One approach to determination of the ultimate load-bearing capacity of mechanical systems with softening elements


Cite item

Full Text

Abstract

The fundamental provisions of the limiting load calculation theory are presented for a discrete mechanical system with softening elements. The method is based on the numerical determination of degenerate critical points for the potential function of the system. At these points there is a transition from the stability of the loading process to instability such as a catastrophe or a failure. This approach helps to avoid solving a large number of nonlinear equilibrium equations. The problem of determining the limiting internal pressure in a thin walled cylindrical tank is solved as an example. A unified potential specially defined for a flat square element of material in biaxial tension is used in developing a potential function of the system. It describes all stages of deformation including the softening stage.

Full Text

Введение. Вычисление предельной несущей способности механических систем основывается на расчете параметров равновесных состояний при постепенно возрастающей нагрузке. Затем эти параметры тем или иным способом сводят к некоторому скаляру и сравнивают его с предельной величиной, полученной в эксперименте. Например, на каждом шаге догружения определяют напряженное состояние элемента конструкции, находят соответствующий инвариант тензора напряжений, который сравнивают с его предельной величиной, взятой из эксперимента. Возможен и другой подход, основанный на исследовании устойчивости положений равновесия, когда разрушение связывают с невозможностью равновесия, то есть с моментом потери устойчивости [1, 2]. Реализация данного подхода возможна, если учитывать физически неустойчивые состояния материала (разупрочнение) [2-6]. Но и в этом случае возникает необходимость в решении не удовлетворяющих условиям корректности по Адамару [7] больших систем нелинейных уравнений равновесия для определения критических точек потенциальной функции механической системы, что является нетривиальной задачей [8]. Кроме того, выделение из них вырожденных критических точек, где происходит смена устойчивости на неустойчивость, требует применения нетрадиционного аппарата теории катастроф [9, 10]. Однако информация о параметрах равновесия (критических точках потенциальной функции системы) при возрастающих нагрузках, вообще говоря, является излишней. При определении предельной несущей способности нужно знать только вырожденные критические точки. В данной работе представлена методика, которая позволяет избежать аналитического решения нелинейных уравнений. Она основана на специальной числовой процедуре приближенного выбора вырожденных критических точек. В качестве примера рассмотрена задача о разрушении цилиндрического резервуара под действием внутреннего давления. Для построения потенциальной функции разработана методика построения единого потенциала для элемента материала, находящегося в плоском напряженном состоянии и описывающего его свойства как при упрочнении, так и при разупрочнении. 1. Общие положения. Положение механической системы в пространстве определяется конечным набором обобщенных координат (параметров состояния)
×

About the authors

Valery V Struzhanov

Institute of Engineering Science, Ural Branch of RAS

Email: stru@imach.uran.ru
Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Chief Reseacher; Lab. of Matherial Micromechanics 34, Komsomolskaya st., Ekaterinburg, 620049, Russian Federation

Aleksandr V Korkin

Institute of Natural Sciences and Mathematics, Ural Federal University

Email: alexkorkin@list.ru
Postgraduate Student 48, Kuybysheva, st., Ekaterinburg, 620000, Russian Federation

Aleksey E Chaykin

Institute of Natural Sciences and Mathematics, Ural Federal University

Email: chaykin.ae@yandex.ru
Postgraduate Student 48, Kuybysheva, st., Ekaterinburg, 620000, Russian Federation

References

  1. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1970. 492 с.
  2. Стружанов В. В., Миронов В. И. Деформационное разупрочнение материала в элементах конструкций. Екатеринбург: УрО РАН, 1995. 190 с.
  3. Вильдеман В. Э., Чаусов Н. Г. Условия деформационного разупрочнения материала при растяжении образца специальной конфигурации // Заводская лаборатория. Диагностика материалов, 2007. Т. 73, № 10. С. 55-59.
  4. Вильдеман В. Э., Третьяков М. П. Испытания материалов с построением полных диаграмм деформирования // Проблемы машиностроения и надежности машин, 2013. № 2. С. 93-98.
  5. Стружанов В. В., Коркин А. В. Об устойчивости процесса растяжения одной стержневой системы с разупрочняющимися элементами // Вестник Уральского государственного университета путей сообщения, 2016. № 3(31). С. 4-17. doi: 10.20291/2079-0392-2016-3-4-17.
  6. Андреева Е. А. Решение одномерных задач пластичности для разупрочняющегося материала // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2008. № 2(17). С. 152-160. doi: 10.14498/vsgtu642.
  7. Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1974. 431 с.
  8. Стружанов В. В., Коркин А. В. О решении нелинейных уравнений равновесия одной растягиваемой стержневой системы с разупрочняющимися элементами методом простых итераций // Вестник Уральского государственного университета путей сообщения, 2017. № 2(34). С. 4-16. doi: 10.20291/2079-0392-2017-2-4-16.
  9. Poston T., Stewart I. Catastrophe Theory and Its Applications / Surveys and Reference Works in Mathematics. vol. 2. London, San Francisco, Melbourne: Pitman, 1978. xviii+491 pp.
  10. Gilmore R. Catastrophe theory for scientists and engineers / A Wiley-Interscience Publication. New York: John Wiley & Sons, 1981. xvii+666 pp.
  11. Pars L. A. A treatise on analytical dynamics. London: Heinemann Educational Books, 1965. xxi+641 pp.
  12. Ильюшин А. А. Об основах общей математической теории пластичности // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика, 1961. № 3. С. 31-36.
  13. Качанов Л. М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. 420 с.
  14. Стружанов В. В. Определение диаграммы деформирования материала с падающей ветвью по диаграмме кручения цилиндрического образца // Сиб. журн. индустр. матем., 2012. Т. 15, № 1. С. 138-144.
  15. Радченко В. П. Введение в механику деформируемых систем. Самара: СамГТУ, 2009. 241 с.
  16. Southwell R. V. An introduction to the theory of elasticity. For engineers and physicists / Oxford Engineering Science Series. Oxford: Clarendon Press, 1936. ix+510 pp.

Copyright (c) 2018 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies