Analysis of the operation of electromagnetic bearings in the difference of the center of the magnetic system relative to the axis of rotation and variations of the supply voltage

Full Text

Введение

В настоящее время электромагнитные подшипники достаточно широко используются на практике. Их применение охватывает ключевые сферы промышленности, такие как транспорт, энергетика, топливно-энергетический комплекс, станкостроение, авиация, космическая отрасль и др. Например, применение электромагнитных подшипников (активных магнитных подшипников) является перспективным направлением в области энергетического машиностроения. Действительно, замена в газоперекачивающих агрегатах и мощных электродвигателях гидростатических подшипников скольжения на электромагнитные позволяет исключить маслосистему, снизить механические потери на трение и повысить ресурс работы оборудования [1–11]. При этом происходит снижение потребления электрической энергии, необходимой для функционирования маслосистемы подшипников скольжения. Кроме того, применение электромагнитных подшипников актуально в высокоскоростных электрошпинделях, поскольку наряду с увеличением межремонтного периода позволяет обеспечить высокую жесткость опор [12, 13].

Однако электромагнитные подшипники сами по себе потребляют электрическую энергию, которая идет на поддержание ротора в требуемом положении и нагрев обмоток электромагнитов. Наряду с высокой стоимостью и сложностью конструкции данный аспект также относят к перечню недостатков электромагнитных подшипников. В настоящее время вопросы энергосбережения являются весьма актуальными и учитываются при проектировании и разработке любого электротехнического устройства. В связи с этим целью работы является снижение потребления электроэнергии активными магнитными подшипниками.

Решение поставленной задачи

Для достижения поставленной цели предлагается сместить центр магнитной системы электромагнитных подшипников, компенсирующих вес ротора, относительно оси вращения. Это позволит при одном и том же токе электромагнита за счет уменьшения воздушного зазора увеличить силу притяжения электромагнита, направленную против силы веса.

Рассмотрим случай, когда ротор какого-либо агрегата, оснащенного электромагнитными подшипниками, расположен горизонтально. Тогда компенсацию веса ротора будут производить радиальные электромагнитные подшипники. Расчетная схема одного радиального электромагнитного подшипника с учетом смещения центра магнитной системы относительно оси вращения приведена на рис. 1. Управление токами $I_1$ и $I_3$ электромагнитов ЭМ1 и ЭМ3, расположенных по оси $x$, производится независимо от регулирования токами $I_2$ и $I_4$ электромагнитов ЭМ2 и ЭМ4, действующих по оси $y$.

 

Рис. 1. Расчетная схема радиального электромагнитного подшипника с учетом смещения центра магнитной системы относительно оси вращения

 

Если использовать дифференциальный закон управления электромагнитами каждой оси, при котором увеличение тока одного электромагнита приводит к пропорциональному уменьшению тока противоположного электромагнита, то перемещение ротора, например, по оси  описывается следующей системой уравнений [14]:

$\left.\begin{array}{l}U\left(k_{ШИМ}{N}_y+\mathrm{0,5}\right)=L_2\frac{d{I}_2}{dt}+R_2{I}_2+k_{E2}\frac{dy}{dt}+L_{24}\frac{d{I}_4}{dt};\\ U(\mathrm{0,5}-k_{ШИМ}{N}_y)=L_4\frac{d{I}_4}{dt}+R_4{I}_4-k_{E4}\frac{dy}{dt}+L_{42}\frac{d{I}_2}{dt};\\ m\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=k_{ЭМ}\left(\frac{I_2}{I_2+I_4}-\mathrm{0,5}\right)+k_{F}y-G_y\pm F_{вy},\end{array}\right\}$ (1)

где $U$, $k_{ШИМ}$ и $N_y$ – опорное напряжение, коэффициент передачи и величина сигнала на входе широтно-импульсного модулятора (ШИМ); $L_2$, $R_2$ – индуктивность и активное сопротивление обмотки второго электромагнита ЭМ2; $L_4$, $R_4$ – индуктивность и активное сопротивление обмотки третьего электромагнита ЭМ4; $L_{24}$ и $L_{42}$ – коэффициенты взаимной индукции между электромагнитами; $k_{E2}$ и $k_{E4}$ – коэффициенты, связывающие наводимые в соответствующих обмотках электродвижущие силы со скоростью перемещения ротора; $m$ – масса ротора, приходящаяся на один радиальный электромагнитный подшипник; $k_F$ – коэффициент положительной обратной связи по перемещению; $k_{ЭМ}$ – коэффициент, связывающий силу, действующую на ротор, с токами $I_2$ и $I_4$ во втором и четвертом электромагнитах; $G_y$ – часть веса ротора, приходящаяся на ось $y$ радиального электромагнитного подшипника; $F_{вy}$ – составляющая внешней возмущающей силы по оси $y$.

Системе уравнений (1) соответствует следующая передаточная функция радиального электромагнитного подшипника как объекта управления [15]:

$W{}_{ОУ}\left(p\right)=\frac{\frac{k_{ШИМ}{k}_{ЭМ}U\left(I_{20}{R}_2+I_{40}{R}_4\right)}{k_F{R}_2{R}_4{\left(I_{20}+I_{40}\right)}^2}\left[\frac{I_{20}\left(R_2{T}_2+L_{42}\right)+I_{40}\left(R_4{T}_4+L_{24}\right)}{I_{20}{R}_2+I_{40}{R}_4}p+1\right]}{\begin{array}{l}\frac{m}{k_F}\left(T_2{T}_4-\frac{L_{24}{L}_{42}}{R_2{R}_4}\right)p^4+\frac{m\left(T_2+T_4\right)}{k_F}{p}^3+\left[\frac{m}{k_F}+\frac{k_{ЭМ}}{k_F{R}_2{R}_4}\times \right.\\ \left.\times \frac{I_{20}\left(k_{E4}{R}_2{T}_2+k_{E2}{L}_{42}\right)+I_{40}\left(k_{E2}{R}_4{T}_4+k_{E2}{L}_{24}\right)}{{\left(I_{20}+I_{40}\right)}^2}+\frac{L_{24}{L}_{42}}{R_2{R}_4}-T_2{T}_4\right]p^2+\\ +\left[\frac{k_{ЭМ}}{k_F{R}_2{R}_4}\frac{I_{20}{k}_{E4}{R}_2+I_{40}{k}_{E2}{R}_4}{{\left(I_{20}+I_{40}\right)}^2}-\left(T_2+T_4\right)\right]p-\mathrm{1,}\end{array}}$ (2)

где $I_{20}$ и $I_{40}$ – начальные значения токов в рабочей точке; $T_2=\frac{L_2}{R_2}$ и $T_4=\frac{L_4}{R_4}$ – постоянные времени обмоток электромагнитов, вызванные собственными индуктивностями $L_2$ и $L_4$.

Основные особенности электромагнитных подшипников как объектов управления заключаются в нестационарности и принципиальной неустойчивости [15]. Нестационарность проявляется в том, что такие параметры электромагнитного подшипника, как $L_2$, $L_4$, $k_F$, $k_{ЭМ}$, $k_{E2}$ и $k_{E4}$, изменяются в функции смещения ротора относительно центра магнитной системы. Неустойчивость связана с наличием положительной обратной связи по перемещению.

При исследовании влияния смещения центра магнитной системы электромагнитных подшипников относительно оси вращения на работу предположим, что управление электромагнитным подшипником по каждой оси осуществляет трехконтурная система управления (рис. 2) [16, 17].

 

Рис. 2. Структурная схема непрерывного прототипа трехконтурной системы управления электромагнитным подшипником

 

Она содержит во внутреннем контуре пропорционально-дифференциальный регулятор с передаточной функцией

$W_{ПД}\left(p\right)=k_{ПД}(T_{ПД}p+1)$,

где $k_{ПД}$ – коэффициент передачи; $T_{ПД}$ – постоянная времени регулятора, который обеспечивает компенсацию основной инерционности объекта.

Во втором и третьем контурах применены соответственно пропорциональный регулятор с коэффициентом передачи $k_{П}$ и интегральный регулятор, имеющий постоянную времени $T_{И}$. Эти регуляторы предназначены для придания электромагнитному подшипнику требуемых динамических и статических свойств.

Параметры регуляторов системы управления электромагнитным подшипником рассчитываются для центрального положения ротора относительно магнитной системы подшипника по следующим аналитическим выражениям [17, 18]:

$\left.\begin{array}{l}{T}_{ПД}=3T_{Э};\text{}\\ k_{ПД}=k_{П};\\ k_{ОСС}=2\xi \sqrt{\frac{m}{3k_{ШИМ}{k}_{ЭМ}{k}_{ДП}}}-\frac{2m}{9k_{ПД}{k}_{ШИМ}{k}_{ЭМ}{k}_{ДП}{T}_{Э}};\\ T_{И}=\frac{\mathrm{2,19}\left(-b+\sqrt{b^2-4ac}\right)}{a},\end{array}\right\}$ (3)

где $T_{Э}=\frac{L_2-L_{24}}{R_2}$; $\xi$ – задаваемый параметр демпфирования колебаний;

$a=(k_2-k_F)(m+k_1{T}_{ПД})\left(\frac{k_{ЭМ}{k}_E}{U}+k_1+k_2{T}_{ПД}-k_F{T}_{Э}\right)-m{(k_2-k_F)}^2{T}_{Э}$;

$b=k_2{T}_{ПД}(m+k_1{T}_{ПД})\left(\frac{k_{ЭМ}{k}_E}{U}+k_1+k_2{T}_{ПД}-k_F{T}_{Э}\right)-2m{k}_2(k_2-k_F)T_{ПД}{T}_{Э}-k_2{(m+k_1{T}_{ПД})}^2$;

$c=-m{T}_{Э}{k}_2^2{T}_{ПД}^2$; $k_1=k_{ПД}{k}_{ШИМ}{k}_{ЭМ}{k}_{ОСС}{k}_{ДП}$; $k_2=k_{П}{k}_{ПД}{k}_{ШИМ}{k}_{ЭМ}{k}_{ДП}$.

Для оценки влияния смещения центра магнитной системы относительно оси вращения на качество работы и энергопотребление радиального электромагнитного подшипника воспользуемся методом компьютерного моделирования в программе Matlab Simulink. При этом возьмем за основу характеристики электромагнитов, разработанных для электромагнитного подвеса ротора опытного образца турбонагнетателя 6ТК-Э дизеля локомотива [19, 20].

В рассматриваемом агрегате масса ротора, приходящаяся на один электромагнитный подшипник, составляет $m=18$ кг, а опорное напряжение широтно-импульсного преобразователя – $U=60$ В. При центральном положении ротора электромагниты характеризуются следующими параметрами: $L_2=L_4=\mathrm{2,54}$ Гн; $R_2=R_4=\mathrm{96,6}$ Ом; $L_{24}=L_{42}=\mathrm{0,0033}$ Гн; $k_E=k_{E2}=k_{E4}=1544$ Вс/м; $k_{ЭМ}=1272$ Н; $k_F=1424000$ Н/м.

Принимая в качестве коэффициента передачи широтно-импульсного модулятора $k_{ШИМ}=\mathrm{0,0001221}$, что соответствует 12-разрядному ШИМ, при $\xi =\mathrm{0,216}$ по формулам (3) найдем требуемые настройки регуляторов системы управления электромагнитным подшипником: $T_{ПД}=\mathrm{0,079}$ с; $k_{ПД}=k_{П}=2$; $k_{ОСС}=\mathrm{0,0008}$ с; $T_{И}=\mathrm{0,008}$ с.

Теперь проверим работоспособность радиального электромагнитного подшипника при смещении центра магнитной системы от оси $y$ вращения ротора на величину ${\epsilon }_y=\mathrm{0,000125}$ м. При этом учтем, что параметры электромагнитов изменятся и станут равными: $L_2=\mathrm{3,05}$ Гн; $L_4=\mathrm{2,15}$ Гн; $k_{E2}=2174$ Вс/м; $k_{E4}=913$ Вс/м; $k_{ЭМ}=1361$ Н; $k_F=1360000$ Н/м.

Расчетная модель цифровой системы управления электромагнитным подшипником (ЭМП) при периоде дискретизации $T=\mathrm{0,0002}$ с приведена на рис. 3. Она содержит объект управления (рис. 4), учитывающий приведенные выше параметры, а также ограничения силы электромагнитов на уровне 732 Н и перемещений в диапазоне ±0,00025 м.

 

Рис. 3. Расчетная модель цифровой системы управления электромагнитным подшипником

 

Рис. 4. Расчетная модель электромагнитного подшипника как объекта управления при напряжении питания $U=60$ В и смещении оси вращения на ${\epsilon }_y=\mathrm{0,000125}$ м относительно центра магнитной системы

 

Расчетная модель позволяет построить график перемещения ротора из нулевого относительно центра магнитной системы положения в координату $y=\mathrm{0,000125}$ м (рис. 5). Он показывает, что при выбранных настройках регуляторов система управления электромагнитным подшипником работает устойчиво и при смещении центра магнитной системы относительно оси вращения ротора.

 

Рис. 5. Переходный процесс перемещения ротора из нулевого относительно центра магнитной системы положения в координату $y=\mathrm{0,000125}$ м при $U=60$ В

 

Попытаемся теперь уменьшить опорное напряжение ШИМ до $U=50$ В. Компьютерное моделирование показывает, что при уменьшении напряжения питания обмоток электромагнитов получается переходный процесс, аналогичный графику, приведенному на рис. 5. Так же ведет себя радиальный электромагнитный подшипник и при опорном напряжении ШИМ, равным 40 и 30 В. Однако при включении системы управления электромагнитным подвесом изначально ротор находится на страховочных подшипниках.

Если считать, что зазор в страховочных подшипниках рассматриваемого агрегата составляет 0,00025 м, то в момент включения электромагнитного подвеса ротор находится в координате $y=-\mathrm{0,000125}$ м относительно центра магнитной системы. При этом параметры электромагнитов при $U=50$ В имеют следующие значения [19, 20]: $L_2=\mathrm{1,83}$ Гн; $L_4=\mathrm{3,2}$ Гн; $k_{E2}=760$ Вс/м; $k_{E4}=1026$ Вс/м; $k_{ЭМ}=443$ Н; $k_F=511100$ Н/м.

Моделирование показывает, что с такими параметрами и при $U=50$ В ротор турбонагнетателя уверенно всплывает со страховочных подшипников (рис. 6).

 

Рис. 6. Процесс всплытия ротора со страховочных подшипников при $U=50$ В

 

При дальнейшем снижении питающего напряжения стабильность функционирования снижается. Так, при напряжении $U=40$ В ротор турбонагнетателя не может подняться со страховочных подшипников, а при $U=45$ В всплытие ротора существенно затягивается.

Тем не менее проведенное исследование показывает, что при смещении центра магнитной системы на ${\epsilon }_y=\mathrm{0,000125}$ м относительно оси вращения ротора нагнетателя напряжение питания электромагнитов можно снизить до 50 В. Это приведет к повышению энергетической эффективности электромагнитного подшипника за счет снижения потребляемой мощности пропорционально квадрату отношения напряжений, то есть на 30 %. Кроме того, снижение напряжения питания обеспечивает уменьшение температуры нагрева обмоток электромагнитов, что упрощает требования к их охлаждению.

Выводы

1. Смещение центра магнитной системы электромагнитных подшипников, компенсирующих вес ротора, относительно оси вращения является эффективным методом снижения напряжения питания обмоток электромагнитов.
2. Снижение напряжения питания электромагнитов приводит к повышению энергетической эффективности электромагнитных подшипников и уменьшению температуры нагрева обмоток.

About the authors

Alexander V. Starikov

Samara State Technical University

Email: star58@mail.ru

(Dr. (Techn.)), Professor

Russian Federation, 244, Molodogvardeyskaya str., Samara, 443100

Vladislav D. Kostukov

Samara State Technical University

Author for correspondence.
Email: kostyukovvlad@yandex.ru

Postgraduate Student

Russian Federation, 244, Molodogvardeyskaya str., Samara, 443100

References

Supplementary files