On quadratic corrections of constitutive equations for a hemitropic micropolar elastic solid

Full Text

Введение и вводные замечания

Модели механики упругого поведения микрополярных сред основаны на энергетических формах микрополярных упругих потенциалов силовых и моментных напряжений [1–8]. Представления упругих потенциалов, необходимые для конкретной формулировки определяющих уравнений анизотропных микрополярных сред, в общем случае могут быть найдены исключительно при использовании формализма псевдотензорной алгебры [9–13], поскольку основная кинематическая переменная — вектор спинорных перемещений — обладает нечетным алгебраическим весом¹. Аналогичное утверждение справедливо для тензора изгиба-кручения, которому естественным образом может быть приписан алгебраический вес \(\pm 1\). Следует выделить три принципиально различных подхода к построению упругих потенциалов, подробно рассмотренных в работах авторов [10, 14–16].

H-представление [14] наиболее естественно с точки зрения линейной тензорной алгебры и наиболее перспективно для разработки новых моделей анизотропных микрополярных тел. Данное представление наиболее простым образом позволяет осуществить редукцию анизотропного тела к полуизотропному, изотропному, ультрагемитропному или ультраизотропному случаям, а также провести обобщение на более сложные кубические определяющие законы. Ультрагемитропные и ультраизотропные тела объединяются общим термином «ультратропные» тела [17]. Их определяющие тензоры характеризуются постоянными компонентами [11, 18, 19] и могут быть непосредственно выявлены при анализе диаграмм Ная [20–26].

E-представление энергетической формы [26, 27] основано на разложении асимметричных тензоров деформаций и изгиба-кручения на симметричную и антисимметричную составляющие с последующей заменой антисимметричных частей соответствующими векторами. Данный подход наиболее применим для анализа структур анизотропии с использованием диаграмм Ная [20–22], поскольку позволяет  определить количество независимых определяющих постоянных и установить наличие или отсутствие алгебраических связей между ними [23–26].

A-представление [8, 29], в существенной степени основанное на результатах теории алгебраических инвариантов, представляет собой линейную комбинацию индивидуальных и совместных целых рациональных алгебраических инвариантов асимметричного тензора деформаций и градиента поля микроповоротов. Теоретические основы целых рациональных алгебраических инвариантов подробно изложены в классических монографиях [11, 19].

Настоящее исследование направлено на развитие подходов к построению энергетических форм для потенциалов силовых и моментных напряжений микрополярных упругих тел. В рамках работы получена полная неприводимая система индивидуальных и совместных целых рациональных алгебраических инвариантов симметричных составляющих: асимметричного тензора деформаций, тензора изгиба-кручения и векторов, соответствующих их антисимметричным составляющим. Полученная система инвариантов применяется для построения кубической аппроксимации энергетической формы гемитропного/изотропного тела и определения соответствующих определяющих постоянных (механических моделей) микрополярной упругости. Следует отметить, что аналогичный подход для изотропного микрополярного тела рассматривался в работе [2], где было предложено шестиконстантное А-представление энергетической формы с последующим выводом основных уравнений микрополярной упругости.

Изложение существенно опирается на терминологию, обозначения, методы и результаты, разработанные в цикле предыдущих исследований [8, 14–16, 26–36].

1. Необходимые сведения из псевдотензорной алгебры и теории целых рациональных алгебраических инвариантов

Приведем необходимые сведения и понятия из современной геометрии и тензорной алгебры [11–13, 37]. В дальнейшем изложении, когда это не очевидно, будем обозначать вес псевдотензора верхним индексом в квадратных скобках, а его ранг — нижним индексом в круглых скобках:
\[
    \underset{(n)}{\overset{[{\rm g}]}{\bf T}}\,,
\]
где ${\rm g}$ — алгебраический вес, а $n$ — ранг псевдотензора $\mathbf{T}$.

В соответствии с общепринятой практикой нулевой вес абсолютных тензоров и веса фундаментальных псевдотензоров в обозначениях явно не указываются. Кроме того, для упрощения записи ранг тензора/псевдотензора опускается в случаях, когда он однозначно определяется из контекста, что позволяет избежать излишней громоздкости тензорных уравнений.

Последующие рассуждения проводятся в трехмерном евклидовом пространстве. Введем локальный ковариантный базис \(\underset{1}{\boldsymbol\imath}\), \(\underset{2}{\boldsymbol\imath}\),  \(\underset{3}{\boldsymbol\imath}\). Смешанное произведение векторов базиса [37] определяет фундаментальный ориентирующий псевдоскаляр \(e\) и две псевдоскалярные единицы в соответствии с [18]:
\[
    e=\underset{1}{\boldsymbol\imath}\cdot(\underset{2}{\boldsymbol\imath}\times\underset{3}{\boldsymbol\imath}),
    \qquad
    \overset{[+1]}{1}=e,
    \qquad
    \overset{[-1]}{1}=e^{-1},
\]
что позволяет классифицировать локальные базисные системы на право- и левоориентированные в зависимости от знака псевдотензорной единицы.

Введем скалярную функцию $\mathrm{w.g.t} $, ставящую в соответствие псевдотензору его алгебраический вес. Например,
\[
 \mathrm{w.g.t}\,\bigl(\overset{[{\rm g}]}{1}\bigr)
 ={\rm g}.
\]

Псевдотензор \(\underset{(n)}{\overset{[{\rm g}]}{\bf T}}\)  алгебраического веса \({\rm g}\) и ранга \(n\) может быть преобразован в абсолютный тензор того же ранга с помощью соответствующей степени псевдоскалярной единицы:
\[
\underset{(n)}{\bf T}
=\overset{[-{\rm g}]}{1}   \underset{(n)}{\overset{[{\rm g}]}{\bf T}} 
.
\]

В последнем равенстве выполняется правило баланса весов (weights balance rule) [38–40]. Действительно, имеем
\[
 \mathrm{w.g.t}\,\Bigl(     \underset{(n)}{\bf T}
\Bigr)={\rm w.g.t}\,\Bigl(\overset{[-{\rm g}]}{1}    \underset{(n)}{\overset{[{\rm g}]}{\bf T}}\Bigr)=-{{\rm g}}+{{\rm g}}=0.
\]

Настоящее исследование существенно опирается на теорию целых рациональных алгебраических инвариантов, фундаментальное изложение которой представлено в монографиях [11, 19, 41, 42]. Рассмотрим основные понятия и положения данной теории.

Определение индивидуального псевдоинварианта алгебраического веса $a$ для псевдотензора приведено в монографии [11]. Отметим, что при $a = 0$ инвариант носит название абсолютного инварианта, при \(a\ne 0\) — относительного, или псевдоинварианта. 

Аналогичным образом определяется совместный инвариант нескольких тензоров/псевдотензоров. 

Как известно, для заданной системы тензоров существует бесконечное множество инвариантов (индивидуальных/совместных).  Если среди них имеются нетривиальные (не равные тождественно нулю), то их количество также будет бесконечным. Это следует уже из того, что любая целая рациональная функция с числовыми коэффициентами от нескольких инвариантов системы при определенных условиях сама является инвариантом той же системы. В частности, таким свойством обладает произведение инвариантов.

Указанное обстоятельство приводит к понятию неприводимого инварианта системы, т.е. инварианта, который не может быть выражен в виде целой рациональной функции от других инвариантов той же системы. Совокупность всех неприводимых инвариантов системы образует ее полную систему инвариантов. Иначе говоря, инварианты системы тензоров образуют ее полную систему инвариантов, если всякий инвариант системы представляет собой целую рациональную функцию инвариантов и если, кроме того, никакой из инвариантов не является целой рациональной функцией остальных (или некоторых из них).

 Без дополнительного исследования, разумеется, невозможно утверждать, что для произвольной системы тензоров число неприводимых инвариантов обязательно конечно. Поэтому с принципиальной точки зрения весьма важной является теорема Гильберта, которая устанавливает, что полная система инвариантов любой конечной системы тензоров состоит из конечного числа инвариантов [11].

2. Следы, образующие целый рациональный базис относительно гемитропной группы преобразований

Рассмотрим систему двух симметричных \(\mathbf{A}\), \(\mathbf{B}\) и двух антисимметричных \(\mathbf{V}\), \(\mathbf{W}\) тензоров второго ранга. Согласно [19], полная система индивидуальных и совместных гемитропных инвариантов для такой системы включает 86 неприводимых элементов. Для целей настоящего исследования достаточно рассмотреть подмножество из 20 гемитропных инвариантов, имеющих первую, вторую и третью степени относительно компонент указанных тензоров [19]:
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
    & 1)  \operatorname{tr}[{\bf V}^2];& & \hphantom{1}6)  \operatorname{tr}[{\bf B}^2]; & & 11)  \operatorname{tr}[{\bf B}{\bf A}^2]; & & 16)  \operatorname{tr}[{\bf V}{\bf W}]; 
    \\
    & 2)  \operatorname{tr}[{\bf W}^2];& & \hphantom{1}7)  \operatorname{tr}[{\bf A}^3]; & & 12)  \operatorname{tr}[{\bf V}^2{\bf A}]; & & 17)  \operatorname{tr}[{\bf V}{\bf A}{\bf B}];
    \\
    & 3)  \operatorname{tr}[{\bf A}];& & \hphantom{1}8)  \operatorname{tr}[{\bf B}^3]; & & 13)  \operatorname{tr}[{\bf V}^2{\bf B}]; & & 18)  \operatorname{tr}[{\bf W}{\bf A}{\bf B}];
    \\
    & 4)  \operatorname{tr}[{\bf B}];& & \hphantom{1}9)  \operatorname{tr}[{\bf AB}]; & & 14)  \operatorname{tr}[{\bf W}^2{\bf A}]; & & 19)  \operatorname{tr}[{\bf V}{\bf W}{\bf A}];
    \\
    & 5)  \operatorname{tr}[{\bf A}^2];& & 10)  \operatorname{tr}[{\bf A}{\bf B}^2]; & & 15)  \operatorname{tr}[{\bf W}^2{\bf B}]; & & 20)  \operatorname{tr}[{\bf V}{\bf W}{\bf B}].
\end{aligned}
\tag{1}
\end{equation}\]
Здесь и далее будем опускать операцию внутреннего произведения тензоров/псевдотензоров. Каждый инвариантный след снабжается уникальным идентификационным номером от 1 до 20.

Вычисление инвариантов (1) в заданной криволинейной координатной системе [11, c. 327] удобно производить в смешанных компонентах:
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
    & 
    1)  V^{\cdot k}_{s \cdot}V^{\cdot s}_{k \cdot};& & 
    \hphantom{1}6)  B^{\cdot k}_{s \cdot}B^{\cdot s}_{k \cdot}; & & 
    11)  B^{\cdot k}_{s \cdot}A^{\cdot l}_{k \cdot}A^{\cdot s}_{l \cdot}; & & 
    16)  V^{\cdot k}_{s \cdot}W^{\cdot s}_{k \cdot}; 
    \\
    & 
    2)  W^{\cdot k}_{s \cdot}W^{\cdot s}_{k \cdot};& & 
    \hphantom{1}7)  A^{\cdot k}_{s \cdot}A^{\cdot l}_{k \cdot}A^{\cdot s}_{l \cdot}; & & 
    12)  V^{\cdot k}_{s \cdot}V^{\cdot l}_{k \cdot}A^{\cdot s}_{l \cdot}; & & 
    17)  V^{\cdot k}_{s \cdot}A^{\cdot l}_{k \cdot}B^{\cdot s}_{l \cdot};
    \\
    & 
    3)  A^{\cdot k}_{k \cdot};& & 
    \hphantom{1}8)  B^{\cdot k}_{s \cdot}B^{\cdot l}_{k \cdot}B^{\cdot s}_{l \cdot}; & & 
    13)  V^{\cdot k}_{s \cdot}V^{\cdot l}_{k \cdot}B^{\cdot s}_{l \cdot}; & & 
    18)  W^{\cdot k}_{s \cdot}A^{\cdot l}_{k \cdot}B^{\cdot s}_{l \cdot};
    \\
    & 
    4)  B^{\cdot k}_{k \cdot};& & 
    \hphantom{1}9)  A^{\cdot k}_{s \cdot}B^{\cdot s}_{k \cdot}; & & 
    14)  W^{\cdot k}_{s \cdot}W^{\cdot l}_{k \cdot}A^{\cdot s}_{l \cdot}; & & 
    19)  V^{\cdot k}_{s \cdot}W^{\cdot l}_{k \cdot}A^{\cdot s}_{l \cdot};
    \\
    & 
    5)  A^{\cdot k}_{s \cdot}A^{\cdot s}_{k \cdot};& & 
    10)  A^{\cdot k}_{s \cdot}B^{\cdot l}_{k \cdot}B^{\cdot s}_{l \cdot}; & & 
    15)  W^{\cdot k}_{s \cdot}W^{\cdot l}_{k \cdot}B^{\cdot s}_{l \cdot}; & & 
    20)  V^{\cdot k}_{s \cdot}W^{\cdot l}_{k \cdot}B^{\cdot s}_{l \cdot}.
\end{aligned}
\tag{2}
\end{equation}\]
Отметим, что данная форма представления не включает метрический тензор и легко запоминается. 

Выберем сначала линейные инварианты из списка (2):
\[\begin{equation}
    3; \,\, 4.
\tag{3}
\end{equation}\]
Следует заметить, что линейные инварианты (3) могут быть заданы альтернативным эквивалентным способом (например, \(A^{k \cdot}_{\cdot k}\) и \(B^{k \cdot}_{\cdot k}\)).

Сформируем набор квадратичных инвариантов, выбрав соответствующие элементы из списка (2):
\[\begin{equation}
    1; \,\, 2; \,\, 3\times3, \,\, 3\times4; \,\, 4\times4; \,\, 5; \,\, 6; \,\, 9; \,\, 16, 
\tag{4}
\end{equation}\]
где номера соответствуют позициям инвариантов в исходном списке.

Набор (4) включает 9 квадратичных гемитропных инвариантов, которые были применены при построении квадратичной энергетической формы в работах [8, 29].

Для построения аппроксимаций высших порядков (кубических, четвертых, пятых и т.д.) энергетических форм необходимо расширить систему рациональных инвариантов, включив инварианты высших степеней (3, 4, 5 и т.д.). Кубические гемитропные инварианты представляют особый интерес, поскольку позволяют получить квадратичные поправки к линейным определяющим уравнениям теории микрополярной упругости.

Построим неприводимую систему кубических инвариантов, образованных совместными произведениями инвариантов из списка (1) общей степени 3. Полная система из 28 кубических гемитропных инвариантов имеет следующий вид:
 \[\begin{equation}
\begin{aligned}
       1\times3, \,\, 1\times4; \,\, 2\times3, \,\, 2\times4; \,\,
       3^3, \,\, 3^2\times4, \,\, 3\times4^2, \,\, 3\times5, \,\, 3\times6, \,\, 3\times9, \,\, 3\times16; \,\, 4^3, 
       \\ 4\times5, \,\, 4\times6, \,\, 4\times9, \,\, 4\times16; \,\, 7; \,\, 8; \,\, 10; \,\, 11; \,\, 12; \,\, 13; \,\, 14; \,\, 15; \,\, 17; \,\, 18; \,\, 19; \,\, 20.
\end{aligned}
\end{equation} \]

Объединение данной системы с квадратичным набором (4) позволяет построить кубическую аппроксимацию энергетической формы обобщенного гемитропного микрополярного упругого тела. Для этого необходимо выполнить подстановку, указанную в следующем разделе, вместо тензоров $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$, $\mathbf{V}$ и $\mathbf{W}$.

3. Кубическая аппроксимация энергетической формы гемитропного микрополярного упругого тела

Опираясь на результаты предыдущего раздела, построим систему индивидуальных и совместных целых рациональных алгебраических инвариантов симметричных и антисимметричных частей асимметричных тензоров деформаций и тензора изгиба-кручения. Для этого  выполним замену:
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
    &  {\bf A} = \operatorname{sym}{\boldsymbol{\epsilon}}, & & 
    {\bf B} = \operatorname{sym}{\boldsymbol{\kappa}},
    \\
    & {\bf V} = \operatorname{asym}{\boldsymbol{\epsilon}}, & & 
    {\bf W} = \operatorname{asym}{\boldsymbol{\kappa}}.
\end{aligned}
\tag{5}
\end{equation}\]
В смешанных компонентах соотношения (5) примут вид²
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
    &  {A}{}_{s\cdot}^{\cdot k} = \dfrac{1}{2}\big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big], & & 
    {B}{}_{s\cdot}^{\cdot k} = \dfrac{1}{2}\big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{\kappa}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big],
    \\
    & {V}{}_{s\cdot}^{\cdot k} = \dfrac{1}{2}\big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k}-{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big], & & 
    {W}{}_{s\cdot}^{\cdot k} = \dfrac{1}{2}\big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot k}-{\kappa}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big].
\end{aligned}
\tag{6}
\end{equation}\]

Смешанные тензорные компоненты в (6) могут быть заданы альтернативным эквивалентным способом (например, \({A}{}_{\cdot s}^{k \cdot}\) и \({B}{}_{\cdot s}^{k \cdot}\)).

Применяя замену (5) и учитывая схему нумерации, принятую в работах [8, 29], преобразуем систему квадратичных гемитропных инвариантов (4) к следующему виду:
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
    &
    {}^{2}\underset{1}{\rm I}=\dfrac{1}{4}\big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot s}+{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot k}\big]^2,
    && 
    {}^{2}\underset{2}{\rm I}=\dfrac{1}{4}\big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot s}+{\kappa}{}^{k\cdot}_{\cdot k}\big]^2,
    \\&
    {}^{2}\underset{3}{\rm I}=\dfrac{1}{4}\big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]\big[{\epsilon}{}_{k\cdot}^{\cdot s}+{\epsilon}{}^{s\cdot}_{\cdot k}\big],  
    &&
    {}^{2}\underset{4}{\rm I}=\dfrac{1}{4}\big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{\kappa}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]\big[{\kappa}{}_{k\cdot}^{\cdot s}+{\kappa}{}^{s\cdot}_{\cdot k}\big], 
    \\&
    {}^{2}\underset{5}{\rm I}=\dfrac{1}{4}\big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k}-{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]\big[{\epsilon}{}_{k\cdot}^{\cdot s}-{\epsilon}{}^{s\cdot}_{\cdot k}\big], 
    && 
    {}^{2}\underset{6}{\rm I}=\dfrac{1}{4}\big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot k}-{\kappa}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]\big[{\kappa}{}_{k\cdot}^{\cdot s}-{\kappa}{}^{s\cdot}_{\cdot k}\big],
    \\& 
    {}^{2}\underset{7}{\rm I}=\dfrac{1}{4}\big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot s}+{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot k}\big]\big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot s}+{\kappa}{}^{k\cdot}_{\cdot k}\big],
    && 
    {}^{2}\underset{8}{\rm I}=\dfrac{1}{4}\big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]\big[{\kappa}{}_{k\cdot}^{\cdot s}+{\kappa}{}^{s\cdot}_{\cdot k}\big],
    \\& 
    {}^{2}\underset{9}{\rm I}=\dfrac{1}{4}\big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k}-{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]\big[{\kappa}{}_{k\cdot}^{\cdot s}-{\kappa}{}^{s\cdot}_{\cdot k}\big],
\end{aligned}
\tag{7}
\end{equation}\]
а систему гемитропных кубических инвариантов, полученную в предыдущем разделе статьи, примем в форме 
\[\begin{equation}
    \begin{aligned}
        & 
        {}^{3}\underset{1}{\mathfrak J}=\dfrac{1}{8}\big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot s}+{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot k}\big]^3,  
        \qquad 
        {}^{3}\underset{2}{\mathfrak J}=\dfrac{1}{8}\big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot s}+{\kappa}{}^{k\cdot}_{\cdot k}\big]^3,
        \\
        & 
        {}^{3}\underset{3}{\mathfrak J}=\dfrac{1}{8}
        \big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{k\cdot}^{\cdot l}+{\epsilon}{}^{l\cdot}_{\cdot k}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{l\cdot}^{\cdot s}+{\epsilon}{}^{s\cdot}_{\cdot l}\big],  
        \\& 
        {}^{3}\underset{4}{\mathfrak J}=\dfrac{1}{8}
        \big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{\kappa}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\kappa}{}_{k\cdot}^{\cdot l}+{\kappa}{}^{l\cdot}_{\cdot k}\big]
        \big[{\kappa}{}_{l\cdot}^{\cdot s}+{\kappa}{}^{s\cdot}_{\cdot l}\big],
        \\&
        {}^{3}\underset{5}{\mathfrak J}=\dfrac{1}{8}
        \big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{k\cdot}^{\cdot s}+{\epsilon}{}^{s\cdot}_{\cdot k}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{l\cdot}^{\cdot l}+{\epsilon}{}^{m\cdot}_{\cdot m}\big],  
        \\& 
        {}^{3}\underset{6}{\mathfrak J}=\dfrac{1}{8}
        \big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{k\cdot}^{\cdot s}+{\epsilon}{}^{s\cdot}_{\cdot k}\big]
        \big[{\kappa}{}_{l\cdot}^{\cdot l}+{\kappa}{}^{m\cdot}_{\cdot m}\big],
        \\&
        {}^{3}\underset{7}{\mathfrak J}=\dfrac{1}{8}
        \big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{\kappa}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\kappa}{}_{k\cdot}^{\cdot s}+{\kappa}{}^{s\cdot}_{\cdot k}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{l\cdot}^{\cdot l}+{\epsilon}{}^{m\cdot}_{\cdot m}\big],  
        \\& 
        {}^{3}\underset{8}{\mathfrak J}=\dfrac{1}{8}
        \big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{\kappa}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\kappa}{}_{k\cdot}^{\cdot s}+{\kappa}{}^{s\cdot}_{\cdot k}\big]
        \big[{\kappa}{}_{l\cdot}^{\cdot l}+{\kappa}{}^{m\cdot}_{\cdot m}\big],
\\
    &
        {}^{3}\underset{9}{\mathfrak J}=
        \dfrac{1}{8}
        \big[{\epsilon}{}_{l\cdot}^{\cdot l}+{\epsilon}{}^{m\cdot}_{\cdot m}\big]^2
        \big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot s}+{\kappa}{}^{k\cdot}_{\cdot k}\big],  
\\ &
        {}^{3}\underset{10}{\mathfrak J}=
        \dfrac{1}{8}
        \big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot s}+{\kappa}{}^{k\cdot}_{\cdot k}\big]^2
        \big[{\epsilon}{}_{l\cdot}^{\cdot l}+{\epsilon}{}^{m\cdot}_{\cdot m}\big],
        \\&
        {}^{3}\underset{11}{\mathfrak J}=
        \dfrac{1}{8}
        \big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\kappa}{}_{k\cdot}^{\cdot s}+{\kappa}{}^{s\cdot}_{\cdot k}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{l\cdot}^{\cdot l}+{\epsilon}{}^{m\cdot}_{\cdot m}\big],  
\\
        & 
        {}^{3}\underset{12}{\mathfrak J}=\dfrac{1}{8}
        \big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\kappa}{}_{k\cdot}^{\cdot s}+{\kappa}{}^{s\cdot}_{\cdot k}\big]
        \big[{\kappa}{}_{l\cdot}^{\cdot l}+{\kappa}{}^{m\cdot}_{\cdot m}\big],
        \\&
        {}^{3}\underset{13}{\mathfrak J}=\dfrac{1}{8}
        \big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{k\cdot}^{\cdot l}+{\epsilon}{}^{l\cdot}_{\cdot k}\big]
        \big[{\kappa}{}_{l\cdot}^{\cdot s}+{\kappa}{}^{s\cdot}_{\cdot l}\big],  
        \\& 
        {}^{3}\underset{14}{\mathfrak J}=\dfrac{1}{8}
        \big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{\kappa}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\kappa}{}_{k\cdot}^{\cdot l}+{\kappa}{}^{l\cdot}_{\cdot k}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{l\cdot}^{\cdot s}+{\epsilon}{}^{s\cdot}_{\cdot l}\big],
        \\&
        {}^{3}\underset{15}{\mathfrak J}=\dfrac{1}{8}
        \big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\kappa}{}_{k\cdot}^{\cdot l}+{\kappa
        }{}^{l\cdot}_{\cdot k}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{l\cdot}^{\cdot s}-{\epsilon}{}^{s\cdot}_{\cdot l}\big],  
        \\& 
        {}^{3}\underset{16}{\mathfrak J}=\dfrac{1}{8}
        \big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\kappa}{}_{k\cdot}^{\cdot l}+{\kappa
        }{}^{l\cdot}_{\cdot k}\big]
        \big[{\kappa}{}_{l\cdot}^{\cdot s}-{\kappa}{}^{s\cdot}_{\cdot l}\big],
        \\&
        {}^{3}\underset{17}{\mathfrak J}=\dfrac{1}{8}
        \big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot s}+{\epsilon}{}^{m\cdot}_{\cdot m}\big]
       \big[{\epsilon}{}_{k\cdot}^{\cdot l}-{\epsilon}{}^{l\cdot}_{\cdot k}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{l\cdot}^{\cdot k}-{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot l}\big],  
        \\& 
        {}^{3}\underset{18}{\mathfrak J}=\dfrac{1}{8}
        \big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot s}+{\kappa}{}^{m\cdot}_{\cdot m}\big]
       \big[{\epsilon}{}_{k\cdot}^{\cdot l}-{\epsilon}{}^{l\cdot}_{\cdot k}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{l\cdot}^{\cdot k}-{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot l}\big],
        \\&
        {}^{3}\underset{19}{\mathfrak J}=\dfrac{1}{8}
        \big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot s}+{\epsilon}{}^{m\cdot}_{\cdot m}\big]
       \big[{\kappa}{}_{k\cdot}^{\cdot l}-{\kappa}{}^{l\cdot}_{\cdot k}\big]
        \big[{\kappa}{}_{l\cdot}^{\cdot k}-{\kappa}{}^{k\cdot}_{\cdot l}\big],  
        \\& 
        {}^{3}\underset{20}{\mathfrak J}=\dfrac{1}{8}
        \big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot s}+{\kappa}{}^{m\cdot}_{\cdot m}\big]
       \big[{\kappa}{}_{k\cdot}^{\cdot l}-{\kappa}{}^{l\cdot}_{\cdot k}\big]
        \big[{\kappa}{}_{l\cdot}^{\cdot k}-{\kappa}{}^{k\cdot}_{\cdot l}\big],
        \\&
        {}^{3}\underset{21}{\mathfrak J}=\dfrac{1}{8}
        \big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{k\cdot}^{\cdot l}-{\epsilon}{}^{l\cdot}_{\cdot k}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{l\cdot}^{\cdot s}-{\epsilon}{}^{s\cdot}_{\cdot l}\big],  
        \\& 
        {}^{3}\underset{22}{\mathfrak J}=\dfrac{1}{8}
        \big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{\kappa}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{k\cdot}^{\cdot l}-{\epsilon}{}^{l\cdot}_{\cdot k}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{l\cdot}^{\cdot s}-{\epsilon}{}^{s\cdot}_{\cdot l}\big],
\\
&
        {}^{3}\underset{23}{\mathfrak J}=\dfrac{1}{8}
        \big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\kappa}{}_{k\cdot}^{\cdot l}-{\kappa}{}^{l\cdot}_{\cdot k}\big]
        \big[{\kappa}{}_{l\cdot}^{\cdot s}-{\kappa}{}^{s\cdot}_{\cdot l}\big],  
        \\& 
        {}^{3}\underset{24}{\mathfrak J}=\dfrac{1}{8}
        \big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{\kappa}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\kappa}{}_{k\cdot}^{\cdot l}-{\kappa}{}^{l\cdot}_{\cdot k}\big]
        \big[{\kappa}{}_{l\cdot}^{\cdot s}-{\kappa}{}^{s\cdot}_{\cdot l}\big],
        \\&
        {}^{3}\underset{25}{\mathfrak J}=\dfrac{1}{8}
        \big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{k\cdot}^{\cdot l}-{\epsilon}{}^{l\cdot}_{\cdot k}\big]
        \big[{\kappa}{}_{l\cdot}^{\cdot s}-{\kappa}{}^{s\cdot}_{\cdot l}\big],  
        \\& 
        {}^{3}\underset{26}{\mathfrak J}=\dfrac{1}{8}
        \big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{\kappa}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{k\cdot}^{\cdot l}-{\epsilon}{}^{l\cdot}_{\cdot k}\big]
        \big[{\kappa}{}_{l\cdot}^{\cdot s}-{\kappa}{}^{s\cdot}_{\cdot l}\big],
        \\&
        {}^{3}\underset{27}{\mathfrak J}=\dfrac{1}{8}
        \big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot s}+{\epsilon}{}^{m\cdot}_{\cdot m}\big]
       \big[{\epsilon}{}_{k\cdot}^{\cdot l}-{\epsilon}{}^{l\cdot}_{\cdot k}\big]
        \big[{\kappa}{}_{l\cdot}^{\cdot k}-{\kappa}{}^{k\cdot}_{\cdot l}\big],  
        \\& 
        {}^{3}\underset{28}{\mathfrak J}=\dfrac{1}{8}
        \big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot s}+{\kappa}{}^{m\cdot}_{\cdot m}\big]
       \big[{\epsilon}{}_{k\cdot}^{\cdot l}-{\epsilon}{}^{l\cdot}_{\cdot k}\big]
        \big[{\kappa}{}_{l\cdot}^{\cdot k}-{\kappa}{}^{k\cdot}_{\cdot l}\big].
    \end{aligned}
\tag{8}
\end{equation}\]

A-представление кубической аппроксимации энергетической формы гемитропного микрополярного упругого тела, соответствующее системам квадратичных (7) и кубических (8) инвариантов, может быть представлено в компактной форме следующим образом:
\[\begin{equation}
    {\mathscr U}=\sum_{{\mathfrak c}=1}^{9}{}^{2}\underset{\mathfrak c}{C}\,{}^{2}\underset{\mathfrak c}{\rm I}+\sum_{{\mathfrak a}=1}^{28}{}^{3}\underset{\mathfrak a}{\vphantom{\mathfrak J}C}\,{}^{3}\underset{\mathfrak a}{\mathfrak J},
\tag{9}
\end{equation}\]
где \({}^{2}\underset{\mathfrak c}{\rm I}\) — квадратичные инварианты; \({}^{3}\underset{\mathfrak a}{\mathfrak J}\) — кубические инварианты, а для определяющих модулей введены следующие обозначения:

• \({}^{2}\underset{\mathfrak c}{C}\) — модули квадратичного приближения;
• \({}^{3}\underset{\mathfrak a}{C}\) — модули, отвечающие за квадратичные поправки. 

Следует особо отметить чувствительность части определяющих модулей к зеркальным отражениям и инверсиям в трехмерном пространстве. Это свойство обусловлено возможностью присвоения нечетного алгебраического веса тензору изгиба-кручения.

Таким образом, алгебраическая природа 37 определяющих постоянных ${}^{2}\underset{\mathfrak{c}}{C}$ ($\mathfrak{c}=1,\ldots,9$) и ${}^{3}\underset{\mathfrak{a}}{C}$ ($\mathfrak{a}=1,\ldots,28$) становится очевидной: они представляют собой неопределенные коэффициенты в линейной комбинации неприводимых систем квадратичных (7) и кубических (8) инвариантов.

4. Определяющие уравнения гемитропной микрополярной упругости, включающие квадратичные поправки

Определяющие уравнения для силовых и моментных напряжений, соответствующие энергетической форме (9), получены в виде
\[\begin{equation}
   {t}{}^{s\cdot}_{\cdot k}=\dfrac{\partial{\mathscr U}}{\partial\,({\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k})}, \qquad
{\mu}{}^{s\cdot}_{\cdot k}=\dfrac{\partial{\mathscr U}}{\partial\,({\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot k})}.
\tag{10}
\end{equation}\]

Для симметричных и антисимметричных частей силовых и моментных напряжений справедливы следующие соотношения:
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
    & \dfrac{1}{2}\big[{t}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{t}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]\,\,\,=\dfrac{1}{2}\Big[\dfrac{\partial{\mathscr U}}{\partial\,({\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k})}+\dfrac{\partial{\mathscr U}}{\partial\,({\epsilon}{}_{\cdot s}^{k \cdot })}\Big], 
    \\ & 
    \dfrac{1}{2}\big[{\mu}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{\mu}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]=\dfrac{1}{2}\Big[\dfrac{\partial{\mathscr U}}{\partial\,({\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot k})}+\dfrac{\partial{\mathscr U}}{\partial\,({\kappa}{}_{\cdot s}^{k \cdot })}\Big],
    \\ & 
    \dfrac{1}{2}\big[{t}{}_{s\cdot}^{\cdot k}-{t}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]\,\,\,=\dfrac{1}{2}\Big[\dfrac{\partial{\mathscr U}}{\partial\,({\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k})}-\dfrac{\partial{\mathscr U}}{\partial\,({\epsilon}{}_{\cdot s}^{k \cdot })}\Big],
    \\&
    \dfrac{1}{2}\big[{\mu}{}_{s\cdot}^{\cdot k}-{\mu}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]=\dfrac{1}{2}\Big[\dfrac{\partial{\mathscr U}}{\partial\,({\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot k})}-\dfrac{\partial{\mathscr U}}{\partial\,({\kappa}{}_{\cdot s}^{k \cdot })}\Big].
\end{aligned}
\end{equation}\]

Подставив выражение для потенциала (9) в уравнения (10), получим
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
   &  {t}{}^{s\cdot}_{\cdot k}=
   \sum_{{\mathfrak c}=1}^{9}{}^{2}\underset{\mathfrak c}{C} \dfrac{\partial\,{{}^{2}\underset{\mathfrak c}{\rm I}}}{\partial\,( {\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k})}
   +
   \sum_{{\mathfrak a}=1}^{28}{}^{3}\underset{\mathfrak a}{\vphantom{\mathfrak J}C}\,
   \dfrac{\partial\,{{}^{3}\underset{\mathfrak a}{\mathfrak J}}}{\partial\,( {\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k})}
  , 
   \\
   &
    {\mu}{}^{s\cdot}_{\cdot k}=
   \sum_{{\mathfrak c}=1}^{9}{}^{2}\underset{\mathfrak c}{C} \dfrac{\partial\,{{}^{2}\underset{\mathfrak c}{\rm I}}}{\partial\,( {\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot k})}
   +
   \sum_{{\mathfrak a}=1}^{28}{}^{3}\underset{\mathfrak a}{\vphantom{\mathfrak J}C}\,
   \dfrac{\partial\,{{}^{3}\underset{\mathfrak a}{\mathfrak J}}}{\partial\,( {\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot k})}.
\end{aligned}
\tag{11}
\end{equation}\]

Вычислим частные производные, входящие в уравнения (11). Начнем с вычисления производных от квадратичных инвариантов. Для квадратичных членов получаем следующие выражения:
\[
    \begin{aligned}
        &
        \dfrac{\partial\,{{}^{2}\underset{1}{\rm I}}}{\partial\,( {\epsilon}{}_{p\cdot}^{\cdot q})}=\dfrac{\partial\,3\times3}{\partial\,( {\epsilon}{}_{p\cdot}^{\cdot q})}=\dfrac{1}{2}\big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot s}+{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot k}\big]\,\big[\delta{}_{l}^{p}\delta{}_{q}^{l}+g_{mq}g^{pm}\big]= \big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot s}+{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot k}\big]\,\delta{}_{q}^{p},
        \\
        &
        \dfrac{\partial\,{{}^{2}\underset{2}{\rm I}}}{\partial\,( {\kappa}{}_{p\cdot}^{\cdot q})}=\dfrac{\partial\,4\times4}{\partial\,( {\kappa}{}_{p\cdot}^{\cdot q})}=\dfrac{1}{2} \big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot s}+{\kappa}{}^{k\cdot}_{\cdot k}\big]\,\big[\delta{}_{l}^{p}\delta{}_{q}^{l}+g_{mq}g^{pm}\big]=\big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot s}+{\kappa}{}^{k\cdot}_{\cdot k}\big]\,\delta{}_{q}^{p},
\\
        &
        \dfrac{\partial\,{{}^{2}\underset{3}{\rm I}}}{\partial\,( {\epsilon}{}_{p\cdot}^{\cdot q})}=
        \dfrac{\partial\,{5}}{\partial\,( {\epsilon}{}_{p\cdot}^{\cdot q})}=
        \dfrac{1}{4}\big[\delta{}_{s}^{p}\delta{}_{q}^{k}+g_{sq}g^{pk}\big]\big[{\epsilon}{}_{k\cdot}^{\cdot s}+{\epsilon}{}^{s\cdot}_{\cdot k}\big]+
        \\&\qquad\qquad
        +\dfrac{1}{4}\big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]\big[\delta{}_{k}^{p}\delta{}_{q}^{s}+g_{kq}g^{ps}\big]={\epsilon}{}_{q\cdot}^{\cdot p}+{\epsilon}{}^{p\cdot}_{\cdot q},
\\
        &
        \dfrac{\partial\,{{}^{2}\underset{4}{\rm I}}}{\partial\,( {\kappa}{}_{p\cdot}^{\cdot q})}=\dfrac{\partial\,{6}}{\partial\,( {\kappa}{}_{p\cdot}^{\cdot q})}=
        \dfrac{1}{4}\big[\delta{}_{s}^{p}\delta{}_{q}^{k}+g_{sq}g^{pk}\big]\big[{ \kappa}{}_{k\cdot}^{\cdot s}+{ \kappa}{}^{s\cdot}_{\cdot k}\big]+
        \\&\qquad\qquad
        +\dfrac{1}{4}\big[{ \kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{ \kappa}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]\big[\delta{}_{k}^{p}\delta{}_{q}^{s}+g_{kq}g^{ps}\big]={ \kappa}{}_{q\cdot}^{\cdot p}+{ \kappa}{}^{p\cdot}_{\cdot q},
        \\
        &
        \dfrac{\partial\,{{}^{2}\underset{5}{\rm I}}}{\partial\,( {\epsilon}{}_{p\cdot}^{\cdot q})}=\dfrac{\partial\,{1}}{\partial\,( {\epsilon}{}_{p\cdot}^{\cdot q})}=
        \dfrac{1}{4}\big[\delta{}_{s}^{p}\delta{}_{q}^{k}-g_{sq}g^{pk}\big]\big[{\epsilon}{}_{k\cdot}^{\cdot s}-{\epsilon}{}^{s\cdot}_{\cdot k}\big]+
        \\&\qquad\qquad
        +\dfrac{1}{4}\big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k}-{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]\big[\delta{}_{k}^{p}\delta{}_{q}^{s}-g_{kq}g^{ps}\big]={\epsilon}{}_{q\cdot}^{\cdot p}-{\epsilon}{}^{p\cdot}_{\cdot q},
    \\
        &
        \dfrac{\partial\,{{}^{2}\underset{6}{\rm I}}}{\partial\,( {\kappa}{}_{p\cdot}^{\cdot q})}=\dfrac{\partial\,{2}}{\partial\,( {\kappa}{}_{p\cdot}^{\cdot q})}=
        \dfrac{1}{4}\big[\delta{}_{s}^{p}\delta{}_{q}^{k}-g_{sq}g^{pk}\big]\big[{ \kappa}{}_{k\cdot}^{\cdot s}-{ \kappa}{}^{s\cdot}_{\cdot k}\big]+
        \\&\qquad\qquad
        +\dfrac{1}{4}\big[{ \kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot k}-{ \kappa}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]\big[\delta{}_{k}^{p}\delta{}_{q}^{s}-g_{kq}g^{ps}\big]={ \kappa}{}_{q\cdot}^{\cdot p}-{ \kappa}{}^{p\cdot}_{\cdot q},
        \\
        &
        \dfrac{\partial\,{{}^{2}\underset{7}{\rm I}}}{\partial\,( {\epsilon}{}_{p\cdot}^{\cdot q})}=\dfrac{\partial\,{3\times4}}{\partial\,( {\epsilon}{}_{p\cdot}^{\cdot q})}=\dfrac{1}{4}\big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot s}+{\kappa}{}^{k\cdot}_{\cdot k}\big]\,\big[\delta{}_{l}^{p}\delta{}_{q}^{l}+g_{mq}g^{pm}\big]=\dfrac{1}{2} \big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot s}+{\kappa}{}^{k\cdot}_{\cdot k}\big]\delta{}_{q}^{p},
\\
        &
        \dfrac{\partial\,{{}^{2}\underset{7}{\rm I}}}{\partial\,( {\kappa}{}_{p\cdot}^{\cdot q})}=\dfrac{\partial\,{3\times4}}{\partial\,( {\kappa}{}_{p\cdot}^{\cdot q})}= \dfrac{1}{4}\big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot s}+{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot k}\big]\,\big[\delta{}_{l}^{p}\delta{}_{q}^{l}+g_{mq}g^{pm}\big]= \dfrac{1}{2}\big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot s}+{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot k}\big]\delta{}_{q}^{p},
        \\
        &
        \dfrac{\partial\,{{}^{2}\underset{8}{\rm I}}}{\partial\,( {\epsilon}{}_{p\cdot}^{\cdot q})}=\dfrac{\partial\,{9}}{\partial\,( {\epsilon}{}_{p\cdot}^{\cdot q})}=
        \dfrac{1}{4}\big[\delta{}_{s}^{p}\delta{}_{q}^{k}+g_{sq}g^{pk}\big]\big[{ \kappa}{}_{k\cdot}^{\cdot s}+{ \kappa}{}^{s\cdot}_{\cdot k}\big]= \dfrac{1}{2}\big[{ \kappa}{}_{q\cdot}^{\cdot p}+{ \kappa}{}^{p\cdot}_{\cdot q}\big],
        \\
        &
        \dfrac{\partial\,{{}^{2}\underset{8}{\rm I}}}{\partial\,( {\kappa}{}_{p\cdot}^{\cdot q})}=\dfrac{\partial\,{9}}{\partial\,( {\kappa}{}_{p\cdot}^{\cdot q})}= 
        \dfrac{1}{4}\big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]\big[\delta{}_{k}^{p}\delta{}_{q}^{s}+g_{kq}g^{ps}\big]=
        \dfrac{1}{2}\big[{\epsilon}{}_{q\cdot}^{\cdot p}+{\epsilon}{}^{p\cdot}_{\cdot q}\big],
        \\
        &
        \dfrac{\partial\,{{}^{2}\underset{9}{\rm I}}}{\partial\,( {\epsilon}{}_{p\cdot}^{\cdot q})}=\dfrac{\partial\,{16}}{\partial\,( {\epsilon}{}_{p\cdot}^{\cdot q})}=
        \dfrac{1}{4}\big[\delta{}_{s}^{p}\delta{}_{q}^{k}-g_{sq}g^{pk}\big]\big[{ \kappa}{}_{k\cdot}^{\cdot s}-{ \kappa}{}^{s\cdot}_{\cdot k}\big]= \dfrac{1}{2}\big[{ \kappa}{}_{q\cdot}^{\cdot p}-{ \kappa}{}^{p\cdot}_{\cdot q}\big],
        \\
        &
        \dfrac{\partial\,{{}^{2}\underset{9}{\rm I}}}{\partial\,( {\kappa}{}_{p\cdot}^{\cdot q})}=\dfrac{\partial\,{16}}{\partial\,( {\kappa}{}_{p\cdot}^{\cdot q})}=
        \dfrac{1}{4}\big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k}-{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]\big[\delta{}_{k}^{p}\delta{}_{q}^{s}-g_{kq}g^{ps}\big]=
        \dfrac{1}{2}\big[{\epsilon}{}_{q\cdot}^{\cdot p}-{\epsilon}{}^{p\cdot}_{\cdot q}\big],
    \end{aligned}
\]
Отметим свойства символа Кронекера
\[
    \delta{}_{\cdot p}^{q\cdot }=\delta{}_{q\cdot }^{\cdot p}=\delta{}_{q}^{p},
\]
которые использованы при вычислении производных. 

Ввиду чрезмерной громоздкости получаемых выражений опустим явный вид производных от кубических инвариантов.

Вычислив все необходимые производные в соответствии с (11), получим окончательные выражения для тензоров силовых и моментных напряжений: 
\[\begin{multline*}
    {t}{}^{p\cdot}_{\cdot q}=
   {}^{2}\underset{1}{C}\big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot s}+{\epsilon}{}_{\cdot k}^{k \cdot}\big]\,\delta{}_{q}^{p}
   +{}^{2}\underset{3}{C}\big[{\epsilon}{}_{q\cdot}^{\cdot p}+{\epsilon}{}^{p\cdot}_{\cdot q}\big]
   +{}^{2}\underset{5}{C}\big[{\epsilon}{}_{q\cdot}^{\cdot p}-{\epsilon}{}^{p\cdot}_{\cdot q}\big]
   +\dfrac{1}{2}{}^{2}\underset{7}{C}\big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot s}+{\kappa}{}_{\cdot k}^{k \cdot}\big]\delta{}_{q}^{p}+
   \\
   +\dfrac{1}{2}\,{}^{2}\underset{8}{C}\big[{ \kappa}{}_{q\cdot}^{\cdot p}+{ \kappa}{}^{p\cdot}_{\cdot q}\big]
   +\dfrac{1}{2}\,{}^{2}\underset{9}{C}\big[{ \kappa}{}_{q\cdot}^{\cdot p}-{ \kappa}{}^{p\cdot}_{\cdot q}\big]+\dfrac{3}{4}\,{}^{3}\underset{1}{C}\,\big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot s}+{\epsilon}{}_{\cdot k}^{k \cdot}\big]^2\,\delta{}_{q}^{p}+
    \\   
   +\dfrac{3}{8}\,{}^{3}\underset{3}{C}\,\Big[
        \big[{\epsilon}{}_{sq}+{\epsilon}{}_{qs}\big]
        \big[{\epsilon}{}^{ps}+{\epsilon}{}^{sp}\big]+
        \big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot p}+{\epsilon}{}^{p\cdot}_{\cdot s}\big]       
        \big[{\epsilon}{}_{q\cdot}^{\cdot s}+{\epsilon}{}^{s\cdot}_{\cdot q}\big]
        \Big]+
        \\
        +
   \dfrac{1}{4}\,{}^{3}\underset{5}{C}\,\Big[
        \big[{\epsilon}{}_{q\cdot}^{\cdot p}+{\epsilon}{}^{p\cdot}_{\cdot q}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{l\cdot}^{\cdot l}+{\epsilon}{}_{\cdot m}^{m \cdot}\big]+
        \big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{k\cdot}^{\cdot s}+{\epsilon}{}^{s\cdot}_{\cdot k}\big]
        \delta{}_{q}^{p}\Big]
   +\\   
   +\dfrac{1}{4}\,{}^{3}\underset{6}{C}\,
        \big[{\epsilon}{}_{q\cdot}^{\cdot p}+{\epsilon}{}^{p\cdot}_{\cdot q}\big]
        \big[{\kappa}{}_{l\cdot}^{\cdot l}+{\kappa}{}_{\cdot m}^{m \cdot}\big]
   +\dfrac{1}{4}\,{}^{3}\underset{7}{C}\,
        \big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{\kappa}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\kappa}{}_{k\cdot}^{\cdot s}+{\kappa}{}^{s\cdot}_{\cdot k}\big]
        \delta{}_{q}^{p}
   +\\
   +\dfrac{1}{2}\,{}^{3}\underset{9}{C}\,\big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot s}+{\epsilon}{}_{\cdot k}^{k \cdot}\big]\big[{\kappa}{}_{l\cdot}^{\cdot l}+{\kappa}{}_{\cdot m}^{m \cdot}\big]\delta_{p}^{q}
   +\dfrac{1}{4}{}^{3}\underset{10}{C}\,\big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot s}+{\kappa}{}_{\cdot k}^{k \cdot}\big]^2\delta_{p}^{q}
   +\\
   +\dfrac{1}{4}{}^{3}\underset{11}{C}\,\Big[
        \big[{\kappa}{}_{q\cdot}^{\cdot p}+{\kappa}{}^{p\cdot}_{\cdot q}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{l\cdot}^{\cdot l}+{\epsilon}{}_{\cdot m}^{m \cdot}\big]
   + 
        \big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\kappa}{}_{k\cdot}^{\cdot s}+{\kappa}{}^{s\cdot}_{\cdot k}\big]
        \delta{}_{q}^{p}\Big]
   +\\
   +\dfrac{1}{4}\,{}^{3}\underset{12}{C}\,
        \big[{\kappa}{}_{q\cdot}^{\cdot p}+{\kappa}{}^{p\cdot}_{\cdot q}\big]
        \big[{\kappa}{}_{l\cdot}^{\cdot l}+{\kappa}{}_{\cdot m}^{m \cdot}\big]
   +\\
   +\dfrac{1}{8}\,{}^{3}\underset{13}{C}\,\Big[
        \big[{\epsilon}{}_{q\cdot}^{\cdot l}+{\epsilon}{}^{l\cdot}_{\cdot q}\big]
        \big[{\kappa}{}_{l\cdot}^{\cdot p}+{\kappa}{}^{p\cdot}_{\cdot l}\big]+
        \big[{\epsilon}{}^{pl}+{\epsilon}{}^{lp}\big]
        \big[{\kappa}{}_{lq}+{\kappa}{}_{ql}\big]+
        \\
        +
        \big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot p}+{\epsilon}{}^{p\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\kappa}{}_{q\cdot}^{\cdot s}+{\kappa}{}^{s\cdot}_{\cdot q}\big]+
        \big[{\epsilon}{}_{sq}+{\epsilon}{}_{qs}\big]
        \big[{\kappa}{}^{ps}+{\kappa}{}^{sp}\big]\Big]
   +\\
   +\dfrac{1}{8}\,{}^{3}\underset{14}{C}\,\Big[
        \big[{\kappa}{}_{q\cdot}^{\cdot k}+{\kappa}{}^{k\cdot}_{\cdot q}\big]
        \big[{\kappa}{}_{k\cdot}^{\cdot p}+{\kappa}{}^{p\cdot}_{\cdot k}\big]
        +
        \big[{\kappa}{}^{pk}+{\kappa}{}^{kp}\big]
        \big[{\kappa}{}_{kq}+{\kappa}{}_{qk}\big]
        \Big]
   +\\
   +\dfrac{1}{8}\,{}^{3}\underset{15}{C}\,\Big[
        \big[{\kappa}{}_{q\cdot}^{\cdot l}+{\kappa}{}^{l\cdot}_{\cdot q}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{l\cdot}^{\cdot p}-{\epsilon}{}^{p\cdot}_{\cdot l}\big]+
        \big[{\kappa}{}^{pl}+{\kappa}{}^{lp}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{lq}-{\epsilon}{}_{ql}\big]+
        \\
        +
        \big[{\epsilon}{}_{q\cdot}^{\cdot k}+{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot q}\big]
        \big[{\kappa}{}_{k\cdot}^{\cdot p}+{\kappa}{}^{p\cdot}_{\cdot k}\big]-
        \big[{\epsilon}{}^{pk}+{\epsilon}{}^{kp}\big]
        \big[{\kappa}{}_{kq}+{\kappa}{}_{qk}\big]\Big]
   +\\
   +\dfrac{1}{8}\,{}^{3}\underset{16}{C}\,\Big[
        \big[{\kappa}{}_{q\cdot}^{\cdot l}+{\kappa}{}^{l\cdot}_{\cdot q}\big]
        \big[{\kappa}{}_{l\cdot}^{\cdot p}-{\kappa}{}^{p\cdot}_{\cdot l}\big]+
        \big[{\kappa}{}^{pl}+{\kappa}{}^{lp}\big]
        \big[{\kappa}{}_{lq}-{\kappa}{}_{ql}\big]
        \Big]
   +\\
   +\dfrac{1}{4}{}^{3}\underset{17}{C}\,\Big[2\big[{\epsilon}{}_{q\cdot}^{\cdot p}-{\epsilon}{}^{p\cdot}_{\cdot q}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{l\cdot}^{\cdot l}+{\epsilon}{}_{\cdot m}^{m \cdot}\big]+
        \big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k}-{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{k\cdot}^{\cdot s}-{\epsilon}{}^{s\cdot}_{\cdot k}\big]
        \delta{}_{q}^{p}\Big]
   +\\
   +\dfrac{1}{4}\,{}^{3}\underset{18}{C}\,
        \big[{\epsilon}{}_{q\cdot}^{\cdot p}-{\epsilon}{}^{p\cdot}_{\cdot q}\big]
        \big[{\kappa}{}_{l\cdot}^{\cdot l}+{\kappa}{}_{\cdot m}^{m \cdot}\big]
   +\dfrac{1}{4}\,{}^{3}\underset{19}{C}\,
        \big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot k}-{\kappa}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\kappa}{}_{k\cdot}^{\cdot s}-{\kappa}{}^{s\cdot}_{\cdot k}\big]
        \delta{}_{q}^{p}
   +\\
   +\dfrac{1}{8}\,{}^{3}\underset{21}{C}\,\Big[
        \big[{\epsilon}{}_{q\cdot}^{\cdot l}-{\epsilon}{}^{l\cdot}_{\cdot q}\big]       
        \big[{\epsilon}{}_{l\cdot}^{\cdot p}-{\epsilon}{}^{p\cdot}_{\cdot l}\big]+
        \big[{\epsilon}{}_{lq}-{\epsilon}{}_{ql}\big]
        \big[{\epsilon}{}^{pl}-{\epsilon}{}^{lp}\big]+
        \\
        +
        \big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot p}+{\epsilon}{}^{p\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{q\cdot}^{\cdot s}-{\epsilon}{}^{s\cdot}_{\cdot q}\big]-
        \big[{\epsilon}{}_{sq}+{\epsilon}{}_{qs}\big]
        \big[{\epsilon}{}^{ps}-{\epsilon}{}^{sp}\big]+
        \\
        +
        \big[{\epsilon}{}_{q\cdot}^{\cdot k}+{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot q}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{k\cdot}^{\cdot p}-{\epsilon}{}^{p\cdot}_{\cdot k}\big]
        -
        \big[{\epsilon}{}^{pk}+{\epsilon}{}^{kp}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{kq}-{\epsilon}{}_{qk}\big]
        \Big]
   + 
\\  
   +\dfrac{1}{8}\,{}^{3}\underset{22}{C}\,\Big[
        \big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot p}+{\kappa}{}^{p\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{q\cdot}^{\cdot s}-{\epsilon}{}^{s\cdot}_{\cdot q}\big]-
        \big[{\kappa}{}_{sq}+{\kappa}{}_{qs}\big]
        \big[{\epsilon}{}^{ps}-{\epsilon}{}^{sp}\big]+
        \\
        +
        \big[{\kappa}{}_{q\cdot}^{\cdot k}+{\kappa}{}^{k\cdot}_{\cdot q}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{k\cdot}^{\cdot p}-{\epsilon}{}^{p\cdot}_{\cdot k}\big]
        -
        \big[{\kappa}{}^{pk}+{\kappa}{}^{kp}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{kq}-{\epsilon}{}_{qk}\big]
        \Big]
   +\\  
   +\dfrac{1}{8}\,{}^{3}\underset{23}{C}\,\Big[
        \big[{\kappa}{}_{q\cdot}^{\cdot l}-{\kappa}{}^{l\cdot}_{\cdot q}\big]       
        \big[{\kappa}{}_{l\cdot}^{\cdot p}-{\kappa}{}^{p\cdot}_{\cdot l}\big]+
        \big[{\kappa}{}_{lq}-{\kappa}{}_{ql}\big]
        \big[{\kappa}{}^{pl}-{\kappa}{}^{lp}\big]
        \Big]
   +\\
   +\dfrac{1}{8}\,{}^{3}\underset{25}{C}\,\Big[
        \big[{\epsilon}{}_{q\cdot}^{\cdot l}-{\epsilon}{}^{l\cdot}_{\cdot q}\big]       
        \big[{\kappa}{}_{l\cdot}^{\cdot p}-{\kappa}{}^{p\cdot}_{\cdot l}\big]+
        \big[{\epsilon}{}_{lq}-{\epsilon}{}_{ql}\big]
        \big[{\kappa}{}^{pl}-{\kappa}{}^{lp}\big]+
        \\
        +
        \big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot p}+{\epsilon}{}^{p\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\kappa}{}_{q\cdot}^{\cdot s}-{\kappa}{}^{s\cdot}_{\cdot q}\big]-
        \big[{\epsilon}{}_{sq}+{\epsilon}{}_{qs}\big]
        \big[{\kappa}{}^{ps}-{\kappa}{}^{sp}\big]
        \Big]
   +\\
   +\dfrac{1}{8}\,{}^{3}\underset{26}{C}\,\Big[
        \big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot p}+{\kappa}{}^{p\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\kappa}{}_{q\cdot}^{\cdot s}-{\kappa}{}^{s\cdot}_{\cdot q}\big]-
        \big[{\kappa}{}_{sq}+{\kappa}{}_{qs}\big]
        \big[{\kappa}{}^{ps}-{\kappa}{}^{sp}\big]
        \Big]
   +\\
   +\dfrac{1}{4}\,{}^{3}\underset{27}{C}\,\Big[
        \big[{\kappa}{}_{q\cdot}^{\cdot p}-{\kappa}{}^{p\cdot}_{\cdot q}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{l\cdot}^{\cdot l}+{\epsilon}{}_{\cdot m}^{m \cdot}\big]+
        \big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k}-{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\kappa}{}_{k\cdot}^{\cdot s}-{\kappa}{}^{s\cdot}_{\cdot k}\big]
        \delta{}_{q}^{p}\Big]
   +\\
   +\dfrac{1}{4}\,{}^{3}\underset{28}{C}\,
        \big[{\kappa}{}_{q\cdot}^{\cdot p}-{\kappa}{}^{p\cdot}_{\cdot q}\big]
        \big[{\kappa}{}_{l\cdot}^{\cdot l}+{\kappa}{}_{\cdot m}^{m \cdot}\big]
   ,
\end{multline*}\]

\[\begin{multline*}
{\mu}{}^{p\cdot}_{\cdot q}=
   {}^{2}\underset{2}{C}\,\big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot s}+{\kappa}{}_{\cdot k}^{k \cdot}\big]\,\delta{}_{q}^{p}
   +{}^{2}\underset{4}{C}\big[{ \kappa}{}_{q\cdot}^{\cdot p}+{ \kappa}{}^{p\cdot}_{\cdot q}\big]
   +{}^{2}\underset{6}{C}\big[{ \kappa}{}_{q\cdot}^{\cdot p}-{ \kappa}{}^{p\cdot}_{\cdot q}\big]+\dfrac{1}{2}{}^{2}\underset{7}{C}\big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot s}+{\epsilon}{}_{\cdot k}^{k \cdot}\big]\delta{}_{q}^{p}
   +\\
   +\dfrac{1}{2}{}^{2}\underset{8}{C}\big[{\epsilon}{}_{q\cdot}^{\cdot p}+{\epsilon}{}^{p\cdot}_{\cdot q}\big]
   +\dfrac{1}{2}{}^{2}\underset{9}{C}\big[{\epsilon}{}_{q\cdot}^{\cdot p}-{\epsilon}{}^{p\cdot}_{\cdot q}\big]
   +\dfrac{3}{4}\,{}^{3}\underset{2}{C}\big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot s}+{\kappa}{}_{\cdot k}^{k \cdot}\big]^2\,\delta{}_{q}^{p}
   +\\
   +\dfrac{3}{8}{}^{3}\underset{4}{C}\big[
        \big[{\kappa}{}_{sq}+{\kappa}{}_{qs}\big]
        \big[{\kappa}{}^{ps}+{\kappa}{}^{sp}\big]+
        \big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot p}+{\kappa}{}^{p\cdot}_{\cdot s}\big]       
        \big[{\kappa}{}_{q\cdot}^{\cdot s}+{\kappa}{}^{s\cdot}_{\cdot q}\big]
        \big]
   +\\
   +\dfrac{1}{4}{}^{3}\underset{6}{C}
        \big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{k\cdot}^{\cdot s}+{\epsilon}{}^{s\cdot}_{\cdot k}\big]
        \delta{}_{q}^{p}
   +\dfrac{1}{4}{}^{3}\underset{7}{C}
        \big[{\kappa}{}_{q\cdot}^{\cdot p}+{\kappa}{}^{p\cdot}_{\cdot q}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{l\cdot}^{\cdot l}+{\epsilon}{}_{\cdot m}^{m \cdot}\big]
   +\\
   +\dfrac{1}{4}{}^{3}\underset{8}{C}\Big[
        \big[{\kappa}{}_{q\cdot}^{\cdot p}+{\kappa}{}^{p\cdot}_{\cdot q}\big]
        \big[{\kappa}{}_{l\cdot}^{\cdot l}+{\kappa}{}_{\cdot m}^{m \cdot}\big]+
        \big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{\kappa}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\kappa}{}_{k\cdot}^{\cdot s}+{\kappa}{}^{s\cdot}_{\cdot k}\big]
        \delta{}_{q}^{p}\Big]
   +\\
   +\dfrac{1}{4}{}^{3}\underset{9}{C}\big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot s}+{\epsilon}{}_{\cdot k}^{k \cdot}\big]^2\delta_{p}^{q}
   +\dfrac{1}{2}\,{}^{3}\underset{10}{C}\big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot s}+{\epsilon}{}_{\cdot l}^{l \cdot}\big]\big[{\kappa}{}_{k\cdot}^{\cdot k}+{\kappa}{}_{\cdot m}^{m \cdot}\big]\delta_{p}^{q}
   +\\
   +\dfrac{1}{4}{}^{3}\underset{11}{C}
        \big[{\epsilon}{}_{q\cdot}^{\cdot p}+{\epsilon}{}^{p\cdot}_{\cdot q}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{l\cdot}^{\cdot l}+{\epsilon}{}_{\cdot s}^{s \cdot}\big]
   +\\
   + \dfrac{1}{4}{}^{3}\underset{12}{C}\Big[
        \big[{\kappa}{}_{q\cdot}^{\cdot p}+{\kappa}{}^{p\cdot}_{\cdot q}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{l\cdot}^{\cdot l}+{\epsilon}{}_{\cdot m}^{m \cdot}\big]
        +
        \big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\kappa}{}_{k\cdot}^{\cdot s}+{\kappa}{}^{s\cdot}_{\cdot k}\big]
        \delta{}_{q}^{p}\Big]
   +\\  
   +\dfrac{1}{8}{}^{3}\underset{13}{C}\Big[
        \big[{\epsilon}{}_{q\cdot}^{\cdot k}+{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot q}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{k\cdot}^{\cdot p}+{\epsilon}{}^{p\cdot}_{\cdot k}\big]
        +
        \big[{\epsilon}{}^{pk}+{\epsilon}{}^{kp}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{kq}+{\epsilon}{}_{qk}\big]
        \Big]
   +\\
   +\dfrac{1}{8}{}^{3}\underset{14}{C}\Big[
        \big[{\kappa}{}_{q\cdot}^{\cdot l}+{\kappa}{}^{l\cdot}_{\cdot q}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{l\cdot}^{\cdot p}+{\epsilon}{}^{p\cdot}_{\cdot l}\big]+
        \big[{\kappa}{}^{pl}+{\kappa}{}^{lp}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{lq}+{\epsilon}{}_{ql}\big]+
        \\
        +
        \big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot p}+{\kappa}{}^{p\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{q\cdot}^{\cdot s}+{\epsilon}{}^{s\cdot}_{\cdot q}\big]+
        \big[{\kappa}{}_{sq}+{\kappa}{}_{qs}\big]
        \big[{\epsilon}{}^{ps}+{\epsilon}{}^{sp}\big]\Big]
   +\\
   +\dfrac{1}{8}{}^{3}\underset{15}{C}\Big[
        \big[{\epsilon}{}_{sq}+{\epsilon}{}_{qs}\big]
        \big[{\epsilon}{}^{ps}-{\epsilon}{}^{sp}\big]+
        \big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot p}+{\epsilon}{}^{p\cdot}_{\cdot s}\big]       
        \big[{\epsilon}{}_{q\cdot}^{\cdot s}-{\epsilon}{}^{s\cdot}_{\cdot q}\big]
        \Big]
   +\\
   +\dfrac{1}{8}{}^{3}\underset{16}{C}\Big[\big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot p}+{\epsilon}{}^{p\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\kappa}{}_{q\cdot}^{\cdot s}-{\kappa}{}^{s\cdot}_{\cdot q}\big]+
        \big[{\epsilon}{}_{sq}+{\epsilon}{}_{qs}\big]
        \big[{\kappa}{}^{ps}-{\kappa}{}^{sp}\big]+
        \\
        +
        \big[{\epsilon}{}_{q\cdot}^{\cdot k}+{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot q}\big]
        \big[{\kappa}{}_{k\cdot}^{\cdot p}+{\kappa}{}^{p\cdot}_{\cdot k}\big]-
        \big[{\epsilon}{}^{pk}+{\epsilon}{}^{kp}\big]
        \big[{\kappa}{}_{kq}+{\kappa}{}_{qk}\big]
        \Big]
   +\\  
   +\dfrac{1}{4}{}^{3}\underset{18}{C}
        \big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k}-{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{k\cdot}^{\cdot s}-{\epsilon}{}^{s\cdot}_{\cdot k}\big]
        \delta{}_{q}^{p}
   +\dfrac{1}{4}{}^{3}\underset{19}{C}
        \big[{\kappa}{}_{q\cdot}^{\cdot p}-{\kappa}{}^{p\cdot}_{\cdot q}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{l\cdot}^{\cdot l}+{\epsilon}{}_{\cdot m}^{m \cdot}\big]+
\\   
   +\dfrac{1}{4}{}^{3}\underset{20}{C}\Big[2\big[{\kappa}{}_{q\cdot}^{\cdot p}-{\kappa}{}^{p\cdot}_{\cdot q}\big]
        \big[{\kappa}{}_{l\cdot}^{\cdot l}+{\kappa}{}_{\cdot m}^{m \cdot}\big]+
        \big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot k}-{\kappa}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\kappa}{}_{k\cdot}^{\cdot s}-{\kappa}{}^{s\cdot}_{\cdot k}\big]
        \delta{}_{q}^{p}\Big]
   +\\   
   +\dfrac{1}{8}{}^{3}\underset{22}{C}\Big[
        \big[{\epsilon}{}_{q\cdot}^{\cdot l}-{\epsilon}{}^{l\cdot}_{\cdot q}\big]       
        \big[{\epsilon}{}_{l\cdot}^{\cdot p}-{\epsilon}{}^{p\cdot}_{\cdot l}\big]+
        \big[{\epsilon}{}_{lq}-{\epsilon}{}_{ql}\big]
        \big[{\epsilon}{}^{pl}-{\epsilon}{}^{lp}\big]
        \Big]
   +\\
   +\dfrac{1}{8}{}^{3}\underset{23}{C}\Big[
        \big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot p}+{\epsilon}{}^{p\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\kappa}{}_{q\cdot}^{\cdot s}-{\kappa}{}^{s\cdot}_{\cdot q}\big]-
        \big[{\epsilon}{}_{sq}+{\epsilon}{}_{qs}\big]
        \big[{\kappa}{}^{ps}-{\kappa}{}^{sp}\big]+
        \\
        +
        \big[{\epsilon}{}_{q\cdot}^{\cdot k}+{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot q}\big]
        \big[{\kappa}{}_{k\cdot}^{\cdot p}-{\kappa}{}^{p\cdot}_{\cdot k}\big]
        -
        \big[{\epsilon}{}^{pk}+{\epsilon}{}^{kp}\big]
        \big[{\kappa}{}_{kq}-{\kappa}{}_{qk}\big]
        \Big]
   +\\
   +\dfrac{1}{8}{}^{3}\underset{24}{C}\Big[
        \big[{\kappa}{}_{q\cdot}^{\cdot l}-{\kappa}{}^{l\cdot}_{\cdot q}\big]       
        \big[{\kappa}{}_{l\cdot}^{\cdot p}-{\kappa}{}^{p\cdot}_{\cdot l}\big]+
        \big[{\kappa}{}_{lq}-{\kappa}{}_{ql}\big]
        \big[{\kappa}{}^{pl}-{\kappa}{}^{lp}\big]+
        \\
        +
        \big[{\kappa}{}_{s\cdot}^{\cdot p}+{\kappa}{}^{p\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\kappa}{}_{q\cdot}^{\cdot s}-{\kappa}{}^{s\cdot}_{\cdot q}\big]-
        \big[{\kappa}{}_{sq}+{\kappa}{}_{qs}\big]
        \big[{\kappa}{}^{ps}-{\kappa}{}^{sp}\big]+
        \\
        +
        \big[{\kappa}{}_{q\cdot}^{\cdot k}+{\kappa}{}^{k\cdot}_{\cdot q}\big]
        \big[{\kappa}{}_{k\cdot}^{\cdot p}-{\kappa}{}^{p\cdot}_{\cdot k}\big]
        -
        \big[{\kappa}{}^{pk}+{\kappa}{}^{kp}\big]
        \big[{\kappa}{}_{kq}-{\kappa}{}_{qk}\big]
        \Big]
   +\\    
   +\dfrac{1}{8}{}^{3}\underset{25}{C}\Big[
        \big[{\epsilon}{}_{q\cdot}^{\cdot k}+{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot q}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{k\cdot}^{\cdot p}-{\epsilon}{}^{p\cdot}_{\cdot k}\big]
        -
        \big[{\epsilon}{}^{pk}+{\epsilon}{}^{kp}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{kq}-{\epsilon}{}_{qk}\big]
        \Big]
   +\\   
   +\dfrac{1}{8}{}^{3}\underset{26}{C}\Big[
        \big[{\epsilon}{}_{q\cdot}^{\cdot l}-{\epsilon}{}^{l\cdot}_{\cdot q}\big]       
        \big[{\kappa}{}_{l\cdot}^{\cdot p}-{\kappa}{}^{p\cdot}_{\cdot l}\big]+
        \big[{\epsilon}{}_{lq}-{\epsilon}{}_{ql}\big]
        \big[{\kappa}{}^{pl}-{\kappa}{}^{lp}\big]+
        \\
        +
        \big[{\kappa}{}_{q\cdot}^{\cdot k}+{\kappa}{}^{k\cdot}_{\cdot q}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{k\cdot}^{\cdot p}-{\epsilon}{}^{p\cdot}_{\cdot k}\big]
        -
        \big[{\kappa}{}^{pk}+{\kappa}{}^{kp}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{kq}-{\epsilon}{}_{qk}\big]
        \Big]
   +\\  
   +\dfrac{1}{4}{}^{3}\underset{27}{C}
        \big[{\kappa}{}_{q\cdot}^{\cdot p}-{\kappa}{}^{p\cdot}_{\cdot q}\big]
        \big[{\epsilon}{}_{l\cdot}^{\cdot l}+{\epsilon}{}_{\cdot m}^{m \cdot}\big]
        +\\
   +\dfrac{1}{4}{}^{3}\underset{28}{C}\Big[
        \big[{\epsilon}{}_{q\cdot}^{\cdot p}-{\epsilon}{}^{p\cdot}_{\cdot q}\big]
        \big[{\kappa}{}_{l\cdot}^{\cdot l}+{\kappa}{}_{\cdot m}^{m \cdot}\big]+
        \big[{\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k}-{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\big]
        \big[{\kappa}{}_{k\cdot}^{\cdot s}-{\kappa}{}^{s\cdot}_{\cdot k}\big]
        \delta{}_{q}^{p}\Big].
\end{multline*}\]

Для упрощения работы с определяющими постоянными введем новые параметры. Вместо девяти исходных постоянных \({}^{2}\underset{\mathfrak c}{C}\) ($\mathfrak{c}=1,\ldots,9$) из выражения для упругого потенциала (9) определим следующие модули:
\[\begin{equation}
\begin{array}{lll}
{}^{2}\underset{1}{C}=G\nu(1-2\nu)^{-1},&
{}^{2}\underset{2}{C}=GL^2c_3, & 
{}^{2}\underset{3}{C}=G, \\
{}^{2}\underset{4}{C}=GL^2, & 
{}^{2}\underset{5}{C}=G{c}{}_{1},&
{}^{2}\underset{6}{C}=GL^2{c}{}_{2},\\
{}^{2}\underset{7}{C}=G{L}{}c_4,&
{}^{2}\underset{8}{C}=G{L}{}c_5, & 
{}^{2}\underset{9}{C}=G{L}{}c_6.
\end{array}
\tag{12}
\end{equation}\]

Аналогично, вместо постоянных \({}^{3}\underset{\mathfrak a}{C}\) ($\mathfrak{a}=1,\ldots,28$) введем
\[\begin{equation}
\begin{array}{llll}
{}^{3}\underset{1}{C}=Gc_7,&
{}^{3}\underset{2}{C}=GL^3c_8, & 
{}^{3}\underset{3}{C}=Gc_9, & 
{}^{3}\underset{4}{C}=GL^3c_{10}, 
\\
{}^{3}\underset{5}{C}=Gc_{11}, & 
{}^{3}\underset{6}{C}=GLc_{12},&
{}^{3}\underset{7}{C}=GL^2c_{13},& 
{}^{3}\underset{8}{C}=GL^3c_{14}, 
\\
{}^{3}\underset{9}{C}=G{L}c_{15},&
{}^{3}\underset{10}{C}=G{L}^2c_{16}, & 
{}^{3}\underset{11}{C}=G{L}c_{17},& 
{}^{3}\underset{12}{C}=GL^2c_{18}, 
\\
{}^{3}\underset{13}{C}=G{L}c_{19},&
{}^{3}\underset{14}{C}=G{L}^2c_{20}, & 
{}^{3}\underset{15}{C}=G{L}c_{21},& 
{}^{3}\underset{16}{C}=GL^2c_{22}, 
\\
{}^{3}\underset{17}{C}=Gc_{23},&
{}^{3}\underset{18}{C}=G{L}c_{24}, & 
{}^{3}\underset{19}{C}=G{L}^2c_{25},& 
{}^{3}\underset{20}{C}=GL^3c_{26}, 
\\
{}^{3}\underset{21}{C}=Gc_{27},&
{}^{3}\underset{22}{C}=GLc_{28}, & 
{}^{3}\underset{23}{C}=G{L}^2c_{29},& 
{}^{3}\underset{24}{C}=GL^3c_{30}, 
\\
{}^{3}\underset{25}{C}=G{L}c_{31},&
{}^{3}\underset{26}{C}=G{L}^2c_{32}, & 
{}^{3}\underset{27}{C}=G{L}c_{33},& 
{}^{3}\underset{28}{C}=GL^2c_{34}.
\end{array}
\tag{13}
\end{equation}\]

В результате мы получаем систему из  двух размерных параметров и тридцати пяти безразмерных параметров: \(G\) — модуль сдвига (имеет размерность силовых напряжений); \(\nu\) — коэффициент Пуассона (не имеет физической размерности); \({L}\) — характеристическая микродлина; \({c}{}_{s}\) (\(s=1,\ldots,34\)) — не имеющие физической размерности постоянные.

Заключение

В работе исследуется построение квадратичных поправок к определяющим уравнениям для силовых и моментных напряжений в гемитропных микрополярных упругих телах.

1. Ранее были предложены H/E/A-представления  энергетических потенциалов. Среди них только A-форма  позволяет получить кубическую аппроксимацию энергетического потенциала для гемитропного микрополярного тела в виде полиномиальной линейной комбинации рациональных инвариантов. Важно отметить, что часть этих инвариантов, имеющих псевдотензорную природу, проявляет чувствительность к зеркальным преобразованиям в трехмерном пространстве.
2. Для системы, состоящей из двух симметричных и двух антисимметричных тензоров второго ранга, построен полный неприводимый набор индивидуальных и совместных целых рациональных алгебраических инвариантов. Важно отметить, что представленная форма  не содержит метрического тензора [11].    
3. Полученный набор инвариантов использован для построения кубической энергетической формы гемитропного микрополярного тела и формирования полного набора из 37 определяющих постоянных, характеризующих упругие свойства материала.
4. Получены определяющие уравнения для силовых и моментных напряжений, включающие квадратичные поправки, справедливые в произвольной криволинейной системе координат. С этой целью вычислены производные по асимметричным тензорным аргументам от квадратичных и кубических инвариантов.
5. Получены соотношения (12) и (13), устанавливающие соответствие между формальным представлением и физически интерпретируемыми параметрами материала — модулем сдвига, коэффициентом Пуассона, характеристической микродлиной и тридцатью четырьмя безразмерными параметрами, полностью характеризующими упругие свойства гемитропного материала в кубическом приближении.    

Конкурирующие интересы. У нас нет конфликта интересов в отношении авторства и публикации этой статьи.
Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами. 
Финансирование. Работа выполнена по теме государственного задания (государственный регистрационный номер 124012500437-9).

---

¹В противном случае в указанных энергетических представлениях теряются члены, содержащие внутреннее произведение тензоров деформаций и изгиба-кручения.

²Отметим, что выражения вида \({\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k}+{\epsilon}{}^{k\cdot}_{\cdot s}\) корректно интерпретируются как сумма двух тензоров, поскольку \({\epsilon}{}_{s\cdot}^{\cdot k}=\overset{\rm T}{\epsilon} {}_{\cdot s}^{k \cdot}\).

About the authors

Evgenii V. Murashkin

Ishlinsky Institite for Problems in Mechanics, Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: murashkin@ipmnet.ru
ORCID iD: 0000-0002-3267-4742
Scopus Author ID: 12760003400
ResearcherId: F-4192-2014
https://www.mathnet.ru/rus/person53045

Cand. Phys. & Math. Sci., PhD, MD, Senior Researcher, Lab. of Modeling in Solid Mechanics

Russian Federation, 119526, Moscow, pr. Vernadskogo, 101–1

Yuri N. Radayev

Ishlinsky Institite for Problems in Mechanics, Russian Academy of Sciences

Email: radayev@ipmnet.ru
ORCID iD: 0000-0002-0866-2151
Scopus Author ID: 6602740688
ResearcherId: J-8505-2019
https://www.mathnet.ru/rus/person39479

D.Sc. (Phys. & Math. Sci.), Ph.D., M.Sc., Professor, Leading Researcher, Lab. of Modeling in Solid Mechanics

Russian Federation, 119526, Moscow, pr. Vernadskogo, 101–1

References

Supplementary files