The influence of anisotropy and strength-differential effect on the design of equi-strength rotating disk of variable thickness

Full Text

Введение

Вращающиеся диски являются неотъемлемым структурным компонентом многих механизмов и машин, таких как маховичные накопители энергии, газотурбинные двигатели, коробки передач, гироскопы, компрессоры и т.д. Начиная с середины XX века оптимальному проектированию тонких дисков, находящихся под действием термомеханических нагрузок, уделяется большое внимание в научной литературе. Для определения оптимальной конструкции используются различные подходы, среди которых важную роль играет понятие равнопрочности — состояния тела, характеризующегося одинаковым запасом прочности во всех его точках [1]. Известно, что напряженное состояние в диске переменной толщины может существенно отличаться по сравнению с диском прямоугольного профиля. Вследствие этого профиль диска может рассматриваться как один из управляющих параметров при решении обратных и оптимизационных задач.

Классическое решение Ю. Н. Работнова [2, 3] описывает равнопрочный вращающийся диск, в котором напряжения всюду постоянны и равны нагрузке, приложенной к внешней поверхности диска; найденный профиль является функцией экспоненциального вида. Следует отметить, что решение [2, 3] легко обобщается на случай ползучести материала. В [4] профиль равнопрочного вращающегося диска определен из предположения, что напряженное состояние удовлетворяет условию пластичности Мизеса. Алгоритм построения равнопрочного по Мизесу диска при наличии центробежных сил и стационарного температурного градиента разработан в [5]. Решения для диска равной прочности, основанные на условии пластичности Треска, получены в [6, 7]. Методика расчета равнопрочных неоднородных дисков, находящихся под действием внутреннего и внешнего давления, представлена в [8] и позволяет установить профиль диска для произвольных зависимостей модуля Юнга и предела текучести от радиальной координаты. В качестве критерия прочности в [8] применялось условие Мизеса.

Для достижения желаемого напряженного состояния помимо изменения геометрии диска также применяется управление механическими параметрами материала, которое стало возможным благодаря значительному прогрессу в механике композитов. В [9] установлено, что при определенной конфигурации многослойного композитного маховика потеря прочности во всех его точках происходит примерно при одной и той же скорости вращения. Авторы [10] показали, что специальное распределение модуля Юнга и плотности материала с хорошей степенью точности приводит к нулевому радиальному и постоянному тангенциальному напряжениям во вращающемся диске. В [11] рассмотрен вращающийся анизотропный диск равной прочности из упруго-анизотропного материала и установлено, что равенство напряжений может быть достигнуто определенным распределением в диске параметра анизотропии (отношение модулей Юнга в разных направлениях), а в частном случае изотропного материала — найденными распределениями модуля Юнга и коэффициента Пуассона. Вращающийся диск из неоднородного несжимаемого материала изучался в [12], где установлены зависимости термомеханических параметров, приводящие к постоянному значению в диске произвольной линейной комбинации напряжений. В [13] найдены упругие характеристики ортотропного неоднородного материала, позволяющие достичь во вращающемся диске одного из трех состояний: постоянное тангенциальное или радиальное напряжение, постоянная разность напряжений. Кроме того, в [13] найдены параметры армирования, реализующие полученные зависимости механических параметров.

Равнопрочность является не единственным возможным критерием оптимальности конструкции. Большое значение также имеют эксплуатационные характеристики, к которым в случае вращающегося диска относятся, например, максимальная скорость вращения, вес, объем, длительная прочность, запасаемая кинетическая энергия и т.д. Различные целевые функции и их комбинации использовались для оптимального проектирования вращающихся дисков и маховичных накопителей энергии в работах [14–30]. Значительное за последние десятилетия увеличение вычислительной мощности компьютерных систем сделало возможным расчет оптимальной формы вращающихся дисков в двумерной и трехмерной постановках на основе метода конечных элементов [20–22, 24–27].

Настоящая работа посвящена расчету профиля равнопрочного диска, находящегося под действием центробежных сил и заданных усилий на внутреннем и внешнем контуре. Постановка задачи основана на теории малых упругих деформаций и гипотезе о плоском напряженном состоянии. Прочность материала диска характеризуется анизотропией и асимметрией при растяжении и сжатии. В качестве критерия прочности выбрано квадратичное условие общего вида, которое в частных случаях сводится ко многим известным критериям прочности (Мизеса, Друкера–Прагера, Хилла и т.д.).

1. Постановка задачи и определяющие соотношения

Рассмотрим тонкий осесимметричный диск переменной толщины. Внутренний и внешний радиусы диска обозначим $r_{in}$ и $r_{out}$ соответственно. Диск вращается вокруг оси симметрии с угловой скоростью $\omega$, а на его боковых поверхностях заданы усилия $P_{in}$ и $P_{out}$. Введем цилиндрическую систему координат $\rho$, $\theta$, $z$, ось $z$ которой совпадает с осью симметрии диска. Геометрия диска и схема нагружения изображены на рис. 1. Все нагрузки постоянны и не зависят от угловой и осевой координат. Предполагается, что теория малых деформаций и гипотеза о плоском напряженном состоянии справедливы с достаточной степенью точности. При сформулированных выше допущениях сдвиговые напряжения и деформации, а также осевое напряжение равны нулю. Все неизвестные величины зависят только от радиальной координаты.

Рис. 1. Геометрия вращающегося диска и схема нагружения
[Figure 1. The geometry of a rotating disk and the loading scheme]

Кинематические соотношения имеют вид
\[ \begin{equation}
\varepsilon_{rr}=\frac{du_r}{dr},\quad
\varepsilon_{\theta\theta}=\frac{u_r}{r},
\end{equation} \tag{1} \]
где $\varepsilon_{rr}$, $\varepsilon_{\theta\theta}$ — компоненты тензора деформаций, $u_r$ — радиальное перемещение. Следует отметить, что перемещение и деформация в осевом направлении, вообще говоря, не равны нулю.

Поле деформаций должно удовлетворять уравнению совместности
\[ \begin{equation}
\frac{d ( r \varepsilon_{\theta\theta} )}{dr}-\varepsilon_{rr}=0.
\end{equation} \tag{2} \]

Диск изготовлен из однородного и ортотропного упругого материала, а главные оси анизотропии совпадают с координатными поверхностями. Закон Гука для такого материала можно записать следующим образом:
\[ \begin{equation}
\varepsilon_{rr}=\frac{1}{E_r} ( \sigma_{rr} - \nu _{r\theta } \sigma _{\theta \theta } ),
\quad
\varepsilon_{\theta \theta }=\frac{1}{ E_\theta } ( \sigma_{\theta \theta } - \nu_{\theta r} \sigma _{rr} ),
\end{equation} \tag{3} \]
где $\sigma_{rr}$, $\sigma_{\theta\theta}$ — компоненты тензора напряжений, $E_i$ — модули Юнга, $\nu_{ij}$ — коэффициенты Пуассона. Упругие параметры материала $E_i$ и $\nu_{ij}$ удовлетворяют условиям симметрии Максвелла:
\[ \begin{equation}
\frac{\nu_{r\theta } }{ E_r } = \frac{ \nu _{\theta r}}{ E_\theta },
\quad
\frac{\nu_{\theta z} }{ E_\theta } = \frac{ \nu _{z\theta } }{ E_z },
\quad
\frac{\nu_{zr} }{ E_z } = \frac{ \nu_{rz} }{ E_ r }.
\end{equation} \tag{4} \]

Закон Гука (3) удобно переписать с помощью параметра ортотропии $\mathbb{O}$, определение которого приведено ниже:
\[ \begin{equation}
\mathbb{O}= \frac{E_\theta}{E_r}=\frac{\nu_{\theta r}}{\nu_{r\theta}}.
\end{equation} \tag{5} \]

Заметим, что из (4) и (5) следуют соотношения
\[ \begin{equation}
E_\theta = \mathbb{O}E_r, \quad
\nu_{\theta r} = \mathbb{O} \nu_{r\theta }.
\end{equation} \tag{6} \]

С учетом (6) закон Гука (3) преобразуется к следующей форме:
\[ \begin{equation}
\varepsilon_{rr} = \frac{1}{ E_\theta } ( \mathbb{O} \sigma _{rr} - \nu \sigma _{\theta \theta } ),
\quad
\varepsilon_{\theta \theta } =\frac{1}{ E_\theta } ( \sigma _{\theta \theta } - \nu \sigma_{rr} ).
\end{equation} \tag{7} \]
В (7) для краткости принято, что $\nu=\nu_{\theta r}$.

Единственным нетривиальным уравнением равновесия в диске является уравнение в радиальном направлении, которое имеет вид 
\[ \begin{equation}
\frac{d}{dr} \bigl( h ( r ) r \sigma _{rr}\bigr) - h ( r ) \sigma _{\theta \theta } +
h ( r ) \rho \omega ^2 r^2 =0,
\end{equation} \tag{8} \]
где $h(r)$ — толщина диска (см. рис. 1), $\rho$ — плотность.

Граничные условия задачи сформулированы ниже:
\[ \begin{equation}
\sigma_{rr} ( r_{in} ) = -P_{in},\quad
\sigma_{rr} ( r_{out}) = -P_{out}, \quad
h(r_{in}) =h_{in},
\end{equation} \tag{9} \]
где $P_{in}>0$, $P_{out}>0$, а $h_{in}$ — толщина диска на его внутреннем контуре.

Предполагается, что прочностные свойства материала диска проявляют эффекты анизотропии и асимметрии при растяжении и сжатии. Такое поведение наиболее характерно для композитных материалов, а также наблюдается, пусть и в меньшей степени, у ряда металлов и сплавов. Далее в качестве критерия прочности используется общее квадратичное условие
\[ \begin{equation}
A \sigma_{rr}^2 + B \sigma _{rr} \sigma_{\theta\theta} +
C \sigma_{\theta\theta}^2 + D \sigma_{rr} + E \sigma_{\theta\theta} \leqslant 1,
\end{equation} \tag{10} \]
где $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ — экспериментально определяемые параметры материала. В (10) слагаемые второго порядка характеризуют анизотропию, а линейные — разную прочность при растяжении и сжатии. В качестве единственного ограничения потребуем эллиптичности функции в левой части (10), т.е. параметры должны удовлетворять условию $B^2-4 A C<0$.

Условие (10) в частных случаях сводится ко многим известным критериям прочности. Введем обозначения $k_{r t}$, $k_{\theta t}$, $k_{z t}$ для пределов прочности при растяжении в радиальном, тангенциальном и осевом направлениях соответственно. Пределы прочности при сжатии обозначим как $k_{r c}$, $k_{\theta c}$, $k_{z c}$. Критерий (10) сводится к критерию прочности Цая–Ву [31] при следующих соотношениях на коэффициенты:
\[ \begin{equation}
\begin{gathered}
A = \frac{1}{k_{rc} k_{rt}}, \quad
B = -\frac{1}{2\sqrt{ k_{rc} k_{rt} k_{\theta c} k_{\theta t} } }, \quad
C = \frac{1}{ k_{\theta c} k_{\theta t}},
\\
D = \frac{1}{ k_{rt} } - \frac{1}{ k_{rc} }, \quad
E = \frac{1}{ k_{\theta t} } - \frac{1}{k_{\theta c}}.
\end{gathered}
\end{equation} \tag{11} \]

Критерий Цая–Ву [31] является частным случаем тензорного критерия Гольденблата–Копнова [32], широко используется в механике композитов и описывает анизотропию материала, а также его различную прочность при растяжении и сжатии. Заметим, что вычисление коэффициента $B$ в (11) остается предметом дискуссий [33, 34], и в настоящей статье используется наиболее распространенный подход $B=-\sqrt{A C}/2$.

Предположим, что материал имеет одинаковую прочность при растяжении и сжатии $k_{r}=k_{r t}=k_{r c}$, $k_{\theta}=k_{\theta t}=k_{\theta c}$, $k_{z}=k_{z t}=k_{z c}$, и введем коэффициенты в виде
\[ \begin{equation}
\begin{gathered}
A=G+H, \quad
B=-2H, \quad
C=F+H, \quad
D=E=0,
\\
2F=\Bigl( \frac{1}{k_\theta^2}+\frac{1}{k_z^2}-\frac{1}{k_r^2} \Bigr), \;
2G=\Bigl( \frac{1}{k_r^2}+\frac{1}{k_z^2}-\frac{1}{k_\theta^2} \Bigr), \;
2H=\Bigl( \frac{1}{k_r^2}+\frac{1}{k_\theta^2}-\frac{1}{k_z^2} \Bigr).
\end{gathered}
\end{equation} \tag{12} \]
Тогда критерий (10) сводится к условию Хилла [35], которое широко применяется для описания пластической анизотропии в металлах. Следует отметить, что при сильно выраженной ортотропии условие Хилла (10), (12) может терять свойство эллиптичности [36]. В этом случае для описании анизотропии может использоваться, например, условие Ху–Марина [37], которое следует из (10), если ввести коэффициенты следующим образом:
\[ \begin{equation*}
A=k_r^{-2},\quad B=- ( k_r k_\theta )^{-1},\quad
C=k_\theta ^{-2},\quad D=E=0.
\end{equation*} \]

Если материал изотропен, то $k=k_r=k_\theta=k_z$ и замена
\[ \begin{equation}
A=-B=C=k^{-2},\quad D=E=0
\end{equation} \tag{13} \]
переводит критерий (10) в условие Мизеса.

В условиях плоского напряженного состояния ($\sigma_{zz}=0$) и отсутствия сдвиговых напряжений ($\sigma_{ij}=0$, $i \neq j$) многие другие критерии прочности (условия Друкера–Прагера, Мизеса–Шлейхера, обобщения условия Хилла [38, 39] и т.д.) также можно привести к виду (10). Требование эллиптичности, разумеется, должно выполняться в любом случае.

Для удобства введем безразмерные параметры и переменные:
\[ \begin{equation}
\begin{gathered}
\beta =\frac{r}{ r_ {out} }, \;
\delta =\frac{ r_ {in} }{ r_ {out} }, \;
\bar{h}=\frac{h}{ h_ {in} }, \;
\Omega =\frac{\rho r_{out}^2}{ k_ {\theta t} }{\omega ^2},\;
\bar{P}_{in}=\frac{P_{in}}{ k_ {\theta t}}, \;
\bar{P}_{out}=\frac{P_{out}}{ k_ {\theta t} },
\\
\bar{u}=\frac{ E_ {\theta } }{ k_ {\theta t} } \frac{u}{ r_ {out} }, \quad
\bar{\varepsilon }_{ij} = \frac{ E_ {\theta } }{ k_ {\theta t} }{\varepsilon _{ij}}, \quad
\bar{\sigma }_{ij}=\frac{\sigma _{ij} }{ k_ {\theta t} },
\\
\bar{A}=k^2_{\theta t}A,\quad
\bar{B}=k^2_{\theta t}B,\quad
\bar{C}=k^2_{\theta t}C,\quad
\bar{D}=k_{\theta t}D,\quad
\bar{E}=k_{\theta t}E.
\end{gathered}
\end{equation} \tag{14} \]

Далее, если не сказано иное, везде в формулах используются величины (14), а знак верхнего подчеркивания для краткости опускается. Также введем функцию эквивалентного напряжения, соответствующую условию (10):
\[ \begin{equation}
\sigma_{eq}=\sqrt{ A \sigma_{rr}^2 + B \sigma_{rr} \sigma_{\theta\theta} +
C \sigma_{\theta\theta}^2 + D \sigma_{rr} + E \sigma_{\theta\theta}}.
\end{equation} \tag{15} \]

Неравенство $\sigma_{eq}<1$ соответствует упругому деформированию материала, а равенство $\sigma_{eq}=1$ — разрушению. В равнопрочном диске запас прочности в соответствии с критерием (10) один и тот же во всех точках тела, следовательно, значение эквивалентного напряжения (15) в диске всюду постоянно. Преобразуем уравнение совместности деформаций (2) с помощью закона Гука (7), полученное уравнение вместе с уравнением равновесия (8) и граничными условиями (9) составляют краевую задачу (в безразмерном виде) относительно неизвестных функций $\sigma_{rr}(\beta)$, $\sigma_{\theta\theta}(\beta)$ и $h(\beta)$:
\[ \begin{equation}
\begin{gathered}
\frac{d}{d\beta } \bigl( h ( \beta ) \beta \sigma _{rr} \bigr) -
h ( \beta ) \sigma_{\theta \theta } + h ( \beta ) \Omega \beta ^2=0,
\\
\frac{d}{d\beta } ( \sigma _{\theta \theta } - \nu \sigma_{rr} )+
\frac{ ( 1+\nu ) \sigma_{\theta \theta }- ( \mathbb{O}^{-1} +\nu) \sigma _{rr}}{\beta }=0,
\\
\sigma_{rr} ( \delta )=-P_{in},
\quad
\sigma_{rr} ( 1 )=-P_{out},
\quad
h( \delta )=1.
\end{gathered}
\end{equation} \tag{16} \]

Задача построения равнопрочного диска в соответствии с условием (10) формулируется следующим образом: найти решение краевой задачи (16) такое, что для заданного $\tilde{\sigma}_{eq}\in(0, 1]$ справедливо равенство
\[ \begin{equation}
\sigma_{eq} ( \beta )= \tilde{\sigma}_{eq} , \quad \forall \beta \in [ \delta , 1 ].
\end{equation} \tag{17} \]

2. Построение аналитического решения

Условие (17) с учетом (15) можно переписать следующим образом:
\[ \begin{equation*}
\sigma_{rr}^2+N \sigma _{rr} s_{\theta \theta } + s_{\theta \theta }^2 +
M \sigma _{rr} + L s_{\theta \theta }=K,
\end{equation*} \]
где $s_{\theta\theta} = Y \sigma_{\theta\theta}$, $Y = C/A$, $N = B/\sqrt{A C}$, $M = D/A$, $L = E/\sqrt{A C}$, $K= \tilde{\sigma}_{eq}^2/ A$.

Предыдущее условие можно удовлетворить с помощью тригонометрической замены вида
\[ \begin{equation}
\begin{split}
\sigma_{rr} & =-\frac{1}{\kappa }\bigl( \gamma +2\chi \sin ( \varphi ( \beta ) ) \bigr),
\\
\sigma_{\theta \theta } & =-\frac{1}{\kappa Y}
\bigl( \psi +\sqrt{\kappa }\chi \cos ( \varphi ( \beta ) )-N\chi \sin ( \varphi ( \beta ) ) \bigr).
\end{split}
\end{equation} \tag{18} \]
В (15) $\varphi ( \beta )$ — неизвестная функция, $\chi=\sqrt{M^2 + L^2- M L N +K\kappa}$, $\kappa=4- N^2$, $\gamma=2M-L N$, $\psi =2L-M N$. Заметим, что $\kappa >0$ в силу эллиптичности условия (10).

Граничные условия по напряжениям сводятся к системе уравнений:
\[ \begin{equation}
\sin \varphi _\delta = \frac{\kappa P_{in}-\gamma }{2\chi },
\quad
\sin \varphi _1 = \frac{\kappa P_{out}-\gamma }{2\chi },
\end{equation} \tag{19} \]
где $\varphi_\delta =\varphi ( \delta )$, $\varphi _1 =\varphi ( 1 )$.

Второе из уравнений (16) преобразуем с помощью (18):
\[ \begin{equation}
\begin{gathered}
( 1+\nu ) \bigl( W-\sqrt{\kappa }\cos ( \varphi ( \beta ) ) + V\sin ( \varphi ( \beta ) ) \bigr)/\beta + {}
\hspace{3.2cm}
\\
\hspace{2.5cm}
{}
+\bigl( ( N+2\nu Y )\cos ( \varphi ( \beta ) )+ \sqrt{\kappa }\sin ( \varphi ( \beta ) ) \bigr) \varphi' ( \beta )=0,
\\
W= ( \gamma YZ-\psi )/ \chi , \quad V=N+2YZ,\quad Z= ( 1+\nu )^{-1} ( \mathbb{O}-1 )+1.
\end{gathered}
\end{equation} \tag{20} \]

Уравнение (20) из неизвестных содержит только функцию $\varphi \left( \beta \right)$ и может быть решено в неявном виде. Величину $\varphi$ можно принять в качестве новой независимой переменной, а $\beta ( \varphi )$ — в качестве неизвестной функции. Переходя с помощью правила дифференцирования сложной функции от дифференцирования по $\beta$ к дифференцированию по $\varphi$, уравнение (20) можно преобразовать к виду
\[ \begin{multline}
( 1+\nu ) ( W-\sqrt{\kappa }\cos \varphi +V\sin \varphi ) \beta ' ( \varphi )+ {}
\\
{}+\bigl( ( N+2\nu Y )\cos \varphi +\sqrt{\kappa }\sin \varphi \bigr) \beta ( \varphi )=0.
\end{multline} \tag{21} \]

Решение уравнения (21) должно удовлетворять граничным условиям
\[ \begin{equation}
\beta ( \varphi_\delta )=\delta,\quad \beta ( \varphi_1 )=1.
\end{equation} \tag{22} \]

Для определения напряженного состояния в диске кроме дифференциального уравнения (21) также необходимо решить четыре алгебраических уравнения (19) и (22). Однако число неизвестных в этих уравнениях равно трем (константа интегрирования, $\varphi_{\delta}$ и $\varphi_{1}$). Отсюда следует, что для произвольных значений механических параметров материала $\mathbb{O}$, $\nu$, $A$, $\dots$, $E$, геометрического параметра $\delta$, внешних нагрузок $P_{in}$, $P_{out}$ и желаемого эквивалентного напряжения $\tilde{\sigma}_{eq}$ построить диск равной прочности невозможно. Какой-либо из перечисленных параметров должен вычисляться через остальные с помощью одного из уравнений (19) и (22). Далее в качестве такого параметра выбран геометрический параметр $\delta$. 

Решая уравнение (21) с учетом второго из граничных условий (22), найдем
\[ \begin{multline}
\beta ( \varphi )=
\exp\Bigl( \frac{\sqrt{\kappa } ( N-V+2\nu Y )}{ ( 1+\nu )S_1} ( \varphi - \varphi_1 ) \Bigr)\times {}
\\
{}
\times\Bigl( \frac{ W-\sqrt{\kappa }\cos \varphi_1 + V\sin \varphi_1} {W-\sqrt{\kappa }\cos \varphi + V\sin \varphi } \Bigr) ^{\frac{NV+\kappa +2\nu VY}{ ( 1+\nu ) S_1}} \times {}
\\
{}
\times\Bigl(
\frac{ ( V - S_2 + S_3 \tan \varphi_1/2 ) ( V + S_2 + S_3 \tan \varphi /2 )}
{ ( V + S_2 + S_3 \tan \varphi_1/2 ) ( V - S_2 + S_3 \tan \varphi /2 )}
\Bigr)^{\frac{\sqrt{\kappa } W ( N-V+2Y\nu)}{ ( 1+\nu ) S_1 S_2 }},
\end{multline} \tag{23} \]
где $S_1 =\kappa + V^2$, $S_2 =\sqrt{\kappa + V^2- W^2} $, $S_3 =\sqrt{\kappa }+W$. Значение геометрического параметра $\delta$ непосредственно следует из (23) с учетом первого из граничных условий (22) и равно $\beta (\varphi_\delta)$. Разумеется, решение имеет физический смысл только при $\delta\in(0, 1)$. Кроме того, интервал $[\varphi_\delta, \varphi_1]$ (или $[\varphi_1, \varphi_\delta]$) не должен содержать особых точек и точек экстремума функции $\beta ( \varphi )$. Эти точки перечислены ниже:
\[ \begin{equation}
\begin{split}
\varphi_{0}^{1}&=-\arcsin\frac{W \operatorname{sgn}V}{\sqrt{\kappa +V^2}} +
\arctan\frac{\sqrt{\kappa}}{V} + 2 \pi n, \\
\varphi_{0}^2& = \pi +\arcsin\frac{W \operatorname{sgn}V}{\sqrt{\kappa + V^2}} +
\arctan\frac{\sqrt{\kappa }}{V} + 2 \pi n, \\
\varphi_{0}^{3}&=-\arctan\frac{N+2\nu Y}{\sqrt{\kappa }} + \pi n, \quad n\in\mathbb{Z}.
\end{split}
\end{equation} \tag{24} \]

Каждое из уравнений (19) имеет по два решения:
\[ \begin{equation}
\begin{split}
\varphi_\delta^1 &=\arcsin\frac{\kappa P_{in} - \gamma}{2\chi},\quad
\varphi_\delta^2=\pi -\arcsin\frac{\kappa P_{in} - \gamma}{2\chi},
\\
\varphi_1^1&=\arcsin\frac{\kappa P_{out} -\gamma}{2\chi},\quad
\varphi_1^2=\pi -\arcsin\frac{\kappa P_{out} - \gamma}{2\chi}.
\end{split}
\end{equation} \tag{25} \]
Из (25) следует, что удовлетворить граничным условиям задачи можно четырьмя различными способами. Однако некоторые из этих способов (и даже все) могут не иметь физического смысла.

Следующим шагом решения является определение профиля диска $h ( \beta )$. Для удобства введем замену
\[ \begin{equation}
h ( \beta )=\exp (t ( \beta ) ).
\end{equation} \tag{26} \]

Используя (18) и (26), первое из уравнений (16) можно переписать в виде
\[ \begin{multline}
\chi ( N+2Y )\sin ( \varphi ( \beta ) )-
\sqrt{\kappa }\chi \cos ( \varphi ( \beta ) ) +
Y \bigl ( \gamma +2\chi \sin ( \varphi ( \beta ) ) \bigr)\beta t' ( \beta ) + {}
\\
{} +2\chi Y\cos ( \varphi ( \beta ) )\beta \phi ' ( \beta )=\kappa Y\Omega \beta ^2+\psi -Y\gamma .
\end{multline} \tag{27} \]

Применим к (27) правило дифференцирования $t' ( \beta )= t' ( \varphi ) \varphi ' ( \beta )$, далее в полученное уравнение подставим выражение для производной $\phi' ( \beta )$, найденное с помощью (20). В завершение перейдем к неизвестной переменной $\varphi$ и разрешим уравнение относительно $t'( \varphi )$. В результате этих преобразований уравнение (27) примет вид
\[ \begin{multline}
t' ( \varphi )=\frac{1}{ 1+\nu }
\Bigl(
\frac{\chi (2\sqrt{\kappa } ( 2Y-N\cos ( 2\varphi ) ) + ( N^2-4 Y^2 - \kappa )\sin ( 2\varphi ))}
{2Y ( W-\sqrt{\kappa }\cos\varphi+V\sin\varphi ) ( \gamma +2\chi \sin\varphi )} - {}
\\
{} -\frac{2Y ( \mathbb{O}-1 ) \cos\varphi}{W-\sqrt{\kappa }\cos\varphi+V\sin\varphi}
+\frac{ ( Y\gamma -\psi ) \bigl( ( N-2Y )\cos\varphi+\sqrt{\kappa}\sin\varphi\bigr)}{Y ( W-\sqrt{\kappa}\cos \varphi+ V\sin\varphi ) ( \gamma +2\chi \sin\varphi )}- {}
\\
{} -\kappa \Omega \frac{\bigl( ( N+2\nu Y )\cos\varphi+\sqrt{\kappa }\sin\varphi \bigr)}{ ( W-\sqrt{\kappa }\cos \varphi+V\sin\varphi ) ( \gamma +2\chi \sin\varphi )}\beta ( \varphi)^2
\Bigr).
\end{multline} \tag{28} \]

Общий ход решения выглядит следующим образом. С помощью (25) вычисляются граничные значения $\varphi_\delta$ и $\varphi_1$, для каждой возможной пары значений проверяется выполнение условия $\delta\in(0, 1)$, а также отсутствие точек (24) в интервале $[\varphi_\delta, \varphi_1]$ (или $[\varphi_1, \varphi_\delta]$). Пары граничных значений $\varphi_{\delta}$ и $\varphi_{1}$, удовлетворяющие этим требованиям, используются для восстановления напряженного состояния с помощью (18), (23) и далее для расчета профиля диска из (28) с учетом замены (26) и последнего из уравнений (16). Первые три слагаемых в правой части (28) могут быть проинтегрированы в замкнутом виде, однако получаемые выражения являются достаточно громоздкими и в статье не приводятся. Поля перемещений и деформаций можно вычислить с помощью (7) и (1). В завершение проверяется справедливость гипотезы о плоском напряженном состоянии в диске. Для этого толщина диска должна меняться достаточно плавно, откуда следует условие вида
\[ \begin{equation}
\Bigl| \frac{dh}{dr} \Bigr|\leqslant \Delta \quad \text{или} \quad \Bigl| \frac{d\bar{h}}{d\beta} \Bigr|\leqslant \frac{ r_ {out}}{ h_ {in}}\Delta.
\end{equation} \tag{29} \]
В левом из неравенств (29) используются размерные величины, а в правом — безразмерные; $\Delta$ — некоторое заданное число. Какие-либо достоверные оценки для $\Delta$ в литературе отсутствуют и величина этого параметра выбирается достаточно произвольно [8]. Из представленного решения не составляет труда определить производную $d\bar{h}/{d\beta}$. Справедливость неравенства (29) проверяется в каждой точке диска. В спорных случаях необходимо применять конечно-элементный анализ на основе двумерной модели диска.

Содержание данного раздела позволяет рассчитать профиль равнопрочного диска и восстановить напряженное состояние в нем. Важно отметить, что решение может не существовать, а также может быть неединственным. Большое число параметров задачи затрудняет качественный анализ условий существования решения в общем случае. Построение и проверка решения для заданных значений параметров не вызывает трудностей.

Рассмотрим некоторые частные случаи критерия (10). Условие Хилла [35] в безразмерных переменных (14) имеет вид
\[ \begin{equation*}
( G+H )\sigma_{rr}^2-2H \sigma_{rr} \sigma_{\theta\theta}+\sigma_{\theta\theta}^2\leqslant 1.
\end{equation*} \]

Из предыдущего условия и (18) следует распределение напряжений:
\[ \begin{equation*}
\sigma_{rr} = - \tilde{\sigma }_{eq} \frac{\sin \varphi }{\sqrt{Q}},
\quad
\sigma_{\theta \theta } = - \tilde{\sigma }_{eq} \Bigl( \cos \varphi +\frac{H\sin \varphi }{\sqrt{Q}} \Bigr),
\end{equation*} \]
где $Q=G+ ( 1-H )H$.

Величины $\varphi_{\delta}$ и $\varphi_{1}$ определяются следующим образом:
\[ \begin{equation*}
\begin{split}
\varphi_\delta^1&= \arcsin \Bigl( \sqrt{Q} \frac{P_{in}}{\tilde{\sigma }_{eq}} \Bigr),
\quad
\varphi_\delta^2=\pi -\arcsin \Bigl( \sqrt{Q} \frac{P_{in}}{\tilde{\sigma }_{eq}} \Bigr), \\
\varphi_1^1&= \arcsin \Bigl( \sqrt{Q} \frac{P_{out}}{\tilde{\sigma}_{eq}} \Bigr),
\quad
\varphi_1^2=\pi -\arcsin \Bigl( \sqrt{Q} \frac{P_{out}}{\tilde{\sigma}_{eq}} \Bigr).
\end{split}
\end{equation*} \]

Функции $\beta \left( \varphi \right)$ и $h\left( \varphi \right)$ имеют следующий вид:
\[ \begin{equation*}
\begin{split}
\beta ( \varphi )&=\exp\Bigl(
\frac{\sqrt{Q} ( \mathbb{O}- \nu^2 ) (\varphi_1 -\varphi )}{ ( 1+\nu )^2 ( Q+ T^2 )} \Bigr)
\Bigl( \frac{T\sin \varphi _1 -\sqrt{Q} \cos \varphi_1 }{T\sin\varphi -\sqrt{Q}\cos\varphi} \Bigr) ^{\frac{ Q- ( H-\nu )T }{ ( 1+\nu ) ( Q+ T^2)}},
\\
h ( \varphi )&=
\Bigl( \frac{\sin \varphi_ \delta }{\sin\varphi} \Bigr) ^{\frac{1+H}{1+\nu }}
\Bigl( \frac{\sqrt{Q}\cos \varphi_\delta -T\sin \varphi_ \delta }{\sqrt{Q}\cos\varphi-T\sin\varphi} \Bigr)
^{ \frac{( \mathbb{O}-1 ) ( Q- ( H-\nu )T ) }{ ( 1+\nu )^2 ( Q+ T^2 )} } \times {}
\\
&
\qquad
{} \times \exp
\left( \frac{\sqrt{Q}}{ 1+\nu }
\Bigl( \frac{ Q+\mathbb{O}- ( 2T + H )H }{ Q+ T^2 } ( \varphi - \varphi_\delta )+
\frac{\Omega }{\tilde{\sigma }_{eq}} J ( \varphi )
\Bigr) \right),
\\
J ( \varphi )&=\int_{\varphi_\delta}^{\varphi } \frac{ \sqrt{Q}\sin z - ( H-\nu )\cos z }{\sin z ( \sqrt{Q}\cos z -T\sin z )} \beta^2 ( z ) dz,
\end{split}
\end{equation*} \]
где $T=H+Z$.

Рассмотрим материал, который изотропен в отношении упругих и прочностных свойств и не проявляет асимметрии при растяжении и сжатии. В этом случае $\mathbb{O}=1$, а условие (10) переходит в условие Мизеса:
\[ \begin{equation*}
\sigma _{rr}^2- \sigma _{rr} \sigma _{\theta \theta } +\sigma _{\theta \theta }^2\leqslant 1,
\end{equation*} \]
которое удовлетворяется тригонометрической заменой (18) в виде
\[ \begin{equation*}
\sigma_{rr} = -\frac{2}{\sqrt{3}} \tilde{\sigma }_{eq} \sin \varphi ,
\quad
\sigma_{\theta \theta} = -\tilde{\sigma }_{eq} \Bigl( \frac{1}{\sqrt{3}} \sin \varphi +\cos \varphi \Bigr).
\end{equation*} \]

Из граничных условий задачи следует:
\[ \begin{equation*}
\begin{split}
&
\varphi_\delta^1= \arcsin \Bigl( \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{P_{in}}{\tilde{\sigma }_{eq}} \Bigr),
\quad
\varphi_\delta^2=\pi -\arcsin \Bigl( \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{P_{in}}{\tilde{\sigma }_{eq}} \Bigr),
\\
&
\varphi_1^1 = \arcsin \Bigl( \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{P_{out}}{\tilde{\sigma}_{eq}} \Bigr),
\quad
\varphi_1^2 = \pi -\arcsin \Bigl( \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{P_{out}}{\tilde{\sigma}_{eq}} \Bigr).
\end{split}
\end{equation*} \]

Функции $\beta ( \varphi )$ и $h ( \varphi )$ принимают следующий вид:
\[ \begin{equation*}
\begin{split}
&
\beta ( \varphi ) =
\exp\Bigl( \frac{\sqrt{3} ( 1-\nu ) (\varphi_1 -\varphi )}{2 ( 1+\nu )}\Bigr)
\sqrt{\frac{\sin \varphi_1 -\sqrt{3}\cos \varphi_1 }{\sin\varphi -\sqrt{3}\cos\varphi}},
\\
&
h ( \varphi ) =
\Bigl( \frac{\sin \varphi_\delta }{\sin\varphi} \Bigr)^{\frac{3}{2 ( 1+\nu )}}
\exp \left(
\frac{\sqrt{3}}{2 ( 1+\nu)} \Bigl( \varphi - \varphi_\delta + \frac{\Omega }{\tilde{\sigma }_{eq}}
J( \varphi ) \Bigr)
\right),
\\
&
J ( \varphi )=\int_{\varphi_\delta }^ \varphi
\frac{\sqrt{3}\sin z - ( 1-2\nu )\cos z}{\sin z ( \sqrt{3}\cos z -\sin z )}\beta^2 ( z ) dz.
\end{split}
\end{equation*} \]
Представленное выше решение для условия Мизеса, разумеется, совпадает с известным решением [4].

Замечание 1. В настоящей работе параметр $\delta$ принят неизвестным, однако на практике он может иметь зафиксированное значение. Тогда к неизвестным $\varphi_\delta$ и $\varphi_1$ добавляется какой-либо другой параметр задачи, например $P_{in}$ или $P_{out}$. Для вычисления неизвестных также используются условия (19) и первое из уравнений (22), которое в таком случае будет уже нелинейным.

Замечание 2. Профиль равнопрочного диска можно построить и при других граничных условиях, например, если перемещение на внутреннем контуре диска равно нулю (диск с жестким включением). В этом случае граничные условия имеют вид
\[ \begin{equation*}
u ( \delta )=0,\quad \sigma_{rr} ( 1 )=-P_{out},
\end{equation*} \]
из которых с учетом (1), (7) и (18) следует, что
\[ \begin{equation*}
\begin{split}
\varphi_\delta^1&=\arcsin\frac{ ( Y\gamma \nu -\psi )\operatorname{sgn} ( N+2\nu Y )}{
\sqrt{\kappa \chi + ( N+2\nu Y )^2}} +
\arctan\frac{\sqrt{\kappa }}{N+2\nu Y},
\\
\varphi_\delta^2&=\pi -\arcsin\frac{ ( Y\gamma \nu -\psi )\operatorname{sgn} ( N+2\nu Y )}{
\sqrt{\kappa \chi + ( N+2\nu Y )^2}} +
\arctan\frac{\sqrt{\kappa }}{N+2\nu Y},
\\
\varphi_1^1&=\arcsin\frac{\kappa P_{out} -\gamma }{2\chi },
\quad
\varphi_1^2=\pi -\arcsin\frac{\kappa P_{out} - \gamma }{2\chi}.
\end{split}
\end{equation*} \]
Дальнейший ход решения повторяет описанные выше шаги. Аналогичным образом рассматриваются другие граничные условия, например, посадка на жесткий вал или диск с жесткой внешней стенкой. Предыдущее замечание, разумеется, также остается в силе.

3. Специальное решение

Рассмотрим случай $\varphi '( \beta )=0$, который соответствует первым двум точкам (24). Тогда напряжения в диске всюду постоянны, а давления на внутреннем и внешнем контурах совпадают: $P_{in}=P_{out}$.

Из второго уравнения (16) следует, что
\[ \begin{equation}
\sigma_{\theta\theta}=Z\sigma_{rr}.
\end{equation} \tag{30} \]

Радиальное напряжение определяется с помощью (17) и (30) в виде
\[ \begin{equation}
\sigma_{rr}=-\frac{D+ZE\pm \sqrt{ ( D+ZE)^2+4\tilde{\sigma }_{eq}^2 ( A+ZB+ Z^2C )}}{2( A+ZB+Z^2C )}.
\end{equation} \tag{31} \]

В (31) имеют смысл только отрицательные напряжения в силу предположения, что $P_{in}>0$ и $P_{out}>0$. Решая первое из уравнений (16) с учетом (30), найдем профиль диска:
\[ \begin{equation}
h ( \beta )= \exp\Bigl( \frac{\Omega}{2\sigma_{rr}} (\delta ^2- \beta ^2 )\Bigr)
\Bigl( \frac{\beta }{\delta } \Bigr)^{\frac{\mathbb{O}-1}{1+\nu }}.
\end{equation} \tag{32} \]
Если пренебречь свойствами анизотропии и асимметрии, то $\sigma_{rr}=\sigma_{\theta\theta}=-\tilde{\sigma}_{eq}$, а решение (32) сводится к классическому решению Ю. Н. Работнова [2, 3].

4. Результаты

Проиллюстрируем найденное решение на примере композитного материала [40] со следующими значениями прочности в различных направлениях: $k_{r t}=644.7$ МПа, $k_{\theta t}=689.5$ МПа, $k_{r c}=513.7$ МПа, $k_{\theta c} =455.1$ МПа. Отметим, что в рассматриваемом материале эффекты анизотропии и разной прочности при растяжении и сжатии выражены достаточно умеренно. В качестве критерия прочности будем использовать условие Цая–Ву (10), (11), тогда безразмерные параметры материала (14) примут значения $A=1.435$, $B=-1.475$, $C=1.515$, $D=-0.273$, $E=-0.515$. Нагрузки на боковых поверхностях диска выберем равными $P_{in}=0.25$ и $P_{out}=0.4$.

Рис. 2. Распределение напряжений в равнопрочном диске (a) и профили равнопрочного диска (b) для различных значений скорости вращения $\Omega$ при использовании условия Цая–Ву
[Figure 2. Distribution of stress in the equi-strength disk (a) and the profiles of equi-strength disk (b) at various values of angular velocity $\Omega$ based on Tsai–Wu failure criterion]

Рис. 3. Распределение напряжений в равнопрочном диске (a) и профили равнопрочного диска (b) для различных значений скорости вращения $\Omega$ при использовании условия Мизеса
[Figure 3. Distribution of stress in the equi-strength disk (a) and the profiles of equi-strength disk (b) at various values of angular velocity $\Omega$ based on von Mises failure criterion]

Рис. 4. Распределение напряжений в равнопрочном диске (a) и профили равнопрочного диска (b) для $\tilde{\sigma}_{eq}=0.75$, $\Omega=1.0$ при использовании условия Цая–Ву
[Figure 4. Distribution of stress in the equi-strength disk (a) and the profiles of equi-strength disk (b) for $\tilde{\sigma}_{eq}=0.75$, $\Omega=1.0$ based on Tsai–Wu failure criterion]

Из (22) несложно получить минимально возможное значение эквивалентного напряжения (15) в диске: для указанных выше параметров оно составляет $\min(\tilde{\sigma}_{eq})\cong 0.581$, а соответствующее ему значение геометрического параметра $\delta\cong 0.571$. С другой стороны, для условия Мизеса $\min(\tilde{\sigma}_{eq})\cong 0.346$, а соответствующий параметр $\delta\cong 0.468$. При $\tilde{\sigma}_{eq}<\min(\tilde{\sigma}_{eq})$ решение не существует. На рис. 2 представлено распределение напряжений в диске, равнопрочном по условию Цая–Ву (10), (11), а также профили такого диска для нескольких значений скорости вращения. Аналогичные графики для условия Мизеса (10), (13) показаны на рис. 3. Из рис. 2 и 3 видно, что эффекты анизотропии и асимметрии оказывают существенное влияние на геометрию равнопрочного вращающегося диска и напряженное состояние в нем. В найденном решении скорость вращения $\Omega$ влияет только на профиль диска и не влияет на распределение напряжений в нем (18), (23). Увеличение скорости вращения требует усиления диска в окрестности его внешнего контура (рис. 2 и 3). Значительное увеличение угловой скорости приводит к выходу решения за границы применимости (29).

Как уже было отмечено ранее, граничным условиям задачи можно удовлетворить четырьмя разными способами (25) и в некоторых случаях решение задачи будет неединственным. Рассмотрим желаемую величину эквивалентного напряжения в равнопрочном диске $\tilde{\sigma}_{eq}=0.75$. Из (22) следует, что $(\varphi_{\delta}, \varphi_{1})=(\varphi_{\delta}^{1}, \varphi_{1}^{1})\cong(0.675, 0.953)$ и $\delta\cong 0.273$. Однако существует и второе решение, для которого $(\varphi_{\delta}, \varphi_{1})=(\varphi_{\delta}^2, \varphi_{1}^2)\cong(2.466, 2.188)$ и $\delta\cong 0.855$. Эти решения проиллюстрированы на рис. 4, где изображены графики напряжений и профили диска при скорости вращения $\Omega=1.0$. Видим, что полученные решения отличаются принципиальным образом: в первом решении оба напряжения отрицательны, а во втором — радиальное и тангенциальное напряжения имеют разный знак. Для проверки справедливости гипотезы о плоском напряженном состоянии предполагалось [8], что в (29) $(r_{out}/h_{in})\Delta=10$. Установлено, что во всех представленных выше расчетах (рис. 2–4) полученные профили диска удовлетворяют условию (29).

Заключение

В настоящей работе найдено аналитическое решение, позволяющее для заданных нагрузок на внешнем и внутреннем контуре диска и скорости вращения построить геометрию диска равной прочности. В качестве критерия прочности применялось общее эллиптическое условие, которое позволяет описать анизотропию материала, а также его асимметрию при растяжении и сжатии. Установлено, что профиль равнопрочного диска может не существовать и может быть не единственным. В качестве примера рассмотрен критерий прочности Цая–Ву, широко используемый для композитных материалов. Сравнение с решением для условия Мизеса показало, что указанные эффекты оказывают существенное влияние на геометрию равнопрочного диска и напряженное состояние в нем. Найденное решение в частных случаях сводится к решениям для многих известных критериев прочности, а также к классическому решению Ю. Н. Работнова.

Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею.
Авторский вклад и ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена.
Финансирование. Работа выполнена в рамках госзадания ХФИЦ ДВО РАН.

About the authors

Aleksandr N. Prokudin

Institute of Machinery and Metallurgy, Khabarovsk Federal Research Center, Far-East Branch of RAS

Author for correspondence.
Email: sunbeam_85@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-5156-424X
SPIN-code: 6812-2451
Scopus Author ID: 35722777500
ResearcherId: N-9344-2016
https://www.mathnet.ru/person58902

Cand. Tech. Sci.; Senior Researcher; Lab. of Problems of Materials and Products Construction and Processing

Russian Federation, 681005, Komsomolsk-on-Amur, Metallurgov st., 1

References

Supplementary files