Synthesis of time-optimal control system of the State-Constrained induction heating processes with interval of uncertainty characteristics of the object

Full Text

В реальных производственных условиях помимо учета ограничения на управляющее воздействие, определяемое энергетическими возможностями индукционной нагревательной установки, необходим учет дополнительного ограничения на величину максимальной температуры в процессе нагрева, которая не должна превышать предельно допустимого значения [1]. В качестве объекта управления рассматривается процесс индукционного нагрева металлических изделий цилиндрической формы с сосредоточенным управляющим воздействием по мощности внутреннего тепловыделения u(t), который можно в линейном приближении описать бесконечной системой дифференциальных уравнений для временных мод разложения температурного поля в ряд по собственным функциям радиальной координаты [2]: (1) На управляющее воздействие u(t) накладывается следующее ограничение: (2) Здесь R - радиус цилиндра; - удельная теплоемкость и плотность нагреваемого материала; - моды разложения заданного равномерного начального распределения температуры в бесконечный ряд по системе собственных функций; - собственные числа; - бесконечно возрастающая последовательность корней уравнения Bi - безразмерный критерий Био, характеризующий уровень тепловых потерь с поверхности цилиндра в процессе нагрева; - функции Бесселя нулевого и первого порядка; d1n - известные коэффициенты; - температура окружающей среды; - температурное поле нагреваемого металлического изделия, изменяющееся во времени t и по радиальной координате x, которое описывается следующим выражением: (3) где - коэффициент теплопроводности; - моды функции пространственного распределения по радиусу цилиндра внутренних источников тепла, определяемые по формуле . (4) Здесь ; f - частота питающего индуктор тока; - электропроводность нагреваемого материала; - абсолютная магнитная проницаемость нагреваемого материала; - функции Кельвина и их первые производные. Постановка задачи синтеза оптимальной по быстродействию системы автоматического управления (САУ) процессом индукционного нагрева металлических полуфабрикатов цилиндрической формы под обработку давлением в условиях интервальной неопределенности характеристик объекта без учета дополнительных фазовых ограничений и ее решение рассмотрены в [3]. Полученный в результате решения этой задачи алгоритм управления с обратной связью имеет вид (5) где - вектор неопределенных характеристик объекта, в качестве которых приняты начальная температура и безразмерный критерий Био ; - функция переключения оптимального управления u*, формируемая по измеряемым температурам на поверхности и в центре нагреваемого изделия; и - значения коэффициентов обратных связей и заданных конечных температурных состояний, определяемые согласно следующим зависимостям: (6) (7) Здесь - результирующие значения температур на поверхности и в центре нагреваемого изделия в конце оптимального процесса, рассчитанные в окрестности номинальной точки , где - предельно достижимая точность равномерного приближения к требуемой конечной температуре в классе управлений (5) с двумя интервалами постоянства; - нетривиальные решения однородной системы линейных уравнений рассчитанные при , где - расчетные моменты времени переключения оптимальной программы при . Далее в (6), (7) - наблюдаемые и заранее фиксируемые на протяжении первого интервала постоянства управления моменты времени при значения температуры в точках x1 = R и x2 = 0 при реализуемых значениях . Значения в (6), (7) рассчитываются по формулам [2]: (8) (9) при Параметры в (6), (7) рассчитаны по предложенной в [3] методике: (10) где и находятся путем дифференцирования выражений (8), (9). Учет фазового ограничения на максимальную температуру , ограниченную заданным допустимым пределом , приводит к необходимости обеспечения на всем протяжении процесса управления соотношения (11) В соответствии с принципом максимума Понтрягина [4] в этом случае оптимальное программное управление в каждый момент времени либо принимает одно из двух своих предельно допустимых значений umax и umin = 0, либо определяется из условий поддержания на предельно допустимом уровне максимальной температуры , что для рассматриваемого случая с двухинтервальным управлением в условиях обеспечения предельно достижимой точности равномерного приближения к заданному конечному температурному состоянию приводит к оптимальному программному алгоритму управления следующего вида (рис. 1) [2]: (12) Здесь - момент достижения равенства , - управление на участке движения по ограничению с поддержанием равенства , . Часто в реальных ситуациях за можно принять с допустимой погрешностью температуру поверхности нагреваемого металлического изделия для всех . Тогда, если пренебречь смещением во времени точки температурного максимума, при сравнительно малой длительности участка поддержания на равенство определяет с достаточной точностью управление в экспоненциальной форме [5]: , (13) где коэффициенты определяются по следующим выражениям: (14) Рис. 1. Управляющее воздействие и температурное поле в оптимальном по быстродействию процессе нагрева с ограничением на максимальную температуру Здесь Подставив управление (12) в формулу (3), получим для следующее выражение для конечного распределения температур с учетом фазового ограничения на : (15) Таким образом, для автоматической отработки оптимальной программы (12) в рассматриваемой замкнутой системе необходимо учитывать соотношение между и наряду со знаком функции переключения , что приводит к следующему алгоритму управления с обратными связями вместо (5): (16) Алгоритм управления (16) будет в любой момент времени соответствовать оптимальному по быстродействию режиму нагрева, если функция переключения меняет знак в расчетный момент времени . Моменты времени , а также величина должны быть предварительно найдены альтернансным методом [1, 2] с учетом ограничения на максимальную температуру. Требуемое поведение обеспечивается выбором измененных по сравнению с прежними и рассчитываемых аналогичным способом коэффициентов в (6) с учетом новых значений и , соответствующих алгоритму управления (12) и конечному состоянию объекта, описываемого выражением (15). Теперь структура замкнутой системы (рис. 2) по сравнению с исходной в [3] дополняется в соответствии с новым алгоритмом управления (16) задержанной обратной связью по , обеспечивающей поддержание на уровне с требуемой точностью, определяемой выбором величины . Задержанный характер дополнительной обратной связи по обеспечивается нелинейным элементом НЭ с зоной нечувствительности, отсекающим ее воздействие при <. Определим значение коэффициента по следующей методике. Рассмотрим контур задержанной обратной связи в режиме поддержания равенства (рис. 3), предварительно выполнив соответствующие преобразования структурной схемы по правилам эквивалентных преобразований. Рис. 2. Структура оптимальной по быстродействию системы управления процессом индукционного нагрева заготовки под обработку давлением с неполным измерением состояния в условиях интервальной неопределенности с учетом фазового ограничения на максимальную температуру Рис. 3. Контур задержанной обратной связи в статике В статическом режиме поведение объекта (1)-(3), передаточная функция которого представлена параллельно соединенными апериодическими звеньями [6], будет характеризоваться только суммарным коэффициентом усиления: (17) где Тогда для замкнутого контура с отрицательной обратной связью можно записать следующее соотношение между входом и выходом структуры (см. рис. 3): (18) Задаваясь допустимой погрешностью Ω поддержания на уровне в замкнутом контуре задержанной обратной связи согласно равенству (19) получим, приравнивая правые части выражений (18) и (19), следующее выражение для коэффициента обратной связи : (20) Для исходных данных рассматриваемого процесса индукционного нагрева цилиндрических слитков, представленных в таблице, были получены следующие значения коэффициентов в (6), (7), (10), (20): ,,,, . На рис. 4 представлены вид управляющего воздействия (а) и температурное поле (б) для рассматриваемого примера в замкнутой системе оптимального по быстродействию управления процессом индукционного нагрева. Исходные данные для процесса индукционного нагрева Параметр Значение 2R, толщина заготовки, м 0,48 , коэффициент теплопроводности, Вт/(м ∙ ºС) 130 , плотность материала, кг/м3 2800 c, теплоемкость, Дж/(кг ∙ ºС) 922 a, коэффициент температуропроводности, м2/c 49×106 v, характерный параметр 15 Bi, критерий Био 0,05 , начальная температура, ºС 15 , конечная температура, ºС 460 , максимальная поверхностная плотность мощности нагрева, кВт/м2 130 а б Рис. 4. Управляющее воздействие (а) и температурное поле (б) в замкнутой системе оптимального по быстродействию управления процессом индукционного нагрева

About the authors

Ilya S Levin

Samara State Technical University

Email: levin_ilja@yahoo.com
Assistant 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

Edgar Ya Rapoport

Samara State Technical University

Email: rapoport@samgtu.ru
(Dr. Sci. (Techn.)), Professor 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

References

Supplementary files