Properties of the strain rate sensitivity function produced by the linear viscoelasticity theory and existence of its maximum with respect to strain and strain rate

Cover Page

Cite item


Strain rate sensitivity of stress-strain curves family generated by the Boltzmann–Volterra linear viscoelasticity constitutive equation (with an arbitrary relaxation modulus) under uni-axial loadings at constant strain rates is studied analytically as the function of strain and strain rate. The general expression for strain rate sensitivity index is derived and analyzed assuming relaxation modulus being arbitrary. Dependence of the strain rate sensitivity index on strain and strain rate and on relaxation modulus qualitative characteristics is examined, conditions for its monotonicity and for existence of extrema, the lower and the upper bounds and the limit values of the strain rate sensitivity as strain rate tends to zero or to infinity are studied. It is found out that (within the framework of the linear viscoelasticity) the strain rate sensitivity index which is, generally speaking, the function of two independent variables (namely strain and strain rate), depends on the single argument only that is the ratio of strain to strain rate. So defined function of one real variable is termed the strain rate sensitivity function and it may be regarded as a material function. The explicit integral expression (and the two-sided bound) for relaxation modulus in terms of strain rate sensitivity function is derived which enables one to restore relaxation modulus assuming a strain rate sensitivity function is given. The strain rate sensitivity function is represented as a linear function of ratio of tangent modulus to secant modulus of a stress-strain curve at any fixed constant strain rate and can be evaluated in such a way using experimental data. It is proved that the strain rate sensitivity value is confined in the interval from zero to unity (the upper bound of strain rate sensitivity index for pseudoplastic media) whatever strain and strain rate magnitudes. It is found out that the linear theory can reproduce increasing or decreasing or non-monotone dependences of strain rate sensitivity on strain rate (for any fixed strain) and it can provide existence of local maximum or minimum or several extrema as well without any complex restrictions on the relaxation modulus. General properties and peculiarities of the theoretic strain rate sensitivity function are illustrated by the examination of the classical regular and singular rheological models (consisting of two, three or four spring and dashpot elements) and fractional models. Namely, the Maxwell, Kelvin–Voigt, standard linear solid, Zener, anti-Zener, Burgers, anti-Burgers, Scott–Blair, fractional Kelvin–Voigt models and their parallel connections are considered. The carried out analysis let us to conclude that the linear viscoelasticity theory (supplied with common relaxation function which are non-exotic from any point of view) is able to produce high values of strain rate sensitivity index close to unity (the upper bound of strain rate sensitivity index for pseudoplastic media) and to provide existence of the strain rate sensitivity index maximum with respect to strain rate. Thus, it is able to simulate qualitatively existence of a flexure point on log-log graph of stress dependence on strain rate and its sigmoid shape which is one of the most distinctive features of superplastic deformation regime observed in numerous materials tests.

About the authors

Andrew Vladimirovich Khokhlov

Lomonosov Moscow State University, Institute of Mechanics

Candidate of technical sciences, Head Scientist Researcher


  1. Хохлов А. В., "Общие свойства диаграмм деформирования линейных моделей вязкоупругости при постоянной скорости деформации", Проблемы прочности и пластичности, 77:1 (2015), 60-74
  2. Хохлов А. В., "Анализ общих свойств кривых ползучести при циклических ступенчатых нагружениях, порождаемых линейной теорией наследственности", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 21:2 (2017), 326-361
  3. Хохлов А. В., "Двусторонние оценки для функции релаксации линейной теории наследственности через кривые релаксации при ramp-деформировании и методики ее идентификации", Изв. РАН. МТТ, 2018, № 3, 81-104
  4. Хохлов А. В., "Анализ влияния объемной ползучести на кривые нагружения с постоянной скоростью и эволюцию коэффициента поперечной деформации в рамках линейной теории вязкоупругости", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 23:4 (2019), 671-704
  5. Хохлов А. В., "Индикаторы неприменимости линейной теории вязкоупругости по данным испытаний материала на ползучесть при растяжении с наложением гидростатического давления", Механика композиционных материалов и конструкций, 25:2 (2019), 259-280
  6. Scott-Blair G. W., Caffyn J., "Significance of power-law relations in rheology", Nature, 155 (1945), 171-172
  7. Работнов Ю. Н., "Равновесие упругой среды с последействием", ПММ, 12:1 (1948), 53-62
  8. Герасимов А. Н., "Обобщение линейных законов деформирования и его применение к задачам внутреннего трения", ПММ, 12:3 (1948), 251-260
  9. Podlubny I., Fractional differential equations. An introduction to fractional derivatives, fractional differential equations, to methods of their solution and some of their applications, Mathematics in Science and Engineering, 198, Academic Press, San Diego, 1999, xxiv+340 pp.
  10. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J., Theory and Applications of Fractional Differential Equations, North-Holland Mathematics Studies, 204, Elsevier, Amsterdam, 2006, xx+523 pp.
  11. Mainardi F., Spada G., "Creep, relaxation and viscosity properties for basic fractional models in rheology", Eur. Phys. J. Spec. Top., 193:1 (2011), 133-160
  12. Огородников Е. Н., Радченко В.П., Унгарова Л. Г., "Математическое моделирование наследственно упругого деформируемого тела на основе структурных моделей и аппарата дробного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 20:1 (2016), 167-194
  13. Astarita G., Marrucci G., Principles of non-Newtonian Fluid Mechanics, McGraw-Hill, London, New York, 1974, 289 pp.
  14. Pearson C. E., "The viscous properties of extruded eutectic alloys of Pb-Sn and Bi-Sn", J. Inst. Metals, 54 (1934), 111-123
  15. Бочвар А. А., Свидерская З. А., "Явление сверхпластичности в сплавах цинка с алюминием", Изв. АН СССР. ОТН, 1945, № 9, 821-824
  16. Zehr S. W., Backofen W. A., "Superplasticity in Lead-Tin alloys", Trans. ASM, 61 (1968), 300-313
  17. Hedworth J., Stowell M. J., "The measurement of strain rate sensitivity in superplastic alloys", J. Mater. Sci., 6 (1971), 1061-1069
  18. Грабский М. В., Структурная сверхпластичность металлов, Металлургия, М., 1975, 272 с.
  19. Смирнов О. М., Обработка металлов давлением в состоянии сверхпластичности, Машиностроение, М., 1979, 184 с.
  20. Padmanabhan K. A., Davies J. J., Superplasticity, Springer-Verlag, Berlin, 1980, xiv+314 pp.
  21. Новиков И. И., Портной В. К., Сверхпластичность сплавов с ультрамелким зерном, Металлургия, М., 1981, 168 с.
  22. Кайбышев О. А., Сверхпластичность промышленных сплавов, Металлургия, М., 1984, 264 с.
  23. Сегал В. М., Резников В. И., Копылов В. И., Павлик Д.А., Процессы пластического структурообразования металлов, Наука и техника, Минск, 1994, 232 с.
  24. Nieh T. G., Wadsworth J., Sherby O. D., Superplasticity in Metals and Ceramics, Cambridge Solid State Science Series, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997, xiv+287 pp.
  25. Васин Р. А., Еникеев Ф. У., Введение в механику сверхпластичности, Гилем, Уфа, 1998, 280 с.
  26. Padmanabhan K. A., Vasin R. A., Enikeev F. U., Superplastic Flow: Phenomenology and Mechanics, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2001, xix+363 pp.
  27. Чумаченко Е. Н., Смирнов О. М., Цепин М. А., Сверхпластичность: Материалы, теория, технологии, КомКнига, М., 2005, 320 с.
  28. Segal V. M., Beyerlein I. J., Tome C. N., et al., Fundamentals and Engineering of Severe Plastic Deformation, Nova Science Publ., New York, 2010, 542 pp.
  29. Langdon T. G., "Forty-five years of superplastic research: Recent developments and future prospects", Mater. Sci. Forum, 838-839 (2016), 3-12
  30. Шарифуллина Э. Р., Швейкин А. И., Трусов П. В., "Обзор экспериментальных исследований структурной сверхпластичности: эволюция микроструктуры материалов и механизмы деформирования", Вестник ПНИПУ. Механика, 2018, № 3, 103-127
  31. Wang G. C., Fu M. W., Dong H. B., et al., "Superplasticity deformation of Ti-6Al-2Zr-1Mo-1V induced by the cyclic change of strain-rate and MaxmSPD", J. Alloys Compd., 491:1-2 (2010), 213-217
  32. Sotoudeh K., Bate P. S., "Diffusion creep and superplasticity in aluminium alloys", Acta Mater., 58:6 (2010), 1909-1920
  33. Sun Q. J., Wang G. C., "Microstructure and superplasticity of TA15 alloy", Mater. Sci. Eng. A., 606 (2014), 401-408
  34. Blandin J. J., "Superplasticity of metallic alloys: Some current findings and open questions", Mater. Sci. Forum, 838-839 (2016), 13-22
  35. Mikhaylovskaya A. V., Mosleh A. O., Kotov A. D., et al., "Superplastic deformation behaviour and microstructure evolution of near-Ti-Al-Mn alloy", Mater. Sci. Eng. A, 708 (2017), 469-477
  36. Mosleh A. O., Mikhaylovskaya A. V., Kotov A. D., et al., "Experimental investigation of the effect of temperature and strain rate on the superplastic deformation behavior of Ti-based alloys in the () temperature field", Metals, 8:10 (2018), 819
  37. Сегал В. М., Резников В. И., Дробышевский А. Е., Копылов В. И., "Пластическая обработка металлов простым сдвигом", Изв. АН СССР. Металлы, 1981, № 1, 115-123
  38. Громов Н. П., Теория обработки металлов давлением, Металлургия, М., 1967, 340 с.
  39. Кайбышев О. А., Утяшев Ф. З., Сверхпластичность, измельчение структуры и обработка труднодеформируемых сплавов, Наука, М., 2002, 438 с.
  40. Валиев Р. З., Александров И. В., Объемные наноструктурные металлические материалы: получение, структура и свойства, Академкнига, М., 2007, 398 с.
  41. Ефимов О. Ю., Громов В. Е., Иванов Ю. Ф., Формирование структуры, фазового состава и свойств сталей и сплавов в упрочняющих технологиях обработки давлением, Интер-Кузбасс, Новокузнецк, 2012, 345 с.
  42. Faraji G., Kim H. S., Kashi H. T., Severe Plastic Deformation: Methods, Processing and Properties, Elsevier, Amsterdam, 2018, 324 pp.
  43. Валиев Р. З., Исламгалиев Р. К., "Структура и механическое поведение ультрамелкозернистых металлов и сплавов, подвергнутых интенсивной пластической деформации", Физ. метал. металловед., 85:3 (1998), 161-177
  44. Глезер А. М., Метлов Л. С., "Мегапластическая деформация твердых тел", Физика и техника высоких давлений, 18:4 (2008), 21-35
  45. Малинин Н. Н., Ползучесть в обработке металлов давлением, Машиностроение, М., 1986, 221 с.
  46. Криштал М. М., "Прерывистая текучесть как причина аномалий скоростной и температурной зависимостей сопротивления деформированию", Физ. метал. металловед., 85:1 (1998), 127-139
  47. Баженов С. Л., Ковальчук Е. П., "Автоколебательное пластическое деформирование полимеров", ДАН, 417:3 (2007), 353-356
  48. Pyдской A. M., Рудаев Я. И., Механика динамической сверхпластичности алюминиевых сплавов, Наука, СПб., 2009, 218 с.
  49. Yu D., Chen X., Yu W., Chen G., "Thermo-viscoplastic modeling incorporating dynamic strain aging effect on the uniaxial behavior of Z2CND18.12N stainless steel", Int. J. Plast., 37 (2012), 119-139
  50. Трусов П. В., Чечулина Е. А., "Прерывистая текучесть: физические механизмы, экспериментальные данные, макрофеноменологические модели", Вестник ПНИПУ. Механика, 2014, № 3, 186-232
  51. Yang H. K., Zhang Z. J., Tian Y. Z., Zhang Z. F., "Negative to positive transition of strain rate sensitivity in Fe-22Mn-0.6C-x(Al) twinning-induced plasticity steels", Mater. Sci. Eng. A, 690:6 (2017), 146-157
  52. Peng J., Peng J., Li K.-S., et al., "Temperature-dependent SRS behavior of 316L and its constitutive model", Acta Metall. Sin. (Engl. Lett.), 31 (2018), 234-244
  53. Васин Р. А, Еникеев Ф. У, Круглов А. А., Сафиуллин Р. В., "Об идентификации определяющих соотношений по результатам технологических экспериментов", Изв. РАН. МТТ, 2003, № 2, 111-124
  54. Khokhlov A. V., "Properties of a nonlinear viscoelastoplastic model of Maxwell type with two material functions", Moscow Univ. Mech. Bull., 71:6 (2016), 132-136
  55. Khokhlov A. V., "Applicability indicators and identification techniques for a nonlinear Maxwell-type elastoviscoplastic model using loading-unloading curves", Mech. Compos. Mater., 55:2 (2019), 195-210
  56. Vasin R. A., Enikeev F. U., Mazurski M. I., "Determination of the strain rate sensitivity of a superplastic material at constant load test", Mater. Sci. Eng. A, 224:1-2 (1997), 131-135
  57. Бхаттачария С. С., Быля О. И, Васин Р. А., Подманабхан К. А., "Механическое поведение титанового сплава с неподготовленной структурой при скачкообразном изменении скорости деформации в режиме сверхпластичности", Изв. РАН. МТТ, 2009, № 6, 169-177
  58. Соснин О. В., Горев Б. В., Любашевская И. В., "Высокотемпературная ползучесть и сверхпластичность материалов", ПМТФ, 38:2 (1997), 140-145
  59. Vasin R. A., Enikeev F. U., Mazurski M. I., Munirova O. S., "Mechanical modelling of the universal superplastic curve", J. Mater. Sci., 35:10 (2000), 2455-2466
  60. Bylya O. I, Sarangi M. K., Ovchinnikova N. V., et al., "FEM simulation of microstructure refinement during severe deformation", IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng., 63 (2014), 012033
  61. Alabort E., Putman D., Reed R. C., "Superplasticity in Ti-6A-4V: Characterisation, modelling and applications", Acta Mater., 95 (2015), 428-442
  62. Bylya O. I., Vasin R. A., Blackwell P. L., "The mechanics of superplastic forming - How to incorporate and model superplastic and superplastic-like conditions", Mater. Sci. Forum, 838 (2016), 468-476
  63. Lin Y. C., Chen X.-M., "A critical review of experimental results and constitutive descriptions for metals and alloys in hot working", Mater. Design, 32:4 (2011), 1733-1759
  64. Cheng Y. Q., Zhang H., Chen Z. H., Xian K. F., "Flow stress equation of AZ31 magnesium alloy sheet during warm tensile deformation", J. Mater. Process. Technol., 208:1-3 (2008), 29-34
  65. Работнов Ю. Н., Ползучесть элементов конструкций, Наука, М., 1966, 752 с.
  66. Локощенко А. М., Ползучесть и длительная прочность металлов, Физматлит, М., 2016, 504 с.
  67. Никитенко А. Ф., Соснин О. В., Торшенов Н. Г., Шокало И. К., "О ползучести упрочняющихся материалов с разными свойствами на растяжение и сжатие", ПМТФ, 12:2 (1971), 118-122
  68. Takagi H., Dao M., Fujiwara M., "Prediction of the constitutive equation for uniaxial creep of a power-law material through instrumented microindentation testing and modeling", Mater. Trans., 55:2 (2014), 275-284
  69. Белякова Т. А., Гончаров И. А., Хохлов А. В., "О невозможности моделирования сигмоидальных кривых сверхпластичности параллельным или последовательным соединениями степенных вязких элементов", Механика композиционных материалов и конструкций, 25:3 (2019), 299-315
  70. Хохлов А. В., "Монотонное возрастание показателя скоростной чувствительности любых параллельных соединений линейных моделей вязкоупругости со степенными функциями релаксации", Вестн. Южно-Ур. ун-та. Сер. Матем. Мех. Физ., 11:3 (2019), 56-67
  71. Хохлов А. В., "Характеристика скоростной чувствительности диаграмм деформирования в линейной теории вязкоупругости и построение по ней функции релаксации", Проблемы прочности и пластичности, 81:4 (2019), 521-536
  72. Murty G. S., Banerjee S., "Evaluation of threshold stress from the stress-strain rate data of superplastic materials", Scripta Metallurgica et Materialia, 31:6 (1994), 707-712

Copyright (c) 2020 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies