К вопросу об устойчивости математической модели конкурентного поведения двух экономических агентов

Аннотация

Исследована устойчивость нетривиального положения равновесия динамической модели конкурентного поведения двух экономических агентов, описанной системой нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

Полный текст

В экономике, прогнозируя поведение отрасли на год, два или более, мы абстрагируемся от скачкообразных изменений структуры экономической системы, т. е. технологического времени производства, банкротства предприятия, слияния и т. д. Как следствие, происходит некоторое сглаживание динамического процесса, замена реальной траектории на модельную. Кроме того, большое значение имеет сильная нестационарность реального процесса, поскольку внешняя среда играет огромную роль при производстве, распределении и потреблении товаров и услуг. Учесть в полной мере все возмущающие факторы неспособна ни одна математическая модель, и поэтому понятие устойчивости при постоянно действующих возмущениях актуально и в экономической динамике. Устойчивость экономической модели подразумевает, что малые постоянно действующие возмущения изменяют динамический процесс мало, и если некоторая мера возмущений стремится к нулю, то и отклонения процесса уменьшаются до нуля [4]. Реальные данные об абонентской базе на российском рынке сотовой связи демонстрируют сложное взаимное поведение двух экономических агентов, рассматриваемых в данной работе. На динамику развития числа абонентов каждого оператора сотовой связи оказывают влияние множество факторов: экспоненциальный рост числа абонентов в отсутствие конкурентов, нелинейность во взаимодействии сотовых операторов, временной лаг, определяющий разницу во времени между изменениями в рыночной ситуации и моментом принятия управленческих решений с целью реагирования на эти изменения, а также наличие конкурентов на рынке сотовой связи. Поэтому возникает проблема эффективного управления поведением предприятий сотовой связи с учетом фактора цены. Поставим задачу привлечения абонентов и, как следствие, увеличения прибыли первого экономического агента путем управления ценой за минуту связи. Для моделирования процесса управления введем показатель , характеризующий среднюю стоимость минуты пользования услугами связи оператора в момент времени и удовлетворяющий ограничению , (1) где – минимальная средняя стоимость минуты связи, при которой затраты на издержки не превысят выручку, получаемую от использования услуг сотовой связи (себестоимость минуты связи); – максимальная средняя стоимость минуты связи, позволяющая оператору оставаться конкурентоспособным на рынке. Использование логистической модели (2) Лотки – Вольтерра с запаздыванием во времени для описания конкурентного поведения предприятий сотовой связи позволяет учесть все вышеперечисленные факторы в полном объеме: , (2) где , – число абонентов -го оператора сотовой связи в момент времени ; – коэффициент прироста абонентской базы -го оператора сотовой связи; – коэффициент взаимного влияния -го и -го предприятий, предоставляющих услуги сотовой связи; – коэффициент влияния средней стоимости минуты на прирост числа абонентов i-го оператора сотовой связи; – временной лаг (запаздывание), связанный с разницей во времени между изменениями в рыночной ситуации и моментом принятия управленческих решений с целью реагирования на эти изменения. Исследование поведения любой динамической системы сводится к изучению поведения фазовых траекторий в фазовом пространстве. Рассмотрим фазовый портрет в окрестности нетривиального положения равновесия неуправляемой системы (2) при нулевом запаздывании и при условии , так как при малом положительном значении выводы о качественном поведении решений системы продолжают иметь место [1]: (3) Исследуем на устойчивость стационарное состояние (3). Для этого рассмотрим малые возмущения неизвестных функций от состояния равновесия, положив . (4) Подставим равенства (4) в систему (1), считая и величинами более высокого порядка малости [2]. Поскольку об устойчивости системы можно судить, ограничиваясь рассмотрением лишь уравнений первого приближения, то, отбрасывая слагаемые выше первого порядка малости, получим соответствующую систему (5) с начальными возмущениями . Следует отметить, что выводы, полученные с помощью линейных приближений, распространяются на исходных процесс и затем используются для прогнозирования или управления. Вопрос об устойчивости системы в окрестности положения равновесия (3) сводится к исследованию собственных значений матрицы , (6) то есть к определению решений характеристического уравнения , (7) где , . В работе [5] описана процедура идентификации параметров модели конкурентного поведения предприятий сотовой связи, в результате которой получена система дифференциальных уравнений с запаздыванием (8), описывающая динамику развития абонентской базы каждого из них: (8) Для случая отсутствия управляющего воздействия, то есть , характеристическое уравнение (7) имеет два положительных действительных корня , что, по следствию из теоремы Стодола [3], доказывает неустойчивость стационарного решения системы (2). Полученные результаты говорят о том, что деятельностью любого экономического агента необходимо управлять. Для того чтобы предприятию сотовой связи оставаться ведущим региональным оператором России, компания должна не только предлагать услуги сотовой связи в стационарном режиме, но вести ценовой демпинг.