Discretization errors in the systems for measuring of turbine blades tips’ radial and axial displacements

Full Text

Известны кластерные методы измерения радиальных и осевых смещений торцов лопаток сложной формы, применяемых в турбинах газотурбинных двигателей (сечение в торцевой части таких лопаток плоскостью перпендикулярной оси лопатки имеет ярко выраженную серповидную форму, а плоскостью параллельной ее оси - U-образную из-за наличия выступов боковых поверхностей). Методы предусматривают применение высокотемпературных одновитковых вихретоковых датчиков (ОВТД) с чувствительными элементами (ЧЭ) в виде отрезка проводника [1], размещаемых непосредственно в проточной части турбины. Два ОВТД образуют кластер, причем рассматриваемые методы отличаются местом размещения кластера относительно торцевой части лопатки и углом разворота ЧЭ относительно направления вращения рабочего колеса с установленными на нем лопатками. Согласно первому методу (meth 1) ОВТД размещаются вблизи хвостовой части лопатки, а ЧЭ развернуты на угол 30¸60 град. против часовой стрелки относительно направления вращения рабочего колеса. При этом прохождение лопаткой ЧЭ сопровождается уменьшением индуктивности ЧЭ и ее минимум является информативным параметром [2, 3]. В соответствии со вторым методом (meth 2) ОВТД размещены вблизи головной части лопатки, а ЧЭ развернуты на 60 град. по часовой стрелке относительно направления вращения рабочего колеса, причем прохождение лопаткой ЧЭ сопровождается «эффектом двоения» минимальных значений индуктивности ЧЭ и в качестве информативного параметра выбирается наименьший из двух минимумов [4, 5]. При этом преобразование индуктивности ЧЭ в напряжение и цифровой код завершается к моменту окончания импульса питания измерительной цепи (ИЦ) с включенными в нее ОВТД и вновь повторяется в ответ на следующий импульс через время Tп - период их следования или шаг дискретизации преобразуемой индуктивности ЧЭ. В идеале, т. е. при Tп®0, экстремальные значения кодов соответствуют информативным минимумам индуктивностей ЧЭ. В реальных условиях вполне ожидаемо появление погрешности дискретизации при увеличении шага дискретизации (Tп) и дополнительный ее рост при увеличении скорости вращения рабочего колеса. Однако количественные оценки таких погрешностей, связанных с изменением периода импульсного питания (его частоты), а также скорости вращения рабочего колеса, в публикациях, посвященных кластерным методам и средствам измерения радиальных и осевых смещений торцов лопаток в турбине, до сих пор отсутствуют. Настоящая статья призвана восполнить существующий пробел. В статье уточняется определение погрешности дискретизации применительно к кластерным методам и их реализациям, приводятся результаты исследований погрешности дискретизации в заданных диапазонах изменений частоты импульсного питания и скорости вращения рабочего колеса в предположении использования в системе измерения как meth 1, так и meth 2. Кроме того, получены результаты аналогичных исследований, отличающихся применением в системе алгоритмов аппроксимации дискретных отсчетов в окрестности экстремума и вычисления экстремальных значений. Погрешности дискретизации Если период повторения импульсов питания (Tп) и их длительность (Dt) минимальны (Tп, Dt®0), то функции изменения кодов АЦП во времени C(t) можно считать практически непрерывными (однако труднореализуемыми и существующими только в идеале). Рис. 1 иллюстрирует процесс дискретизации с конечным шагом Tп, отличающимся по величине в предположении одинаковой скорости вращения рабочего колеса (рис. 1, а, б), и, напротив, с постоянным периодом (Tп), но на другой (более высокой) скорости вращения (рис. 1, а, в). Предполагается также, что в ИЦ и системе измерения реализован meth 1. Идеализированные функции C(t) показаны пунктиром, а их экстремумы обозначены . Там же показаны дискретные значения функции, в т. ч. ближайшие по значению к , причем равноудаленные от него по времени (на ), что соответствует наибольшей разности реальных экстремумов и идеального . Эту разность и предлагается далее использовать для оценки погрешностей дискретизации, связанных с изменениями периода импульсного питания и скорости вращения рабочего колеса: . (1) а б в Рис. 1. Погрешности, связанные с изменением периода импульсного питания при постоянной скорости вращения рабочего колеса (а, б) и с изменением скорости его вращения при постоянном периоде импульсного питания (а, в) Как уже отмечалось, при неизменной скорости вращения рабочего колеса погрешность D уменьшается с повышением частоты импульсного питания (уменьшением периода Tп) (рис. 1, а, б). Однако погрешность возрастает с повышением скорости вращения рабочего колеса при постоянной частоте (периоде) импульсного питания (рис. 1, а, в). Вместе с тем (что также отмечалось во введении) при обработке данных, полученных в системе измерения радиальных и осевых смещений торцов лопаток, применяются алгоритмы аппроксимации дискретных отсчетов с выхода АЦП. При этом за информативное значение кода принимается экстремум аппроксимирующей функции (). Тогда искомая погрешность будет определяться разностью и : . (2) Оценки погрешностей по экстремальным значениям кодов без использования аппроксимации Для исследования семейства функций преобразования (ФП) ИЦ с включенными в нее ОВТД (в составе кластера) используется модель, исходными данными для которой являются результаты моделирования электромагнитного взаимодействия ЧЭ с торцевой частью лопатки [6, 7][2]. В оценках же искомых погрешностей использованы промежуточные результаты моделирования семейства ФП - зависимости цифровых кодов на выходе ИЦ от координаты z (C(z)) для нахождения экстремальных значений этой функции. Функции C(z), вычисленные на модели ИЦ с очень малым шагом по времени (эквивалент в линейном выражении по z до 0,05 мм), можно считать идеальными (), а их экстремумы . Вместе с тем, функции можно использовать для определения дискретных значений кода при любом выбранном шаге дискретизации, включая коды . На рис. 2 в безразмерном виде представлена зависимость , полученная на модели ИЦ (предполагается, что в ИЦ реализован meth 1). Рабочее колесо имеет радиус 0,5 м, число лопаток - 100, скорость вращения изменяется от 3000 до 21000 об/мин, а частота импульсного питания - от 1×106 до 10×106Гц (период (Tп) от 1×10-6 до 0,1×10-6 с). Рис. 2. Зависимость (meth 1) и пример количественной оценки погрешности («аппликация») Пусть скорость вращения рабочего колеса 3000 об/мин. Тогда период вращения T0=20×10-3 с, а время t0 равно 200×10-6 с, причем в линейном выражении t0 соответствует шагу установки лопаток zл=31,4 мм. Если частота импульсного питания 1×106Гц и период Tп (т. е. шаг дискретизации) составляет 1×10-6 с, то число отсчетов k за время t0 составит 200, а шаг дискретизации в линейном выражении будет равен , т. е. 0,16 мм. Для найденного шага (∆z1=0,16 мм) на функции (рис. 2) в соответствии с рис. 1 и формулой (1) вычисляется максимальная приведенная погрешность: (3) Для указанных выше исходных данных и приведенных результатов моделирования погрешность d=0,004 % (рис. 2, «аппликация»). Результаты расчета погрешности d для остальных значений частоты импульсного питания (fп) и скорости вращения рабочего колеса (nрк) в указанных ранее диапазонах изменений представлены в табл. 1. Из табл. 1 следует, что при реализации meth 1 погрешность d невелика и даже при минимальной частоте fп и наибольшей скорости вращения nрк не превышает 0,23 %. При этом увеличение погрешности связано с увеличением шага дискретизации в линейном выражении до 1,1 мм. Аналогичные исследования погрешностей, связанных с изменениями fп и nрк, были проведены в предположении реализации meth 2. На рис. 3 представлена функция , полученная на модели ИЦ (meth 2) для условий, когда наблюдается максимальный «разбаланс» экстремальных значений, причем наибольший из экстремумов характеризуется самыми крутыми фронтами и острой вершиной, что, в свою очередь, приводит к увеличению искомых погрешностей. Рис. 3. Зависимость (meth 2) и пример количественной оценки погрешности («аппликация») Расчет погрешностей выполнялся для тех же значений исходных данных, что и для meth 1, в т. ч. для частоты fп и скорости вращения nрк. Результаты расчетов приведены в табл. 2. Из табл. 2, как и ожидалось, видно уменьшение погрешности d с увеличением fп и, напротив, ее рост с повышением скорости вращения nрк. Однако максимум погрешности при реализации meth 2 достигает примерно 4 %[3] и более чем на порядок превышает аналогичную погрешность при реализации meth 1. Таблица 1 Погрешности d (в %) в зависимости от частоты fп и скорости вращения nрк (meth 1) Таблица 2 Погрешности d (в %) в зависимости от частоты fп и скорости вращения nрк (meth 2) nрк, об/мин fп, Гц nрк, об/мин fп, Гц 1×106 3×106 10×106 1×106 3×106 10×106 3000 0,004 0,0003 0,000004 3000 0,08 0,01 0,00004 6000 0,002 0,002 0,0001 6000 0,33 0,03 0,002 9000 0,004 0,004 0,0003 9000 0,75 0,08 0,01 12000 0,007 0,008 0,001 12000 1,33 0,14 0,01 15000 0,12 0,001 0,001 15000 2,06 0,23 0,02 18000 0,17 0,002 0,001 18000 2,93 0,33 0,03 21000 0,23 0,003 0,002 21000 3,93 0,45 0,04 Оценка погрешностей при использовании алгоритмов аппроксимации кодов Для оценки таких погрешностей используются те же результаты моделирования ИЦ, представленные в виде зависимостей на рис. 2 (meth 1) и рис. 3 (meth 2). По ним же определяются как экстремальные значения, так и значения выбранных кодов, найденных для вычисляемых значений шага дискретизации в линейном выражении, полученные по заданным частотам импульсного питания (fп) и скоростей вращения рабочего колеса (nрк) (см. табл. 1, 2). Для аппроксимации выбранных кодов в ИЦ и системе измерения, реализующей meth 1, в работе [8] предлагается использовать алгоритм, предусматривающий применение ортогональных полиномов Чебышева I рода. Погрешность вычисляется по формуле (3), где вместо D согласно (2) подставляется Dа. Результаты расчетов показывают, что погрешность d сравнительно равномерно распределена в диапазоне изменений частоты fп от 1×106 до 10×106 Гц и скорости nрк от 3000 до 21000 об/мин и не превышает 0,006 % (максимально возможная погрешность d без использования алгоритма аппроксимации была в десятки раз больше, достигая 0,23 %). Для аппроксимации выбранных кодов в ИЦ и системе измерения, реализующих meth 2, в работе [9] предлагается алгоритм, предусматривающий использование в качестве аппроксимирующей функции квадратичной параболы с последующим аналитическим определением координат ее экстремального значения (вершины параболы). Расчет погрешности d ведется по формуле (3) аналогично расчетам, приведенным выше (при тех же исходных данных, включая fп и nрк). Его результаты, представленные на рис. 4 в виде графиков функций d(fп, nрк), показывают снижение погрешностей d на несколько порядков (до 0,07 %) на минимальной частоте fп и максимальной скорости вращения nрк. Для наглядности на том же рис. 4 совмещены графики функций d(fп, nрк), полученные с использованием аппроксимации и без нее. Рис. 4. Погрешность d(fп, nрк) при использовании аппроксимации и без нее (meth 2) В то же время следует отметить, что применительно как к meth 1, так и к meth 2 на малых скоростях вращения (до 3000 об/мин) и частоте питания выше 3 МГц вряд ли целесообразно применение алгоритмов аппроксимации, так как выигрыш в точности определения экстремума будет небольшим при значительном усложнении обработки данных и сопутствующем увеличении требуемых вычислительных ресурсов и временных затрат. Заключение Исследованы погрешности дискретизации системы измерения радиальных и осевых смещений торцов лопаток сложной формы, в которой реализованы кластерные методы измерения (meth 1 и meth 2), предусматривающие применение ОВТД с ЧЭ в виде отрезка проводника. Искомые погрешности определяются как разность экстремальных значений цифровых кодов, полученных в идеальной ИЦ (с периодом и длительностью импульсов питания, стремящихся к нулю), и кода в реально существующей ИЦ в процессе моделирования зависимости кодов от координаты z при заданных значениях координат x и y. Показано, что в диапазоне изменения частоты импульсного питания от 1×106 до 10×106 Гц и скорости вращения рабочего колеса от 3000 до 21000 об/мин погрешности дискретизации не превышают 0,2 % для meth 1 и достигают почти 4 % meth 2. Показано также, что применение алгоритмов аппроксимации выбранных значений кодов с последующим вычислением экстремальных значений полученной аппроксимирующей функции позволяет существенно уменьшить максимально возможные погрешности - до 0,006 % для meth 1 и до 0,07 % для meth 2.

About the authors

Sergey Yu Borovik

Institute for the Control of Complex Systems of Russian academy of sciences

Doctor of Engineering Sciences, Leading Researcher 61, Sadovaya st., Samara, 443020, Russian Federation

Marina M Kuteynikova

Institute for the Control of Complex Systems of Russian academy of sciences

Research fellow 61, Sadovaya st., Samara, 443020, Russian Federation

Yuriy N Sekisov

Institute for the Control of Complex Systems of Russian academy of sciences

Doctor of Engineering Sciences, Head of Laboratory 61, Sadovaya st., Samara, 443020, Russian Federation

Oleg P Skobelev

Institute for the Control of Complex Systems of Russian academy of sciences

Doctor of Engineering Sciences, Professor, Chief Scientist 61, Sadovaya st., Samara, 443020, Russian Federation

References

Supplementary files