11]:

$I_{d2}=\sqrt{\frac{1}{2\pi }\left(\underset{0}{\overset{\frac{2}{3}\pi }{\int }}{I}_d^{2}dv\right)}=\frac{I_d}{\sqrt{3}}=\mathrm{867,05}\text{А}$.

Действующее значение первичного тока

$I_{d10}=\frac{\sqrt{2}{I}_d}{3K_{\text{T}}}=\frac{\sqrt{2\cdot }1500}{3\cdot \mathrm{5,36}}=\mathrm{131,52}\text{А}$.

Трансформатор Т3 для трехфазной нулевой схемы должен быть мощнее в 1,3 раза, поэтому принят трансформатор Т3 (ТМ160/10). Мощность трансформатора 160 кВа. Технические данные:

ΔР_ХХ=0,51 кВт, ΔР_КЗ=2,65 кВт, ΔU_КЗ=4,5 %.

Полное сопротивление трансформатора, приведенное к 0,4 кВ:

$Z_{\text{T}}=\frac{U_{\text{K}}\%}{100}\cdot \frac{U_{\text{H}}^2}{S_{\text{H}}}=\frac{\mathrm{4,5}}{100}\cdot \frac{{400}^2}{160000}=\mathrm{0,045}\text{Ом}$.

Активное сопротивление:

$R_T=\frac{\Delta P_{КЗ}{U}_H^2}{S_H^2}=\frac{2650\cdot {400}^2}{{160000}^2}=\mathrm{0,0166}\text{Ом}$.

Индуктивное сопротивление:

$X_T=\sqrt{Z_T^2-R_T^2}=\sqrt{{\mathrm{0,045}}^2-{\mathrm{0,0166}}^2}=\mathrm{0,0418}\text{Ом}$.

Полное сопротивление питающей сети:

$Z_{\text{ПС}}=\sqrt{R_{\text{ПС}}^{\text{2}}+X_{\text{ПС}}^{\text{2}}}=\sqrt{{\mathrm{0,00363}}^2+{\mathrm{0,0143}}^2}=\mathrm{0,0148}\text{Ом}$.

Амплитуда фазного напряжения:

$U_{\text{m1}}=\sqrt{2}\cdot 220=\mathrm{311,1}\text{В}$.

Величина амплитуды напряжения при протекании тока I_d10:

$U_{m20}=U_{m1}-I_{d1}\cdot Z_{\text{ПС}}=\mathrm{311,1}-131.52\cdot \mathrm{0,0148}=\mathrm{309,2}\text{В}$.

На рис. 8 показана форма искажённой синусоиды, полученная расчётным путём с учетом всех коэффициентов Фурье (2) – (4). Расчет производится в программе Mathcad, как в предыдущем случае.

Рис. 8. Расчетная графическая функция 3-фазной нулевой схемы

Определение коэффициентов разложения a₀, b, a производится на отрезках с учетом амплитуды напряжений: (0-π/6), (π/6-5/6 π), (5/6 π- π), (π -2π), затем определяются значения их суммы.

Например, для a₁₀:

$a_{10}:=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\frac{1}{6}\pi }{\int }}311.1\cdot \sin \left(x\right)dx\to 13.27$.

Для других отрезков получено $a_{20}=\mathrm{140,47}, a_{30}=\mathrm{13,27}, a_{40}=-\mathrm{198,05}$. Сумма значений показывает величину постоянного смещения $\sum a_0=\mathrm{1,04}$.

Определение коэффициентов производится аналогично, например для 1-й гармоники

$b_1\text{:}=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\frac{1}{6}\pi }{\int }}311.1\cdot \text{sin}\left(x\right)\cdot \sin \left(nx\right)dx\to$

$\to \frac{\frac{311.1\cdot \text{sin}\left(0.52n-0.52\right)}{2n-2}-\frac{311.1\cdot \text{sin}\left(0.52n+0.52\right)}{2n+2}}{\pi }$,

$n:=1$,

$b_1:=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\frac{1}{6}\pi }{\int }}311.1\cdot \sin \left(x\right)\cdot \sin \left(nx\right)dx\to 4.49$.

Данные расчетов сводятся в таблицу (табл. 3).

Таблица 3. Коэффициенты b синусных гармоник

Аналогично рассчитываются коэффициенты а (табл. 4):

$a_1\text{:}=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\frac{1}{6}\pi }{\int }}311.1\cdot \text{sin}\left(x\right)\cdot \cos \left(nx\right)dx\to$

$\to \frac{5388.41\cdot \text{cos}\left(0.52n\right)+311.1\cdot n\cdot \text{sin}\left(0.52n\right)-6222}{\pi \left(20n^2-20\right)}$,

$n:=1$,

$a_1:=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\frac{1}{6}\pi }{\int }}311.1\cdot \sin \left(x\right)\cdot \cos \left(nx\right)dx\to 12.38$.

Таблица 4. Коэффициенты а косинусных гармоник

В трехфазной нулевой схеме спектр наибольших гармоник дополняется четными гармониками с номерами 2, 4, 6, 8, 10.

Определяется коэффициент несинусоидальности:

$K_u=\frac{(\mathrm{0,13}+\mathrm{0,13}+\mathrm{0,07}+\mathrm{0,06}+\mathrm{0,52}+\mathrm{0,09}+\mathrm{0,08}+\mathrm{0,05})\cdot \mathrm{1,1}}{\sqrt{2}\cdot 220}\cdot 100\%=0.4\%$.

Для проверки получим уменьшение амплитуды фазного напряжения ΔU_Ф=311,1׳0,004=1,24 В, что значительно меньше значений полученных из выражения (10) равных ΔU_Ф =22,46 В. Не может быть коэффициент несинусоидальности 7,22 %, когда при протекании тока первичной обмотки трансформатора амплитуда напряжения уменьшается всего на 1,9 В.

Таким образом, предлагается разработанная методика расчета высших гармоник напряжения и определения коэффициента искажения синусоидальности кривой напряжения на основании разложения в ряд Фурье искаженной кривой синусоиды напряжения при работе трехфазных неуправляемых выпрямителей.

Об авторах

Вячеслав Семёнович Осипов

Автор, ответственный за переписку.
Email: osipov_4343@mail.ru

доцент кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий», кандидат технических наук

Список литературы

Дополнительные файлы

Доп. файлы

Действие

1. JATS XML

Скачать

2. Рис. 1. Расчетная схема

Скачать (13KB)

Метаданные

3. Рис. 2. Трансформатор «звезда – звезда» и выпрямитель по схеме Ларионова

Скачать (15KB)

Метаданные

4. Рис. 3. Диаграммы напряжений и токов

Скачать (39KB)

Метаданные

5. Рис. 4. Расчетная графическая функция

Скачать (6KB)

Метаданные

6. Рис. 5. Первичная обмотка в треугольник

Скачать (9KB)

Метаданные

7. Рис. 6. Векторная диаграмма

Скачать (12KB)

Метаданные

8. Рис. 7. Трехфазная нулевая схема

Скачать (11KB)

Метаданные

9. Рис. 8. Расчетная графическая функция 3-фазной нулевой схемы

Скачать (6KB)

Метаданные