Exact analytical solution for the stationary two-dimensional heat conduction problem with a heat source

Abstract


The exact analytic solution for the stationary two-dimensional heat conduction problem with a heat source for an infinite square bar was obtained. It was based on the Bubnov–Galyorkin orthogonal method using trigonometric systems of coordinate functions. The infinite system of ordinary differential equations obtained by the Bubnov–Galyorkin method is divided and reduced by the orthogonality property of trigonometric coordinate functions to the solution of a generalized equation which provides the exact analytical solution in a simple form, i.e. in the form of an infinite series. In view of the symmetry of the problem, only a quarter of the cross-section of the bar is considered for the boundary conditions of the adiabatic wall (the absence of heat transfer) along the cut lines, which allows (in contrast to the well-known classical exact analytical solution) to significantly simplify the process of the solution and the final equation.

Full Text

Получение аналитических решений двумерных краевых задач на основе уравнения Пуассона представляет значительный практический интерес изза их широкого применения при анализе различных физических процессов (теплопроводности, течения жидкостей, теории упругости, термоупругости, кручения призматических тел и др.) [1–5]. Трудность их решения объясняется двумерностью краевой задачи и неоднородностью исходного дифференциального уравнения. Известное точное аналитическое решение представляет сложный бесконечный функциональный ряд, содержащий гиперболические функции [5]. Из приближенных аналитических методов решения краевых задач теплопроводности большое распространение получил интегральный метод теплового баланса, относящийся к группе ортогональных методов взвешенных невязок [6–14, 19]. С его помощью можно получать приближенные аналитические решения краевых задач, получение точных решений которых не предоставляется возможным (нелинейные краевые задачи с переменными физическими свойствами среды и др.). Однако основным недостатком этих методов является низкая точность, объясняемая тем, что при их использовании требуется выполнение осредненного исходного уравнения (интеграла теплового баланса). Применение дополнительной искомой функции и дополнительных граничных условий позволяет удовлетворить исходное дифференциальное уравнение в зависимости от числа приближений искомого решения с заданной степенью точности. Отметим, что методы, основанные на выполнении уравнения в граничных точках, рассмотрены также в работах [15–18]. В настоящей работе точное аналитическое решение получено на основе метода Бубнова—Галеркина с использованием ортогональных систем тригонометрических координатных функций, что позволяет существенно упростить как процесс получения решения, так и окончательное выражение для него из-за возможности сведения решения бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений к интегрированию одного обобщенного дифференциального уравнения. Основную идею метода рассмотрим на примере решения задачи теплопроводности для бесконечного бруса квадратного сечения с источником теплоты в следующей математической постановке: 2 (, ) 2 (, ) + = , 0 < < , 0 < < ; 2 2 (, ) (, ) (, ) = , = 0, = 0, (, ) = , =0 =0 (1) (2) где — температура, К; , — координаты, м; — мощность внутреннего источника теплоты, Вт/м3 ; — коэффициент теплопроводности, Вт/(м·К); — температура стенки, К; — половина стороны сечения бруса, м. Ввиду симметрии температурного поля рассматривается только четверть поперечного сечения бруса. В работе [7] на основе определения дополнительной искомой функции и дополнительных граничных условий получено приближенное аналитическое решение задачи (1), (2) (второе приближение). Однако нахождение решения для большего числа приближений затруднительно в виду громоздкости получаемых выражений, что связано с использованием сложного вида дополнительных граничных условий. С целью упрощения процесса получения точного аналитического решения введём следующие безразмерные переменные и параметры: = , = , = , = 2 , (3) где — безразмерная температура; , — безразмерные координаты ( [0, 1], [0, 1]); — безразмерный параметр. С учетом обозначений (3) задача (1), (2) запишется следующим образом: 2 (, ) 2 (, ) + + = 0, 0 < < 1, 0 < < 1; 2 2 (, ) = 0, =0 (1, ) = 0, (, ) = 0, =0 (, 1) = 0. (4) (5) (6) (7) (8) Решение задачи (4)—(8) принимается в виде (, ) = () (), (9) =1 ( ) где () — неизвестные коэффициенты; = cos 21 2 — координатные функции, = 1, 2, . . . . Соотношение (9) благодаря принятой системе координатных функций точно удовлетворяет граничным условиям (7), (8). Для определения неизвестных функций (), следуя методу Бубнова–Галеркина, составим невязку уравнения (4) (и потребует ее ортогональности ко всем координатным функциям ) = cos 21 : 2 1 [ 2 ] (, ) 2 (, ) + + () = 0, = 1, 2, . . . . (10) 2 2 0 Подставляя (9) в (10), находим [ 1 0 =1 '' () () ( 2 1 )2 2 ] 2 () () ()+ + 1 () = 0, = 1, 2, . . . . (11) 0 Соотношение (11) представляет бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций (). Но из-за ортогональности введенных тригонометрических функций (11) распадается на следующие дифференциальные уравнения: ( 2 1 )2 (1)+1 4 '' () 2 () + = 0, = 1, 2, . . . . (12) 2 (2 1) Интегрируя уравнение (12), находим ( 2 1 ) ( 2 1 ) (1)+1 16 () = 1 exp + 2 exp + , 2 2 (2 1)3 3 (13) где 1 , 2 — постоянные интегрирования, = 1, 2, . . . . Подставляя (13) в (9), получаем (, ) = [ =1 ( 2 1 ) ( 2 1 ) + 2 exp + 1 exp 2 2 + (1)+1 16 ] (). (14) (2 1)3 3 Для определения постоянных интегрирования 1 и 2 составим невязку граничных условий (5), (6) и потребуем ортогональности невязки ко всем координатным функциям (): 0 1 (, ) () = 0, =0 1 (1, ) () = 0, = 1, 2, . . . . (15) 0 После подстановки (14) в (15) получим систему относительно неизвестных 1 и 2 : 2 1 = 0; ( 2 1 ) 16(1)1 ( 2 1 ) + 2 exp + = 0, 1 exp 2 2 (2 1)3 3 решение которой имеет вид (1) 1 = 2 = ( )3 ( 21 ) . 21 ch 2 2 (16) Ряд (14) с учетом найденных значений (16) представляет собой точное аналитическое решение задачи (4)—(8). Анализ результатов расчетов позволяет заключить, что ряд (14) «быстро» сходится. Максимальная относительная погрешность в чебышевской норме от точного решения находится по формуле (, ) (, ) ex max = · 100%, ex (, ) где ex (, ) — точное решение, представленное в [5]. При использовании одного члена ряда (14) (штриховые линии на рисунке) погрешность max не превышает 6 %, при использовании двух членов — не более 1.5 %, а при использовании трех членов ряда (сплошные линии на рисунке) — менее 1 %. Точное решение на рисунке не приведено, поскольку визуально оно неотличимо от решения при трех членах. Распределение температуры в различных сечениях бруса. Расчеты по формуле (14): штриховые линии — = 1, сплошные линии — = 3, где — число членов ряда (14), = 1 [Temperature distribution in different cross-sections of the bar. Calculations are made by Eq. (14): dashed lines for = 1, solid lines for = 3, where is the number of terms in the series (14), = 1] Отметим, что полученные по формуле (14) результаты в различных точках сечения бруса при любом количестве членов ряда (14) численно полностью совпадают с решением, приведенным в [5], однако отличаются простотой получения с безразмерным диапазоном изменения пространственных переменных ( [0, 1], [0, 1]) и возможностью изменения величины внутреннего источника теплоты . Выводы 1. На основе ортогонального метода Бубнова–Галеркина при использовании тригонометрических координатных функций получено точное аналитическое решение стационарной двумерной задачи теплопроводности для бесконечно-протяженного бруса квадратного сечения с объемным источником теплоты. 2. Благодаря ортогональности тригонометрических координатных функций, неизвестные функции () в бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, получаемых в результате применения метода Бубнова–Галеркина, расщепляются, что позволяет получить решение, точно удовлетворяющее дифференциальному уравнению и всем граничным условиям краевой задачи.

About the authors

Igor Vasilievich Kudinov

Samara State Technical University

Email: igor-kudinov@bk.ru

Candidate of technical sciences, no status

Olga Yuryevna Kurganova

Samara State Technical University


without scientific degree, no status

Vasily K. Tkachev

Samara State Technical University


References

  1. Chen C. S., Muleshkov A. S., Golberg M. A., Mattheij R.M.M., "A mesh-free approach to solving the axisymmetric Poisson's equation", Numer. Meth. Part. D. E., 21:2 (2005), 349-367
  2. Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, Физматлит, М., 1999, 798 с.
  3. Глазунов Ю. Т., Вариационные методы, Регулярная и хаотическая динамика; Институт компьютерных исследований, М.-Ижевск, 2006, 470 с.
  4. Цой П. В., Системные методы расчета краевых задач тепломассопереноса, МЭИ, М., 2005, 568 с.
  5. Канторович Л. В., Крылов В. И., Приближенные методы высшего анализа, Физматгиз, Л., 1950, 695 с.
  6. Кудинов В. А., Кудинов И. В., "Об одном методе получения точного аналитического решения гиперболического уравнения теплопроводности на основе использования ортогональных методов", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2010, № 5(21), 159-169
  7. Кудинов В. А., Кудинов И. В., Скворцова М. П., "Обобщенные функции и дополнительные граничные условия в задачах теплопроводности для многослойных тел", Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 55:4 (2015), 669-680
  8. Bollati J., Semitiel J., Tarzia D. A., "Heat balance integral methods applied to the one-phase Stefan problem with a convective boundary condition at the fixed face", Appl. Math. Comp., 331 (2018), 1-19
  9. Hristov J., "The heat radiation diffusion equation explicit analytical solutions by improved integral-balance method", Thermal science, 22:2 (2018), 777-788
  10. Hristov J., "Double integral-balance method the fractional subdiffusion equation: approximate solutions, optimization problems to be resolved and numerical simulations", J. Vib. Control, 23:17 (2017), 2795-2818
  11. Hristov J., "Multiple integral-balance method basic idea and an example with Mullin's model of thermal grooving", Thermal science, 21:3 (2017), 1555-1560
  12. Кудинов В. А., Стефанюк Е. В., "Аналитический метод решения задач теплопроводности на основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий", Инженерно-физический журнал, 82:3 (2009), 540-558
  13. Стефанюк Е. В., Кудинов В. А., "Получение приближенных аналитических решений при рассогласовании начальных и граничных условий в задачах теории теплопроводности", Изв. вузов. Матем., 2010, № 4, 63-71
  14. Кудинов В. А., Дикоп В. В., Габдушев Р. Ж., Стефанюк С. А., "Об одном методе определения собственных чисел в нестационарных задачах теплопроводности", Изв. РАН. Энергетика, 2002, № 4, 112-117
  15. Канторович Л. В., "Об одном методе приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных", Докл. АН СССР, 2:9 (1934), 532-534
  16. Федоров Ф. М., Граничный метод решения прикладных задач математической физики, Наука, Новосибирск, 2000, 220 с.
  17. Кудряшов Н. А., "Приближенные решения одной задачи нелинейной теплопроводности", Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 45:11 (2005), 2044-2051
  18. Wang G. T., Pei K., Agarwal R. P., Zhang L. H., Ahmad B., "Nonlocal Hadamard fractional boundary value problem with Hadamard integral and discrete boundary conditions on a half-line", J. Comp. Appl. Math., 343 (2018), 230-239
  19. Кудинов В. А., Клеблеев Р. М., Куклова Е. А., "Получение точных аналитических решений нестационарных задач теплопроводности ортогональными методами", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 21:1 (2017), 197-206

Statistics

Views

Abstract - 10

PDF (Russian) - 4

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2019 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies