Method of calculating the distortion coefficient sinusoidality of the voltage curve created by three-phase straight lines

Full Text

Разработка методики расчета высших гармоник и определения коэффициента искажения синусоидальности кривой напряжения является актуальной проблемой, так как существующие методики позволяют решить эту задачу с большой погрешностью. В цехах современных промышленных предприятий более половины электроэнергии используется в преобразованном виде (на металлургических заводах – более 90 %). Широко применяются вентильные преобразователи (ВП), различного рода преобразователи частоты [1, 2]. Такие нагрузки называют нелинейными, к их числу относятся в первую очередь различного рода ВП.

Эти нагрузки потребляют из сети ток, кривая которого оказывается несинусоидальной, в результате возникают нелинейные искажения кривой напряжения сети или, другими словами, несинусоидальные режимы.

Несинусоидальность напряжения и тока обусловливает дополнительные потери и нагрев, а также ускоренное старение изоляции электрооборудования [3], что подтверждается результатами диагностического обследования различного электроэнергетического оборудования: трансформаторов, кабельных линий, электродвигателей, компенсирующих конденсаторов. Кроме того, ВГ в СЭС промышленных предприятий вызывают нарушение работы и ложные срабатывания устройств релейной защиты и автоматики, приводят к сбоям в работе электронных систем управления и вычислительной техники, создают помехи в аппаратуре телемеханики и связи, искажают показания счетчиков электрической энергии. Прогрессирующее внедрение вентильных преобразователей создает актуальность решения проблемы высших гармоник в электрических сетях путем совершенствования расчета и создания устройств противодействия гармоникам. Коэффициент несинусоидальности является показателем качества электроэнергии.

Для уменьшения влияния высших гармоник применяют подключение преобразовательных устройств через фильтры высших гармоник [3–5] – это сетевые дроссели, линеаторы. Существует несколько схем, при помощи которых можно реализовать активную коррекцию коэффициента мощности, что приводит к уменьшению воздействия высших гармоник. Также применяются пассивные узкополосные и широкополосные фильтры [6–8], которые устанавливаются на шинах ТП. Во всех случаях необходимо знать амплитуду и номера гармоник.

Рассмотрим существующие методики расчета на конкретном примере схемы включения выпрямителя (расчетная схема на рис. 1).

Мощность короткого замыкания системы $S_k=300$ мВА. Определяется сопротивление системы, приведенное к напряжению 0,4 кВ.

Индуктивное сопротивление

$X_{\text{С}}=\frac{U_{\text{Н}}^2}{S_{\text{К}}}=\frac{{400}^2}{300000000}=\mathrm{0,00053}$ Ом.

Сопротивление кабельной линии ААБ (3Х70+1Х35), ${Х}_{\text{УД}}=\mathrm{0,0612}$ Ом/км, $R_{\text{УД}}=\mathrm{0,447}$ Ом/км, длина кабеля $l_{\text{K}}=800$ м.

Сопротивления кабеля, приведенные к напряжению 0,4кВ:

$R_{К}=R_{\text{УД}}\cdot l_{К}\cdot {\left(\frac{\mathrm{0,4}}{10}\right)}^2=\mathrm{0,447}\cdot \mathrm{0,8}\cdot {\left(\frac{\mathrm{0,4}}{10}\right)}^2=\mathrm{0,000572}$ Ом,

$X_{К}=X_{\text{УД}}\cdot l_{К}\cdot {\left(\frac{\mathrm{0,4}}{10}\right)}^2=\mathrm{0,0612}\cdot \mathrm{0,8}\cdot {\left(\frac{\mathrm{0,4}}{10}\right)}^2=\mathrm{0,0000783}$ Ом.

Рис. 1. Расчетная схема

Сопротивления трансформатора Т1 подстанции мощностью 630 кВА, приведенные к 0,4 кВ. Технические данные: $\Delta P_{ХХ}=\mathrm{1,16}$ кВт, $\Delta P_{\text{KЗ}}=\mathrm{7,6}$ кВт, $\Delta U_{\text{KЗ}}=\mathrm{5,5}$ %.

Полное сопротивление, приведенное к 0,4 кВ:

$Z_{\text{T}}=\frac{U_{\text{K}}\%}{100}\cdot \frac{U_{\text{H}}^2}{S_{\text{H}}}=\frac{\mathrm{5,5}}{100}\cdot \frac{{400}^2}{630000}=\mathrm{0,014}$ Ом.

Активное сопротивление

$R_T=\frac{\Delta P_{КЗ}{U}_H^2}{S_H^2}=\frac{7600\cdot {400}^2}{{630000}^2}=\mathrm{0,00306}$  Ом,

$X_T=\sqrt{Z_T^2-R_T^2}=\sqrt{{\mathrm{0,014}}^2-{\mathrm{0,00306}}^2}=\mathrm{0,01366}$ Ом.

Суммарные сопротивления питающей сети:

$R_{\text{ПС}}=\mathrm{0,000572}+\mathrm{0,00306}=\mathrm{0,00363}$ Ом,

${Х}_{\text{ПС}}=\mathrm{0,00053}+\mathrm{0,0000783}+\mathrm{0,01366}=\mathrm{0,0143}$ Ом.

Трехфазная мостовая схема Ларионова

Расчет параметров трансформатора выпрямительной установки, соединение обмоток «звезда – звезда» (рис. 2).

Рис. 2. Трансформатор «звезда – звезда» и выпрямитель по схеме Ларионова

Мощность трансформатора Т2 (ТМ100/10) 100 кВа. Технические данные:

$\Delta P_{XX}=\mathrm{0,33}$ кВт, $\Delta P_{\text{KЗ}}=\mathrm{1,97}$ кВт, $\Delta U_{\text{KЗ}}=\mathrm{4,5}$ %.

Полное сопротивление трансформатора, приведенное к 0,4 кВ:

$Z_{\text{T}}=\frac{U_{\text{K}}\%}{100}\cdot \frac{U_{\text{H}}^2}{S_{\text{H}}}=\frac{\mathrm{4,5}}{100}\cdot \frac{{400}^2}{100000}=\mathrm{0,072}$ Ом.

Активное сопротивление

$R_T=\frac{\Delta P_{КЗ}{U}_H^2}{S_H^2}=\frac{1970\cdot {400}^2}{{100000}^2}=\mathrm{0,0315}$ Ом.

Индуктивное сопротивление

$X_T=\sqrt{Z_T^2-R_T^2}=\sqrt{{\mathrm{0,072}}^2-{\mathrm{0,0315}}^2}=\mathrm{0,06474}$ Ом.

Постоянное выпрямленное напряжение $U_d=48$ В.

Выпрямленный ток $I_d=1500$ А. Мощность выпрямителя $P_B=72$ кВт.

Фазное напряжение вторичной обмотки трансформатора для выпрямителя [9, 10]:

${U_2}_{Ф}=\frac{U_d}{\mathrm{2,34}}=\frac{48}{\mathrm{2,34}}=\mathrm{20,51}$ В.

Коэффициент трансформации:

$K_{Т}=\frac{U_{\text{1Ф}}}{U_{\text{2Ф}}}=\frac{220}{\mathrm{20,51}}=10.726$.

Ток нагрузки из-за наличия в ней значительной индуктивности сглажен:

$I_d=\frac{U_d}{R_d}$.

Действующее значение тока вторичной обмотки трансформатора [9 – 11]:

$I_{d2}=\sqrt{\frac{1}{2\pi }\left(2\underset{0}{\overset{\frac{2}{3}\pi }{\int }}{I}_d^{2}dv\right)}=\sqrt{\frac{2}{3}}{I}_d=0.817I_d=\mathrm{0,817}\cdot 1500=1225.5$ А.

Действующее значение фазного тока первичной обмотки трансформатора [9] при соединении ее в «звезду»:

$I_{d1}=\frac{I_{2d}}{K_T}=\frac{\mathrm{1225,5}}{\mathrm{10,726}}=\mathrm{114,26}$ А.

На рис. 3, а приведена диаграмма трехфазных напряжений. На рис. 3, b – диаграмма токов первичной обмотки трансформатора Т2 фазы А. Эти токи в виде периодической функции могут быть представлены в виде ряда Фурье [14–17]:

$f\left(x\right)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)$, (1)

где коэффициенты ряда $a_0, a_n, b_n$ – действительные числа.

Коэффициенты ряда определяются по формулам:

$a_0=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f\left(x\right)dx$, (2)

$a_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f\left(x\right)\cdot \cos nxdx$, (3)

$b_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f\left(x\right)\cdot \sin nxdx$, (4)

$n=\mathrm{1,2,3,...}$ – номер гармоник.

Если функция нечетная (симметричная относительно абсцисс), то достаточно определить только коэффициент $b_n$; если функция четная, то определяются коэффициенты $a_0, a_n$; если функция аморфная (не четная и не нечетная), то определяются все коэффициенты.

Если – нечетная периодическая функция с периодом 2π, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то можно определять

$b_n=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}f\left(x\right)\cdot \sin nxdx$ (5)

и разложение в ряд Фурье для нечетной функции имеет вид

$f\left(x\right)=\sum _{т=1}^{\infty }{b}_n\sin nx$. (6)

Если разложить функцию тока $I_{d1}$ первичной обмотки трансформатора в ряд Фурье [9, 18], то получим кроме первой, т. е. основной гармоники, высшие 5, 7, 11, 13, 17, 19 и т. д. гармонические составляющие ($n=6k\pm 1$, где $k$ – любое натуральное число, 6 – число пульсов схемы выпрямления за период).

ГОСТ–97 нормирует коэффициенты n-ой гармонической составляющей [1, 2, 19]

$K_{U\left(n\right)}=\frac{U_n}{U_{\text{НОМ}}}\cdot 100$. (7)

Рис. 3. Диаграммы напряжений и токов

Коэффициент несинусоидальности напряжения питающей сети определяется по формуле [1, 2, 19]

$K_U=\frac{\sqrt{{\displaystyle \sum _{n=2}^{40}{U}_n^2}}\cdot 100}{U_{\text{НОМ}}}$, (8)

где n – номер гармоники; U_n – падение напряжения в сопротивлении питающей сети от тока соответствующей гармоники.

В таблице 1 приводятся допустимые значения коэффициентов несинусоидальности.

Таблица 1. Значения коэффициентов гармонических составляющих напряжения $K_{Un}$%. ГОСТ 32144―2013

В [19] приведен расчет коэффициента искажения синусоидальности кривой напряжения с учетом 5, 7, 11, 13 гармоник:

$K_u=\frac{100\%\cdot \sqrt{{\displaystyle \sum U_n^2}}}{U_{\text{Ф}}}=\frac{100\%\cdot \sqrt{{\mathrm{7,74}}^2+{\mathrm{7,74}}^2+{\mathrm{7,74}}^2+{\mathrm{7,74}}^2}}{220}=\mathrm{7,04}\%$, (9)

что меньше допустимых 8 %, определяемых ГОСТ–97 для напряжения 380 В.

В выражении (9) все слагаемые под корнем равны, так как при увеличении номера гармоники ее амплитуда уменьшается в n раз по сравнению с первой гармоникой, при этом во столько же раз увеличивается частота и индуктивное сопротивление $X_{\text{ПС}}=L\omega$ питающей сети. Однако в [19] наблюдаются ошибки, так как в (9) под корнем получены числа путем перемножения сопротивления X_ПС на амплитуду тока гармоник. Целесообразнее умножать на действующее значение тока гармоники. Кроме того, для первой гармоники принято действующее, а не амплитудное значение тока первичной обмотки трансформатора.

Для правильного решения необходимо разложение в ряд Фурье функции тока (рис. 3, в). Разложение в ряд Фурье целесообразно выполнять с применением вычислительной техники, например в программе Mathcad [14].

На панели Mathcad размещаются: калькулятор, греческий алфавит, программирование и символьные операции. Затем записывается интеграл по выражению (5), нажимается "→" (символьные), в следующей строке записывается $n=1$ (первая гармоника), затем копируется первое выражение и нажимается "=" на калькуляторе – получаем решение при ($x=\omega t$).

$\frac{2}{\pi }\underset{\frac{1}{6}\pi }{\overset{\frac{5}{6}\pi }{\int }}\left(114\right)\text{sin}\left(nx\right)dx\to \frac{228\left(\text{cos}\left(\frac{\pi n}{6}\right)-\text{cos}\left(\frac{5\pi n}{6}\right)\right)}{\pi n}$,

$n\text{:}=1$

$\frac{2}{\pi }\underset{\frac{1}{6}\pi }{\overset{\frac{5}{6}\pi }{\int }}\left(114\right)\text{sin}\left(nx\right)dx\to \frac{228\sqrt{3}}{\pi }=\mathrm{125,703}$.

Таким образом, отношение амплитуды первой гармоники к действующему значению 125,7/114=1,103. В результате получим формулу для определения коэффициента несинусоидальности с учетом действующих значений токов:

$K_u=\frac{100\%\cdot \mathrm{1,103}\cdot I_{d1}\cdot {Х}_{\text{ПС}}\cdot \sqrt{V}}{\sqrt{2}\cdot U_{\text{Ф}}}$, (10)

где V – количество учитываемых гармоник.

Подставляя значения в (10), получим $K_u=\mathrm{7,22}$% при $V=9$ и  $K_u=\mathrm{4,81}$% при $V=4$.

Для проверки получим уменьшение амплитуды фазного напряжения:

$\Delta U_{\text{Ф}}=\mathrm{311,1}\cdot \mathrm{0,0722}=\mathrm{22,46}$ В.

В соответствии с выражением (1) после суммирования гармоник должны получить функцию, соответствующую рис. 3, в, для чего необходимо учитывать не менее 12 гармоник.

Недостатком определения K_u является некоторая произвольность в количестве учитываемых гармоник. А также во всех источниках при расчете гармоник тока не дается рекомендаций, на какие номера гармоник необходимо устанавливать на подстанции резонансные фильтры.

Не случайно в новом ГОСТ [20] вычисляют значение коэффициента искажения синусоидальности кривой напряжения К_(U)i в процентах как результат i-го наблюдения по формуле (то есть не производится вычисление по гармоникам тока):

$K_{Ui}=\frac{\sqrt{{\displaystyle \sum _{n=2}^{40}{U}_{\left(n\right)i}^2}}}{U_{\left(1\right)i}}\cdot 100$,

где U_(1)i — действующее значение междуфазного (фазного) напряжения основной частоты для i-го наблюдения, В.

В данной работе производится другой подход к определению коэффициента искажения синусоидальности кривой напряжения. Выпрямительные установки не являются источниками гармоник, а представляют собой электроприемники с нелинейной характеристикой потребления электрического тока, при этом искажается форма кривой синусоиды питающего напряжения. Эта искаженная синусоида и является источником высших гармоник.

Полное сопротивления питающей сети:

$Z_{\text{ПС}}=\sqrt{R_{\text{ПС}}^{\text{2}}+X_{\text{ПС}}^{\text{2}}}=\sqrt{{\mathrm{0,00363}}^2+{\mathrm{0,0143}}^2}=\mathrm{0,0148}$ Ом.

Амплитуда фазного напряжения:

$U_{\text{m1}}=\sqrt{2}\cdot 220=\mathrm{311,1}$ В.

Величина амплитуды напряжения при протекании тока I_d1:

$U_{m2}=U_{m1}-I_{d1}\cdot Z_{\text{ПС}}=\mathrm{311,1}-\mathrm{114,26}\cdot \mathrm{0,0148}=\mathrm{309,4}$ В.

На рис. 4 показана расчетная графическая функция искаженной формы синусоиды. Это нечетная периодическая функция с периодом 2π, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье по выражению (5). При этом определяются коэффициенты разложения на отрезках b_1n (0-π/6), b_2n (π/6-5/6 π), b_3n (5/6 π- π), затем определяются значения суммы b_n= b_1n+ b_2n+b_3n.

Рис. 4. Расчетная графическая функция

Решение интегральных функций производится в программе Mathcad. Например, решение для b₁ для гармоники $n=5$:

$b_1\text{:}=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{\frac{1}{6}\pi }{\int }}311.1\cdot \text{sin}\left(x\right)\cdot \sin \left(nx\right)dx\to$

$\to \frac{2\left(-\frac{311.1\cdot \text{sin}\left(-0.52n+0.52\right)}{2n-2}-\frac{311.1\cdot \text{sin}\left(0.52n+0.52\right)}{2n-2}\right)}{\pi }$

$n:=5$,

$b_1:=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{\frac{1}{6}\pi }{\int }}311.1\cdot \sin \left(x\right)\cdot \sin \left(nx\right)dx\to 21.44$.

Аналогичные решения – для b₂, b₃ при варьировании номера гармоник, результаты представлены в табл. 2.

Таблица 2. Коэффициенты ряда Фурье для двенадцати гармоник

Наибольшие гармоники – с номерами 3, 5, 7, 11, на эти гармоники можно устанавливать резонансные фильтры. Полученные результаты существенно отличаются от расчетов с использованием гармоник тока.

Коэффициент несинусоидальности в соответствии с выражением (8)

$K_u=\frac{\sqrt{{\mathrm{0,234}}^2+{\mathrm{0,234}}^2+{\mathrm{0,12}}^2+{\mathrm{0,1}}^2}}{220}\cdot 100\%=0.166\%$.

Коэффициент несинусоидальности предлагается определять как отношение суммы действующих значений гармоник к фазному напряжению

$K_u=\frac{(\mathrm{0,234}+\mathrm{0,234}+\mathrm{0,12}+\mathrm{0,1})\cdot \mathrm{1,1}}{\sqrt{2}\cdot 220}\cdot 100\%=0.22\%$.

Соединение первичной обмотки трансформатора в треугольник (рис. 5) при тех же значениях параметров выпрямителя.

Действующие значения токов фаз первичной обмотки [13] равны:

$I_{ab}=I_{ca}=I_{d1}=\frac{I_{d2}}{\sqrt{3}{K}_{\text{T}}}=\frac{1225.5}{\sqrt{3}\cdot 10.728}=66.03\text{A}$,

так как у обмотки увеличивается число витков в $\sqrt{3}$ раза при напряжении 380 В.

Рис. 5. Первичная обмотка в треугольник

На рис. 6 показана векторная диаграмма для определения тока из сети, например для фазы А:

$\overline{I_{\text{A}}}=\overline{I_{ab}}-\overline{I_{ca}}$.

Результирующий вектор I_A сдвинут по фазе на 30⁰ относительно I_ab. Его величина определяется с учетом фазового сдвига:

$I_{d1}=I_{\text{A}}=I_{ab}\cdot \text{сos}{30}^0+I_{caq}\cdot \text{сos}{30}^0=2\cdot 66.03\cdot \text{сos}{30}^0=114.36\text{A}$,

то есть из сети потребляется такой же ток по величине, как при трансформаторе с соединением «звезда – звезда».

Рис. 6. Векторная диаграмма

При суммировании токов на графике (рис. 3, с, d, e) если прямоугольные формы не совпадают по фазе, то сила тока будет I_d1/2 = I_A/2. Это подтверждается [12] осциллограммами.

Расчетная графическая функция аналогична по форме (рис. 4) с изменением пределов интегрирования: (0-1/3π), (1/3π-2/3π), (2/3π-π), при этом также изменяются амплитуды напряжений.

Величина амплитуды напряжения в пределах (0-1/3π) и (2/3π-π) при протекании тока I_d1:

$U_{m2}=U_{m1}-I_{d1}\cdot Z_{\text{ПС}}=\mathrm{311,1}-\mathrm{114,26}\cdot \mathrm{0,0148}=\mathrm{309,4}\text{В}$.

Величина амплитуды напряжения в пределах (1/3π-2/3π) при протекании тока I_d1/2:

$U_{m3}=U_{m1}-\frac{I_{d1}}{2}\cdot Z_{\text{ПС}}=\mathrm{311,1}-\frac{\mathrm{114,26}}{2}\cdot \mathrm{0,0148}=\mathrm{310,25}\text{В}$.

Аналогичный расчет, как и в предыдущем случае, показывает, что номера гармоник будут такими же (см. табл. 2), амплитуда гармоник будет в два раза меньше.

Трехфазная нулевая схема

Фазное напряжение вторичной обмотки трансформатора для выпрямителя [9, 10] (рис. 7):

${U_2}_{Ф}=\frac{U_d}{\mathrm{1,17}}=\frac{48}{\mathrm{1,17}}=\mathrm{41,02}\text{В}$.

Коэффициент трансформации:

$K_{Т}=\frac{U_{\text{1Ф}}}{U_{\text{2Ф}}}=\frac{220}{\mathrm{41,02}}=\mathrm{5,36}$.

Рис. 7. Трехфазная нулевая схема

Действующее значение вторичного тока для трехфазной нулевой схемы с учетом диаграммы (рис. 3) [10, 11]:

$I_{d2}=\sqrt{\frac{1}{2\pi }\left(\underset{0}{\overset{\frac{2}{3}\pi }{\int }}{I}_d^{2}dv\right)}=\frac{I_d}{\sqrt{3}}=\mathrm{867,05}\text{А}$.

Действующее значение первичного тока

$I_{d10}=\frac{\sqrt{2}{I}_d}{3K_{\text{T}}}=\frac{\sqrt{2\cdot }1500}{3\cdot \mathrm{5,36}}=\mathrm{131,52}\text{А}$.

Трансформатор Т3 для трехфазной нулевой схемы должен быть мощнее в 1,3 раза, поэтому принят трансформатор Т3 (ТМ160/10). Мощность трансформатора 160 кВа. Технические данные:

ΔР_ХХ=0,51 кВт, ΔР_КЗ=2,65 кВт, ΔU_КЗ=4,5 %.

Полное сопротивление трансформатора, приведенное к 0,4 кВ:

$Z_{\text{T}}=\frac{U_{\text{K}}\%}{100}\cdot \frac{U_{\text{H}}^2}{S_{\text{H}}}=\frac{\mathrm{4,5}}{100}\cdot \frac{{400}^2}{160000}=\mathrm{0,045}\text{Ом}$.

Активное сопротивление:

$R_T=\frac{\Delta P_{КЗ}{U}_H^2}{S_H^2}=\frac{2650\cdot {400}^2}{{160000}^2}=\mathrm{0,0166}\text{Ом}$.

Индуктивное сопротивление:

$X_T=\sqrt{Z_T^2-R_T^2}=\sqrt{{\mathrm{0,045}}^2-{\mathrm{0,0166}}^2}=\mathrm{0,0418}\text{Ом}$.

Полное сопротивление питающей сети:

$Z_{\text{ПС}}=\sqrt{R_{\text{ПС}}^{\text{2}}+X_{\text{ПС}}^{\text{2}}}=\sqrt{{\mathrm{0,00363}}^2+{\mathrm{0,0143}}^2}=\mathrm{0,0148}\text{Ом}$.

Амплитуда фазного напряжения:

$U_{\text{m1}}=\sqrt{2}\cdot 220=\mathrm{311,1}\text{В}$.

Величина амплитуды напряжения при протекании тока I_d10:

$U_{m20}=U_{m1}-I_{d1}\cdot Z_{\text{ПС}}=\mathrm{311,1}-131.52\cdot \mathrm{0,0148}=\mathrm{309,2}\text{В}$.

На рис. 8 показана форма искажённой синусоиды, полученная расчётным путём с учетом всех коэффициентов Фурье (2) – (4). Расчет производится в программе Mathcad, как в предыдущем случае.

Рис. 8. Расчетная графическая функция 3-фазной нулевой схемы

Определение коэффициентов разложения a₀, b, a производится на отрезках с учетом амплитуды напряжений: (0-π/6), (π/6-5/6 π), (5/6 π- π), (π -2π), затем определяются значения их суммы.

Например, для a₁₀:

$a_{10}:=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\frac{1}{6}\pi }{\int }}311.1\cdot \sin \left(x\right)dx\to 13.27$.

Для других отрезков получено $a_{20}=\mathrm{140,47}, a_{30}=\mathrm{13,27}, a_{40}=-\mathrm{198,05}$. Сумма значений показывает величину постоянного смещения $\sum a_0=\mathrm{1,04}$.

Определение коэффициентов производится аналогично, например для 1-й гармоники

$b_1\text{:}=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\frac{1}{6}\pi }{\int }}311.1\cdot \text{sin}\left(x\right)\cdot \sin \left(nx\right)dx\to$

$\to \frac{\frac{311.1\cdot \text{sin}\left(0.52n-0.52\right)}{2n-2}-\frac{311.1\cdot \text{sin}\left(0.52n+0.52\right)}{2n+2}}{\pi }$,

$n:=1$,

$b_1:=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\frac{1}{6}\pi }{\int }}311.1\cdot \sin \left(x\right)\cdot \sin \left(nx\right)dx\to 4.49$.

Данные расчетов сводятся в таблицу (табл. 3).

Таблица 3. Коэффициенты b синусных гармоник

Аналогично рассчитываются коэффициенты а (табл. 4):

$a_1\text{:}=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\frac{1}{6}\pi }{\int }}311.1\cdot \text{sin}\left(x\right)\cdot \cos \left(nx\right)dx\to$

$\to \frac{5388.41\cdot \text{cos}\left(0.52n\right)+311.1\cdot n\cdot \text{sin}\left(0.52n\right)-6222}{\pi \left(20n^2-20\right)}$,

$n:=1$,

$a_1:=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\frac{1}{6}\pi }{\int }}311.1\cdot \sin \left(x\right)\cdot \cos \left(nx\right)dx\to 12.38$.

Таблица 4. Коэффициенты а косинусных гармоник

В трехфазной нулевой схеме спектр наибольших гармоник дополняется четными гармониками с номерами 2, 4, 6, 8, 10.

Определяется коэффициент несинусоидальности:

$K_u=\frac{(\mathrm{0,13}+\mathrm{0,13}+\mathrm{0,07}+\mathrm{0,06}+\mathrm{0,52}+\mathrm{0,09}+\mathrm{0,08}+\mathrm{0,05})\cdot \mathrm{1,1}}{\sqrt{2}\cdot 220}\cdot 100\%=0.4\%$.

Для проверки получим уменьшение амплитуды фазного напряжения ΔU_Ф=311,1׳0,004=1,24 В, что значительно меньше значений полученных из выражения (10) равных ΔU_Ф =22,46 В. Не может быть коэффициент несинусоидальности 7,22 %, когда при протекании тока первичной обмотки трансформатора амплитуда напряжения уменьшается всего на 1,9 В.

Таким образом, предлагается разработанная методика расчета высших гармоник напряжения и определения коэффициента искажения синусоидальности кривой напряжения на основании разложения в ряд Фурье искаженной кривой синусоиды напряжения при работе трехфазных неуправляемых выпрямителей.

About the authors

Vyacheslav S. Osipov

Author for correspondence.
Email: osipov_4343@mail.ru

Ph. D. (Techn.), Associate Professor

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1

Download (13KB)

Indexing metadata

3. Fig. 2

Download (15KB)

Indexing metadata

4. Fig. 3

Download (39KB)

Indexing metadata

5. Fig. 4

Download (6KB)

Indexing metadata

6. Fig. 5

Download (9KB)

Indexing metadata

7. Fig. 6

Download (12KB)

Indexing metadata

8. Fig. 7

Download (11KB)

Indexing metadata

9. Fig. 8

Download (6KB)

Indexing metadata