Synthesis of time-optimal control system of the State-Constrained induction heating processes with interval of uncertainty characteristics of the object

Abstract


This paper presents the problem of synthesis of the time-optimal system to control the process of induction heating of a workpiece for further chipless shaping with partial condition testing in conditions of the interval indeterminancy of the object characteristics considering the constraint on the state of maximum temperature. The obtained optimal algorithm of control with feedbacks is completed with special section on which the maximum temperature is maintained on the lowest acceptable level. Equations for the feedback coefficient calculation are shown and the structure of obtained closed-loop system is given. Numerical values of the feedback coefficients are calculated for the basic data of the induction heating process given as example, graphs of control input and temperature pattern are constructed.

Full Text

В реальных производственных условиях помимо учета ограничения на управляющее воздействие, определяемое энергетическими возможностями индукционной нагревательной установки, необходим учет дополнительного ограничения на величину максимальной температуры в процессе нагрева, которая не должна превышать предельно допустимого значения [1]. В качестве объекта управления рассматривается процесс индукционного нагрева металлических изделий цилиндрической формы с сосредоточенным управляющим воздействием по мощности внутреннего тепловыделения u(t), который можно в линейном приближении описать бесконечной системой дифференциальных уравнений для временных мод разложения температурного поля в ряд по собственным функциям радиальной координаты [2]: (1) На управляющее воздействие u(t) накладывается следующее ограничение: (2) Здесь R - радиус цилиндра; - удельная теплоемкость и плотность нагреваемого материала; - моды разложения заданного равномерного начального распределения температуры в бесконечный ряд по системе собственных функций; - собственные числа; - бесконечно возрастающая последовательность корней уравнения Bi - безразмерный критерий Био, характеризующий уровень тепловых потерь с поверхности цилиндра в процессе нагрева; - функции Бесселя нулевого и первого порядка; d1n - известные коэффициенты; - температура окружающей среды; - температурное поле нагреваемого металлического изделия, изменяющееся во времени t и по радиальной координате x, которое описывается следующим выражением: (3) где - коэффициент теплопроводности; - моды функции пространственного распределения по радиусу цилиндра внутренних источников тепла, определяемые по формуле . (4) Здесь ; f - частота питающего индуктор тока; - электропроводность нагреваемого материала; - абсолютная магнитная проницаемость нагреваемого материала; - функции Кельвина и их первые производные. Постановка задачи синтеза оптимальной по быстродействию системы автоматического управления (САУ) процессом индукционного нагрева металлических полуфабрикатов цилиндрической формы под обработку давлением в условиях интервальной неопределенности характеристик объекта без учета дополнительных фазовых ограничений и ее решение рассмотрены в [3]. Полученный в результате решения этой задачи алгоритм управления с обратной связью имеет вид (5) где - вектор неопределенных характеристик объекта, в качестве которых приняты начальная температура и безразмерный критерий Био ; - функция переключения оптимального управления u*, формируемая по измеряемым температурам на поверхности и в центре нагреваемого изделия; и - значения коэффициентов обратных связей и заданных конечных температурных состояний, определяемые согласно следующим зависимостям: (6) (7) Здесь - результирующие значения температур на поверхности и в центре нагреваемого изделия в конце оптимального процесса, рассчитанные в окрестности номинальной точки , где - предельно достижимая точность равномерного приближения к требуемой конечной температуре в классе управлений (5) с двумя интервалами постоянства; - нетривиальные решения однородной системы линейных уравнений рассчитанные при , где - расчетные моменты времени переключения оптимальной программы при . Далее в (6), (7) - наблюдаемые и заранее фиксируемые на протяжении первого интервала постоянства управления моменты времени при значения температуры в точках x1 = R и x2 = 0 при реализуемых значениях . Значения в (6), (7) рассчитываются по формулам [2]: (8) (9) при Параметры в (6), (7) рассчитаны по предложенной в [3] методике: (10) где и находятся путем дифференцирования выражений (8), (9). Учет фазового ограничения на максимальную температуру , ограниченную заданным допустимым пределом , приводит к необходимости обеспечения на всем протяжении процесса управления соотношения (11) В соответствии с принципом максимума Понтрягина [4] в этом случае оптимальное программное управление в каждый момент времени либо принимает одно из двух своих предельно допустимых значений umax и umin = 0, либо определяется из условий поддержания на предельно допустимом уровне максимальной температуры , что для рассматриваемого случая с двухинтервальным управлением в условиях обеспечения предельно достижимой точности равномерного приближения к заданному конечному температурному состоянию приводит к оптимальному программному алгоритму управления следующего вида (рис. 1) [2]: (12) Здесь - момент достижения равенства , - управление на участке движения по ограничению с поддержанием равенства , . Часто в реальных ситуациях за можно принять с допустимой погрешностью температуру поверхности нагреваемого металлического изделия для всех . Тогда, если пренебречь смещением во времени точки температурного максимума, при сравнительно малой длительности участка поддержания на равенство определяет с достаточной точностью управление в экспоненциальной форме [5]: , (13) где коэффициенты определяются по следующим выражениям: (14) Рис. 1. Управляющее воздействие и температурное поле в оптимальном по быстродействию процессе нагрева с ограничением на максимальную температуру Здесь Подставив управление (12) в формулу (3), получим для следующее выражение для конечного распределения температур с учетом фазового ограничения на : (15) Таким образом, для автоматической отработки оптимальной программы (12) в рассматриваемой замкнутой системе необходимо учитывать соотношение между и наряду со знаком функции переключения , что приводит к следующему алгоритму управления с обратными связями вместо (5): (16) Алгоритм управления (16) будет в любой момент времени соответствовать оптимальному по быстродействию режиму нагрева, если функция переключения меняет знак в расчетный момент времени . Моменты времени , а также величина должны быть предварительно найдены альтернансным методом [1, 2] с учетом ограничения на максимальную температуру. Требуемое поведение обеспечивается выбором измененных по сравнению с прежними и рассчитываемых аналогичным способом коэффициентов в (6) с учетом новых значений и , соответствующих алгоритму управления (12) и конечному состоянию объекта, описываемого выражением (15). Теперь структура замкнутой системы (рис. 2) по сравнению с исходной в [3] дополняется в соответствии с новым алгоритмом управления (16) задержанной обратной связью по , обеспечивающей поддержание на уровне с требуемой точностью, определяемой выбором величины . Задержанный характер дополнительной обратной связи по обеспечивается нелинейным элементом НЭ с зоной нечувствительности, отсекающим ее воздействие при <. Определим значение коэффициента по следующей методике. Рассмотрим контур задержанной обратной связи в режиме поддержания равенства (рис. 3), предварительно выполнив соответствующие преобразования структурной схемы по правилам эквивалентных преобразований. Рис. 2. Структура оптимальной по быстродействию системы управления процессом индукционного нагрева заготовки под обработку давлением с неполным измерением состояния в условиях интервальной неопределенности с учетом фазового ограничения на максимальную температуру Рис. 3. Контур задержанной обратной связи в статике В статическом режиме поведение объекта (1)-(3), передаточная функция которого представлена параллельно соединенными апериодическими звеньями [6], будет характеризоваться только суммарным коэффициентом усиления: (17) где Тогда для замкнутого контура с отрицательной обратной связью можно записать следующее соотношение между входом и выходом структуры (см. рис. 3): (18) Задаваясь допустимой погрешностью Ω поддержания на уровне в замкнутом контуре задержанной обратной связи согласно равенству (19) получим, приравнивая правые части выражений (18) и (19), следующее выражение для коэффициента обратной связи : (20) Для исходных данных рассматриваемого процесса индукционного нагрева цилиндрических слитков, представленных в таблице, были получены следующие значения коэффициентов в (6), (7), (10), (20): ,,,, . На рис. 4 представлены вид управляющего воздействия (а) и температурное поле (б) для рассматриваемого примера в замкнутой системе оптимального по быстродействию управления процессом индукционного нагрева. Исходные данные для процесса индукционного нагрева Параметр Значение 2R, толщина заготовки, м 0,48 , коэффициент теплопроводности, Вт/(м ∙ ºС) 130 , плотность материала, кг/м3 2800 c, теплоемкость, Дж/(кг ∙ ºС) 922 a, коэффициент температуропроводности, м2/c 49×106 v, характерный параметр 15 Bi, критерий Био 0,05 , начальная температура, ºС 15 , конечная температура, ºС 460 , максимальная поверхностная плотность мощности нагрева, кВт/м2 130 а б Рис. 4. Управляющее воздействие (а) и температурное поле (б) в замкнутой системе оптимального по быстродействию управления процессом индукционного нагрева

About the authors

Ilya S Levin

Samara State Technical University

Email: levin_ilja@yahoo.com
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation
Assistant

Edgar Ya Rapoport

Samara State Technical University

Email: rapoport@samgtu.ru
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation
(Dr. Sci. (Techn.)), Professor

References

  1. Рапопорт Э.Я., Плешивцева Ю.Э. Оптимальное управление температурными режимами индукционного нагрева. - М.: Наука, 2012. - 309 с.
  2. Рапопорт Э.Я. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами - М.: Высшая школа, 2009. - 677 с.
  3. Левин И.С. Синтез оптимальной по быстродействию системы управления процессом индукционного нагрева металла под обработку давлением в условиях ограниченной неопределенности характеристик объекта // Проблемы управления и моделирования в сложных системах: Труды XVI Международной конференции. - Самара: СНЦ РАН, 2014. - С. 86-94.
  4. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В. Математическая теория оптимальных процессов. - М.: Наука, 1983.
  5. Рапопорт Э.Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. - М.: Металлургия, 1993. - 279 с.
  6. Левин И.С. Моделирование оптимальной по быстродействию системы управления процессом индукционного нагрева в условиях интервальной неопределенности характеристик объекта // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. Технические науки. - 2013. - № 3 (39). - С. 167-174.

Statistics

Views

Abstract - 27

PDF (Russian) - 6

Cited-By


Article Metrics

Metrics Loading ...

PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2014 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies