К вопросу об устойчивости математической модели конкурентного поведения двух экономических агентов
- Авторы: Болодурина И.П.1, Огурцова Т.А.1
-
Учреждения:
- Оренбургский государственный университет
- Выпуск: Том 21, № 3 (2013)
- Страницы: 219-222
- Раздел: Статьи
- URL: https://journals.eco-vector.com/1991-8542/article/view/19906
- DOI: https://doi.org/10.14498/tech.2013.3.%25u
- ID: 19906
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Исследована устойчивость нетривиального положения равновесия динамической модели конкурентного поведения двух экономических агентов, описанной системой нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.
Полный текст
В экономике, прогнозируя поведение отрасли на год, два или более, мы абстрагируемся от скачкообразных изменений структуры экономической системы, т. е. технологического времени производства, банкротства предприятия, слияния и т. д. Как следствие, происходит некоторое сглаживание динамического процесса, замена реальной траектории на модельную. Кроме того, большое значение имеет сильная нестационарность реального процесса, поскольку внешняя среда играет огромную роль при производстве, распределении и потреблении товаров и услуг. Учесть в полной мере все возмущающие факторы неспособна ни одна математическая модель, и поэтому понятие устойчивости при постоянно действующих возмущениях актуально и в экономической динамике. Устойчивость экономической модели подразумевает, что малые постоянно действующие возмущения изменяют динамический процесс мало, и если некоторая мера возмущений стремится к нулю, то и отклонения процесса уменьшаются до нуля [4]. Реальные данные об абонентской базе на российском рынке сотовой связи демонстрируют сложное взаимное поведение двух экономических агентов, рассматриваемых в данной работе. На динамику развития числа абонентов каждого оператора сотовой связи оказывают влияние множество факторов: экспоненциальный рост числа абонентов в отсутствие конкурентов, нелинейность во взаимодействии сотовых операторов, временной лаг, определяющий разницу во времени между изменениями в рыночной ситуации и моментом принятия управленческих решений с целью реагирования на эти изменения, а также наличие конкурентов на рынке сотовой связи. Поэтому возникает проблема эффективного управления поведением предприятий сотовой связи с учетом фактора цены. Поставим задачу привлечения абонентов и, как следствие, увеличения прибыли первого экономического агента путем управления ценой за минуту связи. Для моделирования процесса управления введем показатель , характеризующий среднюю стоимость минуты пользования услугами связи оператора в момент времени и удовлетворяющий ограничению , (1) где – минимальная средняя стоимость минуты связи, при которой затраты на издержки не превысят выручку, получаемую от использования услуг сотовой связи (себестоимость минуты связи); – максимальная средняя стоимость минуты связи, позволяющая оператору оставаться конкурентоспособным на рынке. Использование логистической модели (2) Лотки – Вольтерра с запаздыванием во времени для описания конкурентного поведения предприятий сотовой связи позволяет учесть все вышеперечисленные факторы в полном объеме: , (2) где , – число абонентов -го оператора сотовой связи в момент времени ; – коэффициент прироста абонентской базы -го оператора сотовой связи; – коэффициент взаимного влияния -го и -го предприятий, предоставляющих услуги сотовой связи; – коэффициент влияния средней стоимости минуты на прирост числа абонентов i-го оператора сотовой связи; – временной лаг (запаздывание), связанный с разницей во времени между изменениями в рыночной ситуации и моментом принятия управленческих решений с целью реагирования на эти изменения. Исследование поведения любой динамической системы сводится к изучению поведения фазовых траекторий в фазовом пространстве. Рассмотрим фазовый портрет в окрестности нетривиального положения равновесия неуправляемой системы (2) при нулевом запаздывании и при условии , так как при малом положительном значении выводы о качественном поведении решений системы продолжают иметь место [1]: (3) Исследуем на устойчивость стационарное состояние (3). Для этого рассмотрим малые возмущения неизвестных функций от состояния равновесия, положив . (4) Подставим равенства (4) в систему (1), считая и величинами более высокого порядка малости [2]. Поскольку об устойчивости системы можно судить, ограничиваясь рассмотрением лишь уравнений первого приближения, то, отбрасывая слагаемые выше первого порядка малости, получим соответствующую систему (5) с начальными возмущениями . Следует отметить, что выводы, полученные с помощью линейных приближений, распространяются на исходных процесс и затем используются для прогнозирования или управления. Вопрос об устойчивости системы в окрестности положения равновесия (3) сводится к исследованию собственных значений матрицы , (6) то есть к определению решений характеристического уравнения , (7) где , . В работе [5] описана процедура идентификации параметров модели конкурентного поведения предприятий сотовой связи, в результате которой получена система дифференциальных уравнений с запаздыванием (8), описывающая динамику развития абонентской базы каждого из них: (8) Для случая отсутствия управляющего воздействия, то есть , характеристическое уравнение (7) имеет два положительных действительных корня , что, по следствию из теоремы Стодола [3], доказывает неустойчивость стационарного решения системы (2). Полученные результаты говорят о том, что деятельностью любого экономического агента необходимо управлять. Для того чтобы предприятию сотовой связи оставаться ведущим региональным оператором России, компания должна не только предлагать услуги сотовой связи в стационарном режиме, но вести ценовой демпинг.×
Об авторах
Ирина Павловна Болодурина
Оренбургский государственный университет
Email: prmat@mail.osu.ru
(д.т.н., проф.), заведующая кафедрой «Прикладная математика» 460018, г. Оренбург, пр. Победы, 13
Татьяна Александровна Огурцова
Оренбургский государственный университет
Email: prmat@mail.osu.ru
старший преподаватель кафедры «Прикладная математика» 460018, г. Оренбург, пр. Победы, 13
Список литературы
- Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения: Учеб. для вузов. 2-е изд. / Под ред В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. – 348 с.
- Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. – Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 2001. – 230 с.
- Болодурина И.П. Исследование систем линейных дифференциальных уравнений. – Оренбург: ОГУ, 2004. – 98 с.
- Прасолов А.В. Математические методы экономической динамики. – СПб.: СПбГУЭФ, 2008.
- Огурцова Т.А. Идентификации параметров математической модели конкурентного поведения предприятий телекоммуникационной отрасли // Математика. Информационные технологии. Образование: III Всероссийская научно-практическая конференция. – Оренбург: ОГУ, 2011.
Дополнительные файлы
![](/img/style/loading.gif)