On the solvability of nonlocal problem with generalized operators M. Saigo for Bitsadze-Lykov equation

Abstract


A nonlocal boundary value problem for the equation of moisture transfer was studied in the field, which is the union of two characteristic triangles. The novelty of the formulation of the problem lies in the fact that the boundary conditions include operators of generalized of fractional integro- differentiation in the sense of M. Saigo. The uniqueness of the solution of the problem was proved using the extremum principle for hyperbolic equations. Properties of operators of generalized fractional integro-differentiation in the sense of M. Saigo were used in the proof. Existence of a solution is equivalent reduced to the solvability of a characteristic singular integral equation with Cauchy kernel for which the smoothness of the right-hand side was studied.

Full Text

1. Введение. Рассмотрим уравнение гиперболического типа LU = y 2 Uxx - Uyy + bUx = 0, |b| < 1, (1) которое принято называть уравнением Бицадзе-Лыкова или уравнением влагопереноса [2, с. 234], в области D, являющейся объединением двух характеристических треугольников ABC1 = D1 с вершинами A(0, 0), B(1, 0), C1 (1/2, -1) и ABC2 = D2 с вершинами A, B, C2 (1/2, 1). Введем следующие обозначения: I ≡ AB, Θ0 (x) и Θ1 (x) - точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки (x,0) ∈ I, с характеα,β,η α,β,η ристиками AC1 и BC2 соответственно; (I0+ f )(x) и (I1- f )(x) - операторы © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования Т а р а с е н к о А. В., Е г о р о в а И. П. О разрешимости нелокальной задачи с обобщенными операторами М. Сайго для уравнения Бицадзе-Лыкова // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 4 (37). С. 33-41. doi: 10.14498/vsgtu1363. ∗ Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного авторами на Четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Россия, Самара, 25 августа - 1 сентября 2014). 33 Т а р а с е н к о А. В., Е г о р о в а И. П. обобщённого дробного интегро-дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса F (a, b; c; z), введённые в [3] (см. также [4, с. 326-327]) и имеющие при действительных α, β, η и x > 0 вид  -α-β x t  x  (x - t)α-1 F α + β, -η; α; 1 - f (t) dt, α > 0;   Γ(α) x 0 α,β,η n (I0+ f )(x) = d α,β,η α+n,β-n,η-n  (I0+ f )(x) = (I0+ f )(x),   dx  α 0, n = [-α] + 1); α,β,η (I1- f )(x) =   (1 - x)-α-β     Γ(α)  1 (t - x)α-1 F α + β, -η; α; x t-x f (t) dt, 1-x α > 0;  α,β,η d  (I  1- f )(x) = -   dx  n α+n,β-n,η-n f )(x), (I1- α 0, n = [-α] + 1). α,β,η α,β,η Если α + β = 0, то операторы (I0+ f )(x) и (I1- f )(x) сводятся к дробα f )(x), (I α f )(x) и производным (D α f )(x), (D α f )(x) ным интегралам (I0+ 1- 0+ 1- Римана-Лиувилля [4, с. 41-44]; H λ [0, 1] (0 < λ 1) - класс функций, удовлетворяющих на отрезке [0, 1] условию Гёльдера порядка λ. Для уравнения (1) поставим и изучим следующую нелокальную задачу. Задача. Найти функцию U (x, y) со свойствами: LU ≡ 0 в области D = D1 ∪ D2 ; (2) U (x, y) ∈ C(D) ∩ C 1 (D \ I) ∩ C 2 (D \ I); U (x, +0) = U (x, -0) (x ∈ I), 1 a,b1 ,b1 + 2 - 1 2 A1 I0+ t lim Uy (x, y) = lim Uy (x, y), y→0+ y→0- a+ 1-b ,b1 + 1 ,b1 - 1-b 4 2 4 U [Θ0 (t)] (x) + A2 I0+ a+ 3-b ,b1 ,b1 - 1-b 4 4 + A3 I0+ 1 a,b1 ,b1 + 2 B1 I1- 1 a+ 1-b ,b1 + 2 ,b1 - 1-b 4 4 1 a+ 3-b ,b1 ,b1 - 1-b 4 4 + B3 I1- (3) U (t, -0) (x)+ Uy (t, -0) (x) = ϕ1 (x), (1 - t)- 2 U [Θ1 (t)] (x) + B2 I1- x ∈ I; x ∈ I; (4) U (t, +0) (x)+ Uy (t, +0) (x) = ϕ2 (x), x ∈ I; (5) где Ai , Bi , i = 1, 2, 3 - вещественные константы, на которые ниже будут наложены условия; |b| - 1 1-b 0, α,β,η α,-α-η,-α-β I1- ϕ (x) = (1 - x)-α-β-η I1- ϕ (x), α > 0, α,β,η γ,δ,η-β-γ-δ α+γ,β+δ,η-γ-δ I0+ I0+ ϕ (x) = I0+ ϕ (x), α,β,η γ,δ,η-β-γ-δ α+γ,β+δ,η-γ-δ I1- I1- ϕ (x) = I1- ϕ (x), (9) γ > 0, γ > 0, получим соотношение между τ± (x) и ν± (x), принесенное на I из областей D1 и D2 соответственно: a+ 1-b ,b1 + 1 ,b1 - 1-b 4 2 4 (A1 k1 + A2 ) I0+ τ- (t) (x)+ a+ 3-b ,b1 ,b1 - 1-b 4 4 + (A1 k2 + A3 ) I0+ ν- (t) (x) = ϕ1 (x), (10) 35 Т а р а с е н к о А. В., Е г о р о в а И. П. 1 a+ 1+b ,b1 + 2 ,b1 - 1+b 4 4 (B1 k3 + B2 ) I1- τ+ (t) (x)- a+ 3+b ,b1 ,b1 - 1+b 4 4 - (B1 k4 - B3 ) I1- ν+ (t) (x) = ϕ2 (x). (11) 1 -a- 3-b ,-b1 ,a+b1 + 2 4 Применив к обеим частям (10) оператор I0+ , а к обеим 1 -a- 3+b ,-b1 ,a+b1 + 2 I1- 4 частям (11) оператор , и используя свойства операторов дробного интегрирования и дифференцирования [4, с. 327] α,β,η γ,δ,α+η α+γ,β+δ,η I0+ I0+ ϕ (x) = I0+ ϕ (x), γ > 0, α,β,η γ,δ,α+η α+γ,β+δ,η I1- I1- ϕ (x) = I1- ϕ (x), γ > 0, α,-α,η α ϕ (x) = I0+ ϕ (x), I0+ α > 0, α,-α,η ϕ I1- -α,α,η ϕ I0+ -α,α,η I1- ϕ α > 0, α (x) = I1- ϕ (x), (x) = α D0+ ϕ (x), α > 0, α (x) = D1- ϕ (x), α > 0, а также полагая τ+ (x) = τ- (x) = τ (x), получаем равенства ν- (x) = - ν+ (x) = 1 A1 k1 + A2 2 D0+ τ (t) (x)+ A1 k 2 + A3 1 -a- 3-b ,-b1 ,a+b1 + 1 2 ϕ1 (t) (x), (12) + I0+ 4 A1 k2 + A3 1 B1 k 3 + B2 2 D1- τ (t) (x)- B1 k 4 - B3 - 1 -a- 3+b ,-b1 ,a+b1 + 1 2 I1- 4 ϕ2 (t) (x), (13) B1 k 4 - B3 При ϕ1 (x) = ϕ2 (x) ≡ 0 равенства (12) и (13) примут вид 1 A1 k1 + A2 2 D0+ τ (t) (x), A1 k2 + A3 1 B1 k3 + B2 2 ν+ (x) = D1- τ (t) (x). B1 k4 - B3 Потребуем теперь, чтобы выполнялись следующие условия: ν- (x) = - A1 , A2 > 0, A1 k 2 + A3 < 0 или A1 , A2 < 0, A1 k2 + A3 > 0; (14) B1 , B2 > 0, B3 - B1 k4 > 0 или B1 , B2 < 0, B3 - B1 k4 < 0. (15) В силу принципа экстремума для гиперболических уравнений [9] положительный максимум (отрицательный минимум) функции U (x, y) достигается в областях D1 и D2 в точке (x0 , 0) ∈ I. 36 О разрешимости нелокальной задачи с обобщенными операторами. . . Пользуясь тем, что дробные производные в точке положительного максимума строго положительны (в точке отрицательного минимума строго отрицательны) [10, с. 123], и учитывая (14), (15), получаем неравенства ν- (x0 ) > 0 (ν- (x0 ) < 0) и ν- (x0 ) < 0 (ν- (x0 ) > 0). Эти неравенства противоречат условию сопряжения (3). Полученное противоречие доказывает единственность решения задачи для уравнения (1), если |b| < 1. 3. Существование решения задачи. Подействуем на обе части равенства -a- 1-b ,-b1 - 1 ,a+b1 4 2 (10) оператором I0+ , а на обе части равенства (11) - опера- -a- 1+b ,-b1 - 1 ,a+b1 2 I1- 4 тором . На основании двух последних формул из (9) получим τ (x) = - 1 1 A1 k2 + A3 2 -a- 1-b ,-b1 - 1 ,a+b1 2 ϕ1 (t) (x), I0+ ν- (t) (x) + I0+ 4 A1 k1 + A2 A1 k1 + A2 1 B1 k 4 - B3 2 1 -a- 1+b ,-b1 - 1 ,a+b1 2 I1- ν+ (t) (x) + I1- 4 ϕ2 (t) (x), B1 k 3 + B2 B1 k 3 + B2 откуда вытекает равенство τ (x) = 1 1 2 2 γ1 I0+ ν(t) (x) + γ2 I1- ν(t) (x) = f1 (x), (16) где A1 k 2 + A3 B3 - B1 k4 , γ2 = , ν(x) = ν- (x) = ν+ (x), A1 k 1 + A2 B1 k3 + B2 1 -a- 1-b ,-b1 - 1 ,a+b1 2 ϕ1 (t) (x)+ f1 (x) = - I0+ 4 A1 k1 + A2 1 -a- 1+b ,-b1 - 1 ,a+b1 2 + I1- 4 ϕ2 (t) (x). B1 k3 + B2 γ1 = - 1 2 Применяя к обеим частям (16) оператор D0+ и учитывая соотношения [4, с. 50-51] α α D0+ I0+ f = f, α > 0, α α Da+ Ib- ϕ = cos(πα)ϕ(x) + sin(πα) π b a τ -a x-a α ϕ(τ )dτ , τ -x приходим к уравнению γ1 ν(x) + γ2 π 1 0 t x 1 2 1 ν(t)dt 2 = D0+ f1 (t) (x). t-x (17) Исследуем вопрос разрешимости интегрального уравнения (17). Произведя в (17) замену 1 µ(x) = x 2 ν(x), 1 1 2 f (x) = x 2 D0+ f1 (t) (x), 37 Т а р а с е н к о А. В., Е г о р о в а И. П. получим характеристическое особое интегральное уравнение с ядром Коши [11] γ2 1 µ(t)dt γ1 µ(x) + = f (x), x ∈ I. (18) π 0 t-x Для выяснения гладкости правой части f (x) интегрального уравнения (18) нам потребуется две леммы из работы [12]. 1 и β < min[0, η + 1]. Если ϕ(x) ∈ H λ [0, 1], Лемма 1. Пусть 0 < -α < λ то α,β,η I0+ ϕ (x), α,β,η I1- ϕ (x) ∈ H min[α+λ,-β] [0, 1]. 1 и η > β - 1. Если ϕ(x) ∈ H λ [0, 1], то (x) ∈ H α+λ [0, 1]. Лемма 2. Пусть 0 < -α < λ xβ α,β,η I0+ ϕ (x), (1 - α,β,η I1- ϕ x)β Так как 0 получим соотношение между τ± (x) и ν± (x), принесенное на I из областей D1 и D2 соответственно: a+ 1-b ,b1 + 1 ,b1 - 1-b 4 2 4 (A1 k1 + A2 ) I0+ τ- (t) (x)+ a+ 3-b ,b1 ,b1 - 1-b 4 4 + (A1 k2 + A3 ) I0+ ν- (t) (x) = φ1 (x), (10) 35 Т а р а с е н к о А. В., Е г о р о в а И. П. 1 a+ 1+b ,b1 + 2 ,b1 - 1+b 4 4 (B1 k3 + B2 ) I1- τ+ (t) (x)- a+ 3+b ,b1 ,b1 - 1+b 4 4 - (B1 k4 - B3 ) I1- ν+ (t) (x) = φ2 (x). (11) 1 -a- 3-b ,-b1 ,a+b1 + 2 4 Применив к обеим частям (10) оператор I0+ , а к обеим 1 -a- 3+b ,-b1 ,a+b1 + 2 I1- 4 частям (11) оператор , и используя свойства операторов дробного интегрирования и дифференцирования [4, с. 327] α,β,η γ,δ,α+η α+γ,β+δ,η I0+ I0+ φ (x) = I0+ φ (x), γ > 0, α,β,η γ,δ,α+η α+γ,β+δ,η I1- I1- φ (x) = I1- φ (x), γ > 0, α,-α,η α > 0, α φ (x) = I0+ φ (x), I0+ α,-α,η α > 0, φ I1- -α,α,η φ I0+ -α,α,η I1- φ α (x) = I1- φ (x), (x) = α D0+ φ (x), α > 0, α α > 0, (x) = D1- φ (x), а также полагая τ+ (x) = τ- (x) = τ (x), получаем равенства ν- (x) = - ν+ (x) = 1 A1 k1 + A2 2 D0+ τ (t) (x)+ A1 k 2 + A3 1 -a- 3-b ,-b1 ,a+b1 + 1 2 φ1 (t) (x), (12) + I0+ 4 A1 k2 + A3 1 B1 k 3 + B2 2 D1- τ (t) (x)- B1 k 4 - B3 - 1 -a- 3+b ,-b1 ,a+b1 + 1 2 I1- 4 φ2 (t) (x), (13) B1 k 4 - B3 При φ1 (x) = φ2 (x) ≡ 0 равенства (12) и (13) примут вид 1 A1 k1 + A2 2 D0+ τ (t) (x), A1 k2 + A3 1 B1 k3 + B2 2 ν+ (x) = D1- τ (t) (x). B1 k4 - B3 Потребуем теперь, чтобы выполнялись следующие условия: ν- (x) = - A1 , A2 > 0, или A1 , A2 < 0, (14) A1 k 2 + A3 < 0 A1 k2 + A3 > 0; B1 , B2 > 0, или B1 , B2 < 0, (15) B3 - B1 k4 > 0 B3 - B1 k4 < 0. В силу принципа экстремума для гиперболических уравнений [9] положительный максимум (отрицательный минимум) функции U (x, y) достигается в областях D1 и D2 в точке (x0 , 0) ∈ I. 36 О разрешимости нелокальной задачи с обобщенными операторами. . . Пользуясь тем, что дробные производные в точке положительного максимума строго положительны (в точке отрицательного минимума строго отрицательны) [10, с. 123], и учитывая (14), (15), получаем неравенства ν- (x0 ) > 0 (ν- (x0 ) < 0) и ν- (x0 ) < 0 (ν- (x0 ) > 0). Эти неравенства противоречат условию сопряжения (3). Полученное противоречие доказывает единственность решения задачи для уравнения (1), если |b| < 1. 3. Существование решения задачи. Подействуем на обе части равенства -a- 1-b ,-b1 - 1 ,a+b1 4 2 (10) оператором I0+ , а на обе части равенства (11) - опера- -a- 1+b ,-b1 - 1 ,a+b1 2 I1- 4 тором . На основании двух последних формул из (9) получим τ (x) = - 1 1 A1 k2 + A3 2 -a- 1-b ,-b1 - 1 ,a+b1 2 φ1 (t) (x), I0+ ν- (t) (x) + I0+ 4 A1 k1 + A2 A1 k1 + A2 1 B1 k 4 - B3 2 1 -a- 1+b ,-b1 - 1 ,a+b1 2 I1- ν+ (t) (x) + I1- 4 φ2 (t) (x), B1 k 3 + B2 B1 k 3 + B2 откуда вытекает равенство τ (x) = 1 1 2 2 γ1 I0+ ν(t) (x) + γ2 I1- ν(t) (x) = f1 (x), (16) где A1 k 2 + A3 B3 - B1 k4 , γ2 = , ν(x) = ν- (x) = ν+ (x), A1 k 1 + A2 B1 k3 + B2 1 -a- 1-b ,-b1 - 1 ,a+b1 2 φ1 (t) (x)+ f1 (x) = - I0+ 4 A1 k1 + A2 1 -a- 1+b ,-b1 - 1 ,a+b1 2 + I1- 4 φ2 (t) (x). B1 k3 + B2 γ1 = - 1 2 Применяя к обеим частям (16) оператор D0+ и учитывая соотношения [4, с. 50-51] α α D0+ I0+ f = f, α > 0, α α Da+ Ib- φ = cos(πα)φ(x) + sin(πα) π b a τ -a x-a α φ(τ )dτ , τ -x приходим к уравнению γ1 ν(x) + γ2 π 1 0 t x 1 2 1 ν(t)dt 2 = D0+ f1 (t) (x). t-x (17) Исследуем вопрос разрешимости интегрального уравнения (17). Произведя в (17) замену 1 μ(x) = x 2 ν(x), 1 1 2 f (x) = x 2 D0+ f1 (t) (x), 37 Т а р а с е н к о А. В., Е г о р о в а И. П. получим характеристическое особое интегральное уравнение с ядром Коши [11] γ2 1 μ(t)dt γ1 μ(x) + = f (x), x ∈ I. (18) π 0 t-x Для выяснения гладкости правой части f (x) интегрального уравнения (18) нам потребуется две леммы из работы [12]. 1 и β < min[0, η + 1]. Если φ(x) ∈ H λ [0, 1], Лемма 1. Пусть 0 < -α < λ то α,β,η I0+ φ (x), α,β,η I1- φ (x) ∈ H min[α+λ,-β] [0, 1]. 1 и η > β - 1. Если φ(x) ∈ H λ [0, 1], то (x) ∈ H α+λ [0, 1]. Лемма 2. Пусть 0 < -α < λ xβ α,β,η I0+ φ (x), (1 - α,β,η I1- φ x)β Так как 0<a+ b+1 <λ 4 1 < min[0, 1 + a + b1 ], 2 -b1 - 1, -a- 1-b ,-b1 - 1 ,a+b1 4 2 а φ1 (x), φ2 (x) ∈ H λ [0, 1], на основании леммы 1 I0+ -a- 1-b ,-b1 - 1 ,a+b1 2 I1- 4 φ2 (t) φ1 (t) (x), (x) ∈ H λ0 [0, 1], где λ0 = min λ - a - b+1 1 , b1 + . 4 2 Следовательно, f1 (x) ∈ H λ0 [0, 1]. В силу условий (6) λ0 = λ - a - b+1 . 4 Далее, поскольку 1/2 < λ0 < 1, а 1 1 1 - 1 , 2 ,η 1 2 2 x 2 D0+ f1 (x) = x 2 I0+ 1 f1 (x), 1 2 используя лемму 2, имеем f (x) = x 2 D0+ f1 (x) ∈ H λ1 [0, 1], где λ1 = λ - a - b-1 . 4 2 2 Так как γ1 + γ2 = 0, уравнение (18) является уравнением нормального типа. Его индекс равен нулю в классе функций, которые при x → 0 ограничены, а при x → 1 могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы. Используя известную теорию сингулярных интегральных уравнений (см., например, формулу (30.16) из [4, с. 444]), можно выписать единственное решение уравнения (10) в яном виде. Справедлива следующая теорема. Теорема. Пусть |b| < 1, 38 |b| - 1 1-b <a< , 4 4 a+ b-1 3+b < b1 < a + ; 4 4 О разрешимости нелокальной задачи с обобщенными операторами. . . Ai , Bi , i = 1, 2, 3 - такие действительные константы, что выполняются условия (14), (15); функции φ1 (x) и φ2 (x) удовлетворяют условиям (7). Тогда 1 задача (2)-(5) для уравнения (1) при ν(x) = x- 2 μ(x) имеет единственное решение.

About the authors

Anna V Tarasenko

Samara State University of Architecture and Civil Engineering

Email: tarasenko.a.v@mail.ru
194, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443001, Russian Federation
Cand. Phys. & Math. Sci.; tarasenko.a.v@mail.ru; Corresponding Author), Associate Professor, Dept. of Higher Mathematics

Irina P Egorova

Samara State University of Architecture and Civil Engineering

Email: ira.egorova81@yandex.ru
194, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443001, Russian Federation
(Cand. Phys. & Math. Sci.; ira.egorova81@yandex.ru), Associate Professor, Dept. of Higher Mathematics

References

  1. Тарасенко А. В., Егорова И. П. О разрешимости нелокальной задачи с обобщенными операторами М. Сайго для уравнения Бицадзе-Лыкова / Четвертая международная конференция «Математическая физика и ее приложения»: материалы конф.; ред. чл.корр. РАН И. В. Волович; д.ф.-м.н., проф. В. П. Радченко. Самара: СамГТУ, 2014. С. 345-346.
  2. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995. 300 с.
  3. Saigo M. A. A certain boundary value problem for the Euler-Poisson-Darboux equation // Math. Japon., 1979. vol. 24, no. 4. pp. 377-385.
  4. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
  5. Репин О. А. Аналог задачи Нахушева для уравнения Бицадзе-Лыкова // Диффер. уравн., 2002. Т. 38, No 10. С. 1412-1417.
  6. Ефимова С. В., Репин О. А. Задача с нелокальными условиями на характеристиках для уравнения влагопереноса // Диффер. уравн., 2004. Т. 40, No 10. С. 1419-1422.
  7. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981.
  8. с. Репин О. А. О разрешимости задачи с краевым условием на характеристиках для вырождающегося гиперболического уравнения // Диффер. уравн., 1998. Т. 34, No 1. С. 110- 113.
  9. Agmon S., Nirenberg L., Protter M. N. A maximum principle for a class of hyperbolic equations and applications to equations of mixed elliptic-hyperbolic type // Comm. Pure Appl. Math., 1953. vol. 6, no. 4. pp. 455-470. doi: 10.1002/cpa.3160060402.
  10. Нахушев А. М. Элементы дробного исчисления и их применение. Нальчик: КБНЦ РАН, 2000. 299 с.
  11. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.
  12. Saigo M. A., Kilbas A. A. Generalized fractional integrals and derivatives in Hölder spaces / Transform Methods and Special Function, Proc. Intern. Workshop; Sofia 12-17 August, 1994. Singapore: Science Culture Techn. Publ., 1995. pp. 282-293.

Statistics

Views

Abstract - 14

PDF (Russian) - 5

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2014 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies