Residual stress analysis in surface-hardened rotating prismatic elements with semicircular notches under high-temperature creep

Full Text

Введение

Формирование микроструктуры поверхностного слоя деталей авиационных двигателей при их производстве является сложным процессом, сопровождающимся неоднократным изменением напряженно-деформированного состояния (НДС) на поверхностях заготовок на всех стадиях механической обработки. Процессы резания, такие как токарная обработка и фрезерование, обычно вызывают приповерхностные растягивающие напряжения, которые не всегда полностью исчезают даже на этапах финишной обработки и могут отрицательно влиять на прочность компонентов в процессе эксплуатации.

В инженерной практике такие начальные напряжения на этапе проектирования часто игнорируются, а расчеты на прочность проводятся лишь с учетом эксплуатационных нагрузок в предположении, что первоначальное напряженное состояние невозмущенное. Однако эксплуатационные напряжения комбинируются с неучтенными начальными растягивающими напряжениями, которые могут превышать допустимые предельные значения для материала, что приводит к образованию микротрещин и непрогнозируемым разрушениям.

Другим значительным фактором, способствующим нарушениям целостности конструкций, таких как газотурбинные двигатели (ГТД), является локальное превышение растягивающих напряжений над их допустимыми значениями в местах концентрации напряжений. Концентраторы могут возникать как из-за конструктивных особенностей (например, канавок и пазов), так и из-за эксплуатационных дефектов (например, царапин и вмятин), вызванных столкновением с инородными объектами. Наличие концентраторов напряжений крайне нежелательно, так как они значительно увеличивают вероятность разрушения в условиях эксплуатации, часто приводя к выходу из строя всего агрегата в целом. Ситуация усугубляется высокими рабочими температурами, когда в наиболее подверженных деформации сечениях деталей возникает ползучесть.

На протяжении последних десятилетий наиболее эффективным подходом к повышению прочностных характеристик деталей и изделий в авиадвигателестроении и энергетическом машиностроении стали методы поверхностного пластического деформирования (ППД) [1–7], кавитационного [5], термопластического [8], лазерного [9] упрочнения и другие технологии. Эти методы позволяют значительно улучшить механические свойства упрочненных деталей.

Известно, что применение поверхностного упрочнения позволяет существенно повысить предел выносливости [1, 2, 4, 6, 8, 10, 11], улучшить трибологические характеристики поверхности [6, 12, 13] и увеличить микротвердость поверхностного слоя [14].

С позиции механики упрочнения улучшение показателей надежности деталей достигается за счет формирования тонкого приповерхностного слоя остаточных напряжений (ОН) сжатия, которые компенсируют эксплуатационные растягивающие напряжения. Например, в зависимости от используемого метода ППД толщина упрочненного слоя может варьироваться от 100 до 300 мкм [2, 4, 6, 14–17] при дробеструйной обработке и достигать 1 мм и более при обкатке роликом [15, 17].

Применение методов ППД также положительно влияет и на характеристики надежности деталей с концентраторами напряжений, о чем свидетельствуют результаты многих исследований [2, 6, 15, 18–21, 23–26]. В частности, поверхностное упрочнение деталей, ослабленных концентраторами напряжений, способствует значительному увеличению их предела выносливости [18–20, 24, 26].

Важно отметить, что для снижения интенсивности напряжений в предусмотренных конструкцией концентраторах напряжений применяется метод опережающего поверхностного пластического деформирования (ОППД) [18, 19, 27, 28]. Этот метод заключается в предварительном упрочнении гладкой детали с последующим удалением части материала в зоне соответствующего концентратора.

Несмотря на стабильность процесса ППД деталей и ожидаемую прогнозируемость наведенных упрочнением полей сжимающих ОН, их эффективность и распределение могут значительно снижаться в условиях интенсивного эксплуатационного температурного и температурно-силового воздействия, особенно в условиях ползучести из-за релаксации ОН. Однозначного решения этой проблемы на данный момент не существует, так как решение вопросов, связанных с релаксацией ОН в условиях ползучести, находится на стадии становления и развития, а требования к материалам и конструктивным решениям из-за увеличения мощностей силовых установок продолжают расти. В связи с этим существует необходимость в подробном исследовании НДС упрочненных и неупрочненных деталей ГТД, работающих в условиях высокотемпературной ползучести [16, 19, 29–32].

Частичное решение упомянутой проблемы отражено в работах, посвященных разработке методов численного расчета релаксации ОН в поверхностно упрочненных гладких «бездефектных» образцах цилиндрического [31] и призматического [32] профиля, функционирующих в условиях высокотемпературной ползучести с учетом силового нагружения в поле массовых сил. Однако для поверхностно упрочненных призматических тел с концентраторами напряжений аналогичного решения задачи в данной постановке не существует. Поэтому настоящая работа посвящена разработке численного метода расчета релаксации остаточных напряжений в условиях высокотемпературной ползучести с учетом силового нагружения, вызванного вращением образца, на примере поверхностно упрочненного призматического образца с полукруглыми надрезами. В области надрезов после ОППД задача решалась как в упругой, так и в упругопластической постановках.

1. Постановка задачи

В декартовой системе координат $xyz$ рассматривается вращающийся поверхностно упрочненный призматический образец размером $150{\times}10{\times}10$ мм из сплава ЭП742 в условиях высокотемпературной ползучести при температуре 650 °C в течение 100 часов. Образец ослаблен полукруглыми надрезами радиусом 0.1 и 0.3 мм, расположенными на расстоянии 2 и 75 мм от жестко закрепленной левой торцевой грани в плоскости $yz$ (рис. 1).

Рис. 1. Схема нагружения поверхностно упрочненного образца с полукруглыми надрезами
[Figure 1. The loading scheme for a surface-hardened sample with semicircular notches]

Плоскость $xz$ совмещена с верхней упрочненной гранью призматического образца (на рис. 1 показана заливкой темного цвета), которая была подвержена виброударному ультразвуковому поверхностно-пластическому упрочнению дробью (УЗУ) и на которую впоследствии наносился полукруглый надрез радиуса $\rho$. Закрепление образца осуществлялось консольно (жестко) по левой торцевой грани в плоскости $yz$, что аналогично стержню квадратного сечения, закрепленному на абсолютно жестком диске радиуса $R_1$. Вращение упрочненного образца полагалось относительно вертикальной оси $A_1A_2$ с постоянной угловой скоростью $\omega$, в результате чего в объеме образца возникает неоднородное осевое напряженное состояние за счет переменной нагрузки $N(x)$ (рис. 1), которая приводит к развитию деформации ползучести в каждом поперечном сечении образца и релаксации наведенных упрочнением сжимающих ОН. Для дальнейшего исследования введена гипотеза плоских сечений.

Решение представленной задачи строится аналогично решению о вращении гладкого призматического образца [32]. Реализация решения для образца с полукруглым надрезом состоит из следующих расчетных этапов:

1. реконструкция полей ОН и пластических деформаций (ПД) после процедуры упрочнения гладкого «бездефектного» призматического образца при нормальной («комнатной») температуре $T_{0}$;
2. формирование поверхностного полукруглого надреза радиуса $\rho$ на упрочненной грани образца в соответствии с технологией ОППД и пересчет полей ОН в упрочненном образце с учетом полукруглого надреза при температуре $T_{0}$;
3. пересчет полей ОН с учетом надреза в условиях температурно-силового нагружения от действия инерционных сил при вращении и изменении температуры со значения $T_{0}$ (модуль упругости $E(T_0)=E_0$) до рабочей температуры $T_1$ ($T_1>T_0$, модуль упругости $E(T_1)=E_1$) в момент времени $t=0-0$;
4. расчет релаксации ОН в поверхностно упрочненном образце с надрезом вследствие ползучести при температуре $T_{1}$ для значений времени $t>0$.

2. Оценка напряженно-деформированного состояния бездефектного образца при вращении

Закон изменения осевого напряжения во вращающемся неупрочненном призматическом образце без надреза от действия центробежной силы, действующей на элементарный объем $H{\times} H{\times} dx$ (см. рис. 1), имеет следующий вид:
\[ \begin{equation}
dN=\omega (R_{1} +x)\gamma F(x)dx, \quad 0\leqslant x\leqslant L=R_2-R_1,
\end{equation} \tag{1} \]
где $\omega$ — угловая скорость, $\gamma=\rho_{\text{сп}}g$ — удельный вес, $\rho_{\text{сп}}$ — плотность сплава ЭП742, $g$ — ускорение свободного падения, $F(x)$ — площадь поперечного сечения образца (в рассматриваемом случае $F(x)=H^{2} ={\rm const}$). Из (1) получаем
\[ \begin{equation}
N(x)=\gamma \omega ^{2} \int _{x}^{L}(R_1+\xi )F(\xi)d\xi.
\end{equation} \tag{2} \]

Учитывая, что $F(x)=H^2$, из (2) для напряжения $\sigma ^{0} (x)=N(x)/H^2$ имеем
\[ \begin{equation}
\sigma _{x}^{0} (x)=\gamma \omega ^{2} \Bigl[R_{1} (L-x )+\frac{L^2-x^{2} }{2} \Bigr].
\end{equation} \tag{3} \]
Формулу (3) с учетом обозначения $L=R_2-R_1$ можно представить в виде
\[ \begin{equation}
\sigma _{x}^{0} (x)=\frac{1}{2} \gamma \omega ^{2} R_2^2\Bigl[1-\Bigl(\frac{R_1 +x}{R_2} \Bigr)^{2} \Bigr], \quad 0\leqslant x\leqslant R_2-R_1.
\end{equation} \tag{4} \]

Из формул (3) и (4) следует, что при $\omega={\rm const}$ осевое напряжение $\sigma _{x}^{0} (x)$ при фиксированной величине $x$ не зависит от времени. Другими словами, задачу можно рассматривать независимо для каждого сечения как находящегося под действием растягивающего постоянного осевого напряжения $\sigma_x^0=\sigma_x^0(x)$.

3. Численный метод расчета полей остаточных напряжений и пластических деформаций в поверхностно упрочненном образце с полукруглым надрезом

Для начала рассмотрим методику численного расчета полей ОН и ПД для гладкого «бездефектного» образца после процедуры ОППД, подробно изложенную в работах [28, 32].

В [28, 32] установлено, что компоненты тензоров ОН и ПД зависят только от координаты $y$: $\sigma _{x} =\sigma _{x} (y)$, $\sigma _{z} =\sigma _{z} (y)$, $\sigma _{y} =\sigma _{y} (y)=0$; все недиагональные компоненты ОН и ПД полагаются равными нулю в силу их незначительности. При этом ненулевыми компонентами деформаций являются упругие $e_{i} =e_{i} (y)$, пластические $q_{i} =q_{i} (y)$ и полные $\varepsilon _{i} =\varepsilon _{i} (y)$, $i=x, y, z$, соответственно. Согласно введенной гипотезе плоских сечений для компонент остаточных полных деформаций выполняется условие
\[ \begin{equation*}
\varepsilon _{x} (y)=\varepsilon _{z} (y)=0.
\end{equation*} \]

Для рассматриваемого случая изотропного поверхностного упрочнения (выполняется условие $q_{x} (y)=q_{z} (y)$) с учетом условия пластической несжимаемости $q_{x} +q_{y} +q_{z} =0$, при том, что процесс упрочнения осуществляется в момент времени $t=0-0$ при температуре $T_{0}$, расчетные формулы для ОН и ПД принимают вид [28, 32]
\[ \begin{equation}
\sigma _{x} (y)=\sigma _{z} (y),\quad q_{x} (y)=q_{z} (y)=-\frac{1-\nu }{E_{0} } \sigma _{x} (y),\quad q_{y} (y)=\frac{2(1-\nu )}{E_{0} } \sigma _{x} ,
\end{equation} \tag{5} \]
где $\nu $ — коэффициент Пуассона, $E_{0} $ — модуль Юнга (при температуре $T_{0}$).

В соответствии с (5) все компоненты тензоров ОН и ПД выражаются через компоненту $\sigma _{x} (y)$, поэтому для реконструкции НДС упрочненного образца достаточно иметь известную экспериментальную зависимость $\sigma _{x} =\sigma _{x} (y)$ в пределах упрочненного слоя (показана точками на рис. 2), после чего необходимо построить аппроксимацию этой зависимости и экстраполировать ее на все значения $0\leqslant y\leqslant H$, где $H=10$ мм — высота призматического образца.

3.1. Начальный этап численного расчета заключается в аппроксимации известной экспериментальной зависимости для компоненты $\sigma_x=\sigma_x(y)$ по формуле
\[ \begin{equation}
\sigma _{x} (y)=\sigma _{0} -\sigma _{1} \exp \Bigl[-\Bigl(\frac{y-y^{*} }{b} \Bigr)^{2} \Bigr],
\end{equation} \tag{6} \]
где $\sigma _{0}$, $\sigma _{1}$, $b$, $y^{*} $ — параметры аппроксимации эпюры $\sigma _{x} =\sigma _{x} (y)$, методика определения которых подробно изложена в [28, 32]; $y$ — текущее положение координаты.

Для поверхностно упрочненного гладкого призматического образца размером $150{\times}10{\times}10$ мм, изготовленного из сплава ЭП742, параметры аппроксимации в соответствии с [32] имеют следующие значения: $\sigma_{0} =119.2$ МПа, $\sigma_{1}=1230.7$ МПа, $b=0.097$ мм, $y^{*} =0.04$ мм. Полученные результаты расчета ОН для компоненты $\sigma _{x} =\sigma _{x} (y)$ по аппроксимации (6) приведены на рис. 2 сплошной линией.

Зависимости (5) и (6) задают исходную информацию для следующего этапа — численного расчета полей ОН и ПД в поверхностно упрочненном призматическом образце с полукруглым надрезом в пакете ANSYS Mechanical APDL.

Рис. 2. Данные для компоненты $\sigma_x=\sigma_x(y)$ после УЗУ поверхности призматического образца с размерами $150{\times}10{\times}10$ мм из сплава ЭП742: экспериментальные данные (маркеры) [28, 32], расчетные данные по аппроксимации (6) (сплошная линия) и для термоупругой задачи (штриховая линия)
[Figure 2. Data for the component ${\sigma_x=\sigma_x(y)}$ after ultrasonic surface hardening of a prismatic sample measuring $150{\times}10{\times}10$ mm made of EP742 alloy: experimental data (markers) [28, 32], calculated data from approximation (6) (solid line), and for the thermoelastic problem (dashed line)]

3.2. На втором этапе определяемые из соотношений (5) компоненты тензора остаточных ПД $q_{i} =q_{i} (y)$, $i=x, y, z$, моделируются фиктивными температурными деформациями вида
\[ \begin{equation}
q_{i} (y)=\beta _{i} \bigl(T(y)\bigr) \bigl[T(y)-T_{0} \bigr], \quad i=x, y, z,\quad 0\leqslant y\leqslant H,
\end{equation} \tag{7} \]
где $\beta _{i} \bigl(T(y) \bigr)$ — коэффициенты температурного расширения, $T=T(y)$ — неоднородное температурное поле с малым градиентом температур, которое может быть произвольным, $T_*=T(0)=30\,{}^\circ$C — значение температуры на упрочненной грани образца (закрашена на рис. 1, $y=0$), $T_0=T(H)=20\,{}^\circ$C — фиксированное значение температуры на противоположной грани образца (рис. 1) при $y=H$.

При известных из (5) и (6) значениях $q_{i} (y)$ и заданном распределении температуры $T=T(y)$ по формуле (7) вычисляются коэффициенты температурного расширения $\beta _{i} \bigl(T(y)\bigr)$, необходимые для численного решения задачи фиктивной термоупругости поверхностно упрочненного гладкого образца на основе метода конечных элементов (МКЭ) с целью определения его начального НДС (на рис. 2 полученный результат соответствует штриховой линии).

Из данных на рис. 2 видно, что расчет МКЭ для задачи термоупругости хорошо согласуется с экспериментальными данными и с расчетом по модели (5) с учетом аппроксимации (6). Это, в частности, подтверждает адекватность расчетов методом конечных элементов на основе начальных температурных деформаций как в отношении экспериментальных данных, так и данных, полученных по модели (5), (6).

3.3. Третий расчетный этап заключается в реализации технологии ОППД. На упрочненный гладкий образец наносится полукруглый надрез методом удаления части материала с наведенными упрочнением ОН и ПД, что приводит поле полных деформаций к неуравновешенному состоянию вблизи надреза. Равновесное состояние достигается за счет перераспределения полей ОН в зоне надреза, которое определяется повторным численным расчетом задачи фиктивной термоупругости в ANSYS.

Как уже было отмечено в [28], при расчете полей ОН в области полукруглого надреза в упругой постановке, когда радиус полукруглого надреза $\rho \leqslant h$ (где $h$ — толщина упрочненного слоя, зависящая от метода ППД), полученные результаты для компонент ОН $\sigma _{i} =\sigma _{i} (y)$, $i=x, y, z$, представляют собой завышенные значения, зачастую превосходящее предел прочности. В этой связи расчет необходимо производить с учетом зоны вторичной пластичности материала упрочненного образца в окрестности надреза, т. е. решать задачу в упругопластической постановке, для чего в программном комплексе ANSYS задается диаграмма упругопластического деформирования в координатах «истинное напряжение – полная деформация» ($\sigma$ – $\varepsilon $) (рис. 3, кривая 3). При этом предполагается, что диаграммы растяжения и сжатия практически одинаковы для рассматриваемого материала (с учетом знака), а уровень образующихся в зоне надреза сжимающих ОН, превышающий предел текучести $\sigma _T $, приводит к появлению вторичных пластических деформаций. Согласно [33] пересчет «истинных» напряжений осуществляется из «номинальных» напряжений $\sigma _{0} $ (рис. 3, кривая 2), полученных на основе экспериментальных данных для сплава ЭП742 (рис. 3, кривая 1), с учетом накопления поврежденности по зависимости
\[ \begin{equation}
\sigma =\sigma _{0} (1+\omega ),\quad \dot{\omega }=\alpha \sigma \dot{q},
\end{equation} \tag{8} \]
где $\omega $ — параметр поврежденности, $q$ — деформация пластичности, $\alpha ={\rm const}$ — феноменологический параметр, $\sigma _{0} $ и $\sigma $ — номинальное и истинное напряжения, соответствующие одному и тому же уровню пластической деформации $q$.

Рис. 3. Кривые упругопластического деформирования сплава ЭП742 при температуре 20 °C: 1 — экспериментальные данные [23], 2 — расчет в координатах $\sigma _{0}$ – $\varepsilon$, 3 — расчет в координатах $\sigma$ – $\varepsilon$
[Figure 3. The stress-strain curves of the EP742 alloy under elastic-plastic deformation at a temperature of 20 °C: 1 — experimental data [23], 2 — calculation in coordinates $\sigma _{0}$ – $\varepsilon $, 3 — calculation in coordinates $\sigma$ – $\varepsilon $]

Для жесткого режима нагружения одноосного образца ($\dot{\varepsilon }={\rm const}$) используется неявно заданная зависимость $\sigma _{0} =\sigma _{0} (q)$ [33]:
\[ \begin{equation}
q=c\biggl[\sigma _{0} \exp \biggl(\int _{0}^{q}\alpha \sigma _{0} (\xi )d\xi \biggr)-\sigma _T \biggr]^{n} ,
\end{equation} \tag{9} \]
где $\sigma _T $ — предел текучести (пропорциональности), $c$ и $n$ — параметры аппроксимации начального участка диаграммы упругопластического деформирования степенной зависимостью при $\omega \approx 0$ и $\sigma _{0} \cong 0$:
\[ \begin{equation}
q=c(\sigma _{0} -\sigma _T )^{n} .
\end{equation} \tag{10} \]

Для построения упругопластической кривой в координатах «истинное напряжение – полная деформация» $\sigma$ – $\varepsilon $ (см. рис. 3) по формулам (8)–(10), представляющей собой монотонно возрастающую функцию, использовались следующие параметры [28, 33]: $\sigma _T =863.3$ МПа, $c=1.356\cdot 10^{-6} $ МПа$^{-n} $, $n=1.776$, $\alpha =1.916\cdot 10^{-3} $ МПа$^{-1} $.

Таким образом, решение задачи сводится к определению начального НДС поверхностно упрочненного образца с надрезом либо в упругой постановке, при этом решается фиктивная задача термоупругости, либо в упругопластической постановке на основе задачи термоупругопластичности. Во втором случае для мелких надрезов получаются реалистичные поля ОН по сравнению с решениями задач в упругой постановке [28].

Следует отметить, что полученные результаты распределения ОН в упрочненном образце с надрезом из решения задачи в обеих постановках являются исходными данными при дальнейшем расчете кинетики напряжений в условиях температурно-силового нагружения образца при ползучести.

4. Методика расчета кинетики напряженно-деформированного состояния упрочненных гладких призматических образцов с надрезами при вращении

Изложим методику релаксации ОН во вращающихся гладких образцах и образцах с надрезами с единых позиций с использованием МКЭ в вычислительном комплексе ANSYS. Для образца с надрезами это единственный способ, а численое решение для гладкого образца в дальнейшем будет использоваться для сравнительного анализа решения задачи по МКЭ с решением по методу сеток, методика которого приведена в [32].

4.1. На первом этапе в обоих случаях строится решение после процедуры ППД для гладкого образца или ОППД для образца с надрезами в условиях мгновенного температурного нагружения с температуры упрочненного состояния $T_0$ до «рабочей» (эксплуатационной) температуры $T_1$. В обоих случаях модуль упругости материала уменьшается с величины $E(T_0)=E_0$ до $E(T_1)=E_1$ (в дальнейшем предполагается, что коэффициент Пуассона $\nu$ не зависит от температуры), что, в свою очередь, приводит к изменению НДС образцов при переходе от температуры $T_0$ до $T_1$. Тогда для гладкого образца в предположении, что новых пластических деформаций не возникает, по аналогии с (5) в момент времени $t=0+0$ получаем следующее распределение полей ОН и ПД:
\[ \begin{equation}
\sigma _{x} (y)=-\frac{E_{1} }{1-\nu } q_{x} (y),\quad \sigma _{z} (y)=\sigma _{x} (y).
\end{equation} \tag{11} \]

Из сравнения (5) и (11) следует, что напряжение $\sigma _{x} (y)$ при температуре «эксплуатации» $T_{1}$ можно получить, умножив функцию $\sigma _{x} (y)$ при температуре упрочнения $T_{0}$ на коэффициент $E_1/E_0$.

Аналогичная процедура пересчета НДС реализуется и для образца с надрезом: поля распределения ОН, полученные решением задачи в упругой или упругопластической постановке при температуре $ T_0$, умножаются также на коэффициент $E_1/E_0$.

4.2. Следующий шаг силового нагружения связан с вращением нагретого до температуры $T_{1}$ упрочненного образца относительно вертикальной оси $A_1A_2$ с постоянной угловой скоростью $\omega$ (рис. 1). Для случая гладкого «бездефектного» образца неоднородность напряженного состояния образца задается продольной компонентой напряжений $\sigma _{x}^{0} (x)$ в соответствии с (1) и его стационарностью по координате $x\in [0, L]$ при вращении. Для образца с полукруглыми надрезами радиуса $\rho $ (независимо от их расположения) напряжения $\sigma _{x}^{0} (x)$ вычисляются аналогично в программном комплексе ANSYS, но с учетом концентрации напряжений в ослабленных надрезами и близко прилегающих к ним сечениях. Для этой цели достаточно задать удельный вес материала $\gamma$ и значение угловой скорости $\omega $.

4.3. На следующем этапе в обоих случаях реализуется расчет НДС в условиях ползучести при заданном температурно-силовом нагружении с учетом накопления деформаций ползучести при температуре $T_1$ в течение заданного времени $t\in[0, t^*]$. В дальнейшем для сплава ЭП742 время расчета на ползучесть образцов при температуре 650 °C принималось равным $t^*=100$ часов. Для реализации расчета нужен выбор конкретной теории ползучести, при этом необходимо ориентироваться на возможности библиотеки соответствующих теорий в вычислительной среде ANSYS Mathematical APDL. Экспериментальные данные по ползучести сплава ЭП742 при температуре 650 °C имеются в работе [33, рис. 3.9] на базе до $400{\div}800$ часов. Поэтому для временной базы 100 часов использовались лишь начальные участки экспериментальных кривых ползучести при напряжениях $\sigma=\{588.6; 637.6; 686\}$ МПа, представленных на рис. 4 точками. С учетом характера этих кривых (наличие лишь первой стадии ползучести) для построения модели ползучести выбрана теория течения, которая в одномерном случае с учетом гипотезы подобия кривых имеет вид [34]
\[ \begin{equation}
\dot{p}(t,\sigma)=S(\sigma)\tau(t).
\end{equation} \tag{12} \]
Выбирая кривую при $\sigma_*=637.6$ МПа в качестве базовой кривой ползучести, перепишем (12) для определения функции $\tau(t)$ в виде степенной аппроксимации
\[ \begin{equation}
\dot{p}(t,\sigma)=S\Bigl(\frac{\sigma}{\sigma_*}\Bigr)At^n,
\end{equation} \tag{13} \]
где $S(1)=1$ для кривой ползучести при $\sigma=\sigma_*$. После интегрирования (13) при $\sigma=\sigma_*$ получаем
\[ \begin{equation*}
p(t,\sigma_*)=\frac{At^{n+1}}{n+1},
\end{equation*} \]
где величины $n$ и $ {A}/({n+1})$ находятся методом наименьших квадратов и имеют значения $n+1=0.6$, $ {A}/({n+1})=0.67\cdot10^{-3}$, откуда $n=-0.4$. Аппроксимация функции $S ( {\sigma}/{\sigma_*} )$ также принимается в виде степенной зависимости:
\[ \begin{equation*}
S\Bigl(\frac{\sigma}{\sigma_*}\Bigr)=B\cdot\Bigl(\frac{\sigma}{\sigma_*}\Bigr)^m ,
\end{equation*} \]
где параметры $B$ и $m$ находятся с использованием кривых ползучести при напряжениях $\sigma = \{588.6; 637.6; 686 \}$ МПа при фиксированных значениях времени $t$ методом наименьших квадратов и имеют следующие значения: $B=1.04$; $m=6.82$. Тогда окончательно с учетом всех найденных параметров получаем следующую модель ползучести — теорию течения:
\[ \begin{equation}
\dot{p}(t,\sigma)=3.4\cdot10^{-23}\cdot\sigma^{6.82}\cdot t^{-0.4},
\end{equation} \tag{14} \]
а после интегрирования (14) при $\sigma={\rm const}$ —
\[ \begin{equation}
p(t)=5.22\cdot10^{-23}\cdot\sigma^{6.82}\cdot t^{0.6}.
\end{equation} \tag{15} \]

Расчетные значения деформации ползучести для сплава ЭП742 при температуре 650 °C на основании зависимости (15) приведены на рис. 4 сплошными линиями. Наблюдается хорошее соответствие данных расчета с экспериментальными данными.

Теория течения в библиотеке моделей ANSYS имеет вид
\[ \begin{equation}
\dot{\varepsilon}_{cr}=C_1\sigma_2^{C_2}t^{C_3}e^{-C_4/T},
\end{equation} \tag{16} \]
где $\dot{\varepsilon}_{cr}$ — скорость деформации ползучести, $T$ — температура, $C_i$ — константы модели. Таким образом, сравнивая (14) и (16), для сплава ЭП742 при температуре 650 °C в расчетах достаточно положить $C_1=3.4\cdot10^{-23}$, $C_2=6.82$, $C_3=-0.4$, $C_4=0$.

Рис. 4. Экспериментальные (точки) и расчетные (сплошные линии) кривые ползучести сплава ЭП742 при температуре 650 °C: 1 — $\sigma=588.6$ МПа, 2 — $\sigma=637.6$ МПа, 3 — $\sigma=686$ МПа
[Figure 4. Experimental (points) and theoretical (solid lines) creep curves of the EP742 alloy at a temperature of 650 °C: 1 — $\sigma=588.6$ MPa, 2 — $\sigma=637.6$ MPa, 3 — $\sigma=686$ MPa]

Согласно настоящей методике, дискретизация по времени $t$ при использовании программного комплекса ANSYS осуществляется заданием временного шага $\Delta t$ в разделе настроек решателя, где от $t_{0} =0$ до $t_{1} =1$ ч временной шаг интегрирования соответствует $\Delta t_{1} =0.02$ ч, после чего от $t_{1} =1$ ч и до окончания времени $t^{*} $ температурной выдержки $\Delta t=1$ ч. Это связано с тем, что в пределах первого часа нагружения скорость релаксации ОН имеет наибольшую величину, поэтому шаг интегрирования в области, прилегающей к $t=0$, должен быть малым.

5. Расчет релаксации остаточных напряжений во вращающемся упрочненном гладком призматическом образце в условиях высокотемпературной ползучести

В связи с тем, что в работе в дальнейшем сравниваются решения для гладкого вращающегося образца методом конечных элементов на основе фиктивной термоупругой задачи, с решением этой же задачи методом сеток, приведем полностью алгоритм метода сеток, изложенный в [32]. Сначала выполняется дискретизация по переменной $x$: $0=x_{0} <x_{1} <\cdots<x_{n} =L$ c постоянным шагом $\Delta x=L/N_1$, где $N_1$ — количество отрезков разбиения. В результате упрочненный образец рассматривается как стержень из $N$ элементарных стержней прямоугольного сечения с высотой $\Delta x$ (см. рис. 1), причем в каждом поперечном сечении осевое растягивающее напряжение $\sigma _{x}^{0} (x)$, $x_{i-1} \leqslant x\leqslant x_{i}$, $i=1,2,\ldots, N_1$, вычисленное по зависимости (4), можно считать постоянным. Поэтому при расчете релаксации ОН в каждом сечении $x=x_{k}$ вращающегося образца действует постоянное напряжение $\sigma _{x}^{0} (x_{k} )$.

Для каждого элементарного стержня вводится гипотеза плоских сечений в виде
\[ \begin{equation*}
\varepsilon _{x} (y,x_{k} ,t)=\varepsilon _{x}^{0} (x_{k} , t),\quad
\varepsilon _{z} (y,x_{k} ,t)=\varepsilon _{z}^{0} (x_{k} ,t).
\end{equation*} \]
Тогда в любой момент времени справедливы следующие равенства:
\[ \begin{equation}
\begin{array}{l}
\varepsilon _{x} (y,x_{k} ,t)=e_{x} (y,x_{k} ,t)+q_{x} (y)+p_{x} (y,x_{k} ,t)=\varepsilon _{x}^{0} (x_{k} ,t),
\\
\varepsilon _{z} (y,x_{k} ,t)=e_{z} (y,x_{k} ,t)+q_{z} (y)+p_{z} (y,x_{k} ,t)=\varepsilon _{z}^{0} (x_{k} ,t).
\end{array}
\end{equation} \tag{17} \]
Величины $\varepsilon _{x}^{0} (x_{k} , t)$ и $\varepsilon _{z}^{0} (x_{k} , t)$ имеют следующее представление:
\[ \begin{equation}
\varepsilon _{x}^{0} (x_{k} , t)=\frac{1}{E_{1} } \sigma _{x}^{0} (x_{k} )+p_{x}^{0} (x_{k} , t), \quad
\varepsilon _{z}^{0} (x_{k} , t)=-\frac{\nu }{E_{1} } \sigma _{x}^{0} (x_{k} )+p_{z}^{0} (x_{k} , t).
\end{equation} \tag{18} \]

Тогда (17) с учетом (18) преобразуются к виду
\[ \begin{eqnarray*}
&\dfrac{1}{E_{1} }[\sigma _{x} (y,x_{k} ,t)-\nu \sigma _{z} (y,x_{k} ,t)]+q_{x} (y)+p_{x} (y,x_{k} ,t)=\dfrac{1}{E_{1} } \sigma _{x}^{0} (x_{k} )+p_{x}^{0} (x_{k} ,t),
\\
&\dfrac{1}{E_{1} }[\sigma _{z} (y,x_{k} ,t)-\nu \sigma _{x} (y,x_{k} ,t)]+q_{z} (y)+p_{z} (y,x_{k} ,t)=-\dfrac{\nu }{E_{1} } \sigma _{x}^{0} (x_{k} )+p_{z}^{0} (x_{k} ,t).
\end{eqnarray*} \]
Решая полученную систему относительно $\sigma _{x} (y, x_{k} , t)$ и $\sigma _{z} (y, x_{k} , t)$, находим
\[ \begin{equation}
\begin{array}{l}
\sigma _{x} (y,x_{k} ,t)=\sigma _{x}^{0} (x_{k} )+\dfrac{E_{1} }{1-\nu ^{2} }
\bigl[ \bigl(p_{x}^{0} (x_{k} ,t)+\nu p_{z}^{0} (x_{k} ,t) \bigr)- {} \\
\hspace{3cm}
{}- \bigl(q_{x} (y)+\nu q_{z} (y)\bigr)- \bigl(p_{x} (y,x_{k} ,t)+\nu p_{z} (y,x_{k} ,t) \bigr)\bigr],
\\
\sigma _{z} (y, x_{k} ,t)=\dfrac{E_{1} }{1-\nu ^{2} }
\bigl[\bigl(p_{z}^{0} (x_{k} ,t)+\nu p_{x}^{0} (x_{k} ,t) \bigr)- {}
\\
\hspace{3cm}
{}- \bigl(q_{z} (y)+\nu q_{x} (y)\bigr)- \bigl(p_{z} (y,x_{k} ,t)+\nu p_{x} (y,x_{k} ,t) \bigr) \bigr].
\end{array}
\end{equation} \tag{19} \]
Однако для реализации расчетов кинетики напряжений $\sigma _{x} (y,x_{k} ,t)$ и $\sigma _{z} (y,x_{k} ,t)$ на основании (19) необходимо знать величины $p_{z}^{0} (x_{k} ,t)$ и $p_{x}^{0} (x_{k} ,t)$, которые изначально неизвестны. Для их определения запишем условия равенства внутренних и внешних сил, действующих в любом сечении, параллельном координатным плоскостям $xy$ и $xz$:
\[ \begin{equation}
\int _{0}^{H}\sigma _{x} (y, x_{k} ,t)dy=\int _{0}^{H}\sigma _{x}^{0} (x_{k} )dy ,\quad
\int _{0}^{H}\sigma _{z} (y, x_{k} ,t)dy=0.
\end{equation} \tag{20} \]
Подставляя (19) в (20) и учитывая, что при $x=x_{k}$ величина $\sigma _{x}^{0} (x_{k} )={\rm const}$, решим полученную систему уравнений относительно $p_{z}^{0} $ и $p_{x}^{0} $ и окончательно найдем
\[ \begin{equation}
\begin{array}{l}
\displaystyle
p_{x}^{0} (x_{k} ,t)=\int _{0}^{H}[q_{x} (y)+p_{x} (y,x_{k} ,t)] dy, \\
\displaystyle
p_{z}^{0} (x_{k} ,t)=\int _{0}^{H}[q_{z} (y)+p_{z} (y,x_{k} ,t)] dy.
\end{array}
\end{equation} \tag{21} \]
Объединяя (19) и (21), получаем систему для расчета кинетики ОН $\sigma _{x} (y,x_{k} ,t)$ и $\sigma _{z} (y,x_{k} ,t)$ в процессе ползучести во вращающемся упрочненном гладком призматическом образце. Начальные условия для этой системы следующие: $p_{x} (y,x_{k},0)=0$; $p_{z} (y,x_{k},0)=0$.

Таким образом, при известных компонентах тензора деформаций ползучести $p_{x} (y,x_{k},t)$ и $p_{z}(y,x_{k},t)$ величины $\sigma _{x} (y,x_{k},t)$ и $\sigma _{z} (y,x_{k},t)$ определяются из системы (19), (21). Компоненты деформации ползучести $p_x(y,x,t)$ и $p_z(y,x,t)$ рассчитываются по теории течения, реологические соотношения которой при сложном напряженном состоянии обобщаются исходя из одноосной модели (16) при $C_4=0$ и имеют вид
\[ \begin{equation}
\dot{p}_{ij}=\frac32C_1(S^*)^{C_2-1}\Bigl(\sigma_{ij}-\frac13\sigma_{kk}\Bigr)t^{C_3},
\end{equation} \tag{22} \]
где $S^*$ — интенсивность напряжений; $\sigma_{ij}$ и $\dot{p}_{ij}$ — компоненты тензоров напряжений и скоростей деформаций ползучести, по повторяющемуся индексу осуществляется суммирование; константы $C_i$ имеют такие же значения, как и в одноосной модели. Для гладкой детали имеем две компоненты тензора напряжений $\sigma_{11}=\sigma_x$, $\sigma_{22}=\sigma_z$ и три компоненты скоростей деформаций $\dot{p}_{11}=\dot{p}_x$, $\dot{p}_{22}=\dot{p}_z$, $\dot{p}_{33}=\dot{p}_y$, но из условия несжимаемости материала при ползучести величина $\dot{p}_y=-(\dot{p}_x+\dot{p}_z)$, поэтому она не играет никакой роли в процессе релаксации ОН.

Для вычисления $\sigma_x$ и $\sigma_z$ из (19), (21) известным методом шагов по времени рассчитываются $p_x$ и $p_z$. Суть метода состоит в следующем. Сначала осуществляется дискретизация по временной координате $0=t_{0} <t_{1} <\cdots<t_{K} =t^{*} $ с заданным шагом $\Delta t_{i} =t_{i+1} -t_{i} $, $i=0, 1, \ldots, K-1$, и по пространственной переменной $0=y_{0} <y_{1} <\cdots<y_{M} =H$, где $H$ — высота образца, см. рис. 1. Тогда на основании (22) вычисляются приращения компонент деформаций ползучести $\Delta p_{x} (y_{j} ,x_{k} ,t_{i} )$, $\Delta p_{z} (y_{j} ,x_{k} ,t_{i} )$ за шаг по времени $\Delta t_{i} $, при этом приращения соответствующих величин, входящих в (22), вычисляются, например, по методу Эйлера. Далее находятся значения
\[ \begin{equation*}
p_{x} (y_{j} ,x_{k} ,t_{i+1} )=p_{x} (y_{j} ,x_{k} ,t_{i} )+\Delta p_{x} (y_{j} ,x_{k} ,t_{i} ),
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
p_{z} (y_{j} ,x_{k} ,t_{i+1} )=p_{z} (y_{j} ,x_{k} ,t_{i} )+\Delta p_{z} (y_{j} ,x_{k} ,t_{i} ),
\end{equation*} \]
а затем по формулам (19), (21) определяются значения величин $\sigma _{x} (y_{j} ,x_{k} ,t_{i+1} )$ и $\sigma _{z} (y_{j} ,x_{k} ,t_{i+1} )$, и процесс итерационно продолжается до достижения значения времени заданного интервала расчета $t=t_{N} =t^{*}$. На первом шаге при $\Delta t_{0} =t_{1} =t_{0} $ используются начальные условия применяемой теории ползучести (22) и значения напряжений $\sigma _{x} (y, x_{k}, 0)$ и $\sigma _{z} (y, x_{k}, 0)$ в момент приложения температурно-силового нагружения.

Температурно-силовая разгрузка поверхностно упрочненного гладкого образца после ползучести в момент времени $t=t^{*} +0$ осуществляется с учетом предварительно выполненной силовой упругой разгрузки (полагается, что $\omega =0$). Тогда из соотношений (18) для ОН получаем
\[ \begin{equation}
\begin{array}{l}
\sigma _{x} (y,x_{k},t^{*} )=\dfrac{E_{1} }{1-\nu ^{2} }
\bigl[ \bigl(p_{x}^{0} (x_{k} ,t^{*} )+\nu p_{z}^{0} (x_{k} ,t^{*} ) \bigr) - {}
\\
\hspace{3cm}
{}- \bigl(q_{x} (y)+\nu q_{z} (y)\bigr) - \bigl(p_{x} (y,x_{k},t^{*} )+\nu p_{z} (y,x_{k},t^{*} ) \bigr) \bigr],
\\
\sigma _{z} (y,x_{k},t^{*} )=\dfrac{E_{1} }{1-\nu ^{2} }
\bigl[ \bigl(p_{z}^{0} (x_{k} ,t^{*} )+\nu p_{x}^{0} (x_{k} ,t^{*} ) \bigr) -{}
\\
\hspace{3cm}
{}- \bigl(q_{z} (y)+\nu q_{x} (y) \bigr) - \bigl(p_{z} (y,x_{k} ,t^{*} )+\nu p_{x} (y,x_{k} ,t^{*} ) \bigr)
\bigr].
\end{array}
\end{equation} \tag{23} \]

При этом, чтобы найти ОН после температурной разгрузки с температуры $T_{1}$ до температуры $T_{0}$, достаточно в (23) $E(T_{1})=E_{1}$ заменить на $E(T_{0})=E_{0}$.

В качестве замечания отметим, что температурная разгрузка для образца с надрезами осуществляется аналогично формуле (23), но для всех компонент тензора напряжений, сформированных к моменту времени $t=t^*$, умножением фактически на коэффициент $E_0/E_1$.

6. Результаты расчетов и их анализ

Численное исследование кинетики ОН при температурно-силовом нагружении поверхностно упрочненного призматического образца размерами $150{\times}10{\times}10$ мм с полукруглыми надрезами радиуса $\rho=\{0.1; 0.3\}$ мм из сплава ЭП742 проводилось при его вращении в условиях высокотемпературной ползучести материала при температуре 650 °C. Расположение одиночного полукруглого надреза $\rho $ предполагалось на расстоянии $x=\{2; 75\}$ мм от левой грани призматического образца (см. рис. 1). Рассматриваемый процесс упрочнения осуществлялся при нормальной («комнатной») температуре $T_{0}=20\,{}^\circ$C (модуль Юнга $E(T_{0})=E_{0}= 2.21 \cdot 10^{5}$ МПа). Расчет релаксации ОН проводился при температуре $T_{1}= 650\,{}^\circ$C (модуль Юнга $E(T_{1})=E_1=1.79 \cdot 10^{5}$ МПа) при угловой скорости вращения $\omega=\{1500; 2000\}$ об/мин и выдержке при температурно-силовом нагружении 100 ч. Коэффициент Пуассона $\nu=0.3$ полагался не зависящим от температуры. Для учета действия массовых сил при вращении упрочненного образца были заданы плотность $\rho_\text{сп}= 8320$ кг/м$^{3}$ для сплава ЭП742 и ускорение свободного падения $g=9.81$ м/с$^{2}$. Численные значения геометрических параметров (см. рис. 1) следующие: $R_1= 517$ мм, $R_2=667$ мм, $L=150$ мм, $H=10$ мм.

Ввиду того, что в рассматриваемой постановке задача представлена впервые, оценка адекватности разработанного метода расчета кинетики ОН в первую очередь осуществлялась на примере упрочненного гладкого «бездефектного» образца, для чего полученные результаты расчета МКЭ сопоставлялись с данными работы [32], полученными методом сеток. Основное внимание было уделено изучению кинетики компоненты $\sigma_x=\sigma_x(h,t)$ при фиксированных значениях $x=2$ и 7 мм, где $h=y-\rho$ — глубина залегания ОН от дна надреза, т.е. в минимальном сечении образца. На всех последующих рисунках представлена кинетика эпюр ОН $\sigma_x=\sigma_x(h,t)$ для следующих расчетных моментов времени:

1. после поверхностного упрочнения образца при температуре $T_{0}=20\,{}^\circ$C в момент времени $t=0-0$ (данные соответствуют кривой 1);
2. после «мгновенного» прогрева упрочненного образца при температуре $T_1=650\,{}^\circ$C в момент времени $t=0 + 0$ (данные соответствуют кривой 2);
3. при силовом нагружении образца от вращения с угловой скоростью $\omega$ при температуре $T_1=650\,{}^\circ$C в момент времени $t=0 + 0$ (данные соответствуют кривой 3);
4. при температурно-силовом нагружении образца угловой скоростью $\omega$ при температуре $T_1=650\,{}^\circ$C в условиях ползучести в момент времени $t=100 - 0$ ч (данные соответствуют кривой 4);
5. при силовой разгрузке образца при температуре $T_1=650\,{}^\circ$C в момент времени $t=100+0$ ч (данные соответствуют кривой 5);
6. при температурной разгрузке образца до температуры $T_{0}=20\,{}^\circ$C в момент времени $t=100+0$ ч (данные соответствуют кривой 6).

Ниже представлены результаты расчета кинетики ОН в поверхностно упрочненном гладком образце для компоненты $\sigma _{x}$, полученные с помощью МКЭ (рис. 5, a, рис. 6, a) и методом сеток (рис. 5, b, рис. 6, b) для случаев $\omega=1500$ об/мин в сечении $x= 75$ мм и $\omega=2000$ об/мин в сечении $x=0$ соответственно.

Рис. 5. Данные кинетики компоненты $\sigma _{x}$ в условиях ползучести при угловой скорости вращения 1500 об/мин в сечении $x=75$ мм, полученные для гладкого образца с помощью МКЭ (a) и методом сеток (b) [32]
[Figure 5. The kinetic data for the components $\sigma _{x} $ under creep conditions at an angular rotation speed of 1500 RPM in the section $x = 75$ mm, obtained for a smooth sample using FEM (a) and the mesh method (b) [32]. Calculated values: 1 — after the hardening procedure at 20 °C at time $t = 0 - 0$; 2 — after temperature loading up to 650 °C at time $t = 0 + 0$; 3 — after force loading from rotation at 650 °C at time $t = 0 + 0$; 4 — after creep under temperature-force loading at 650 °C at time $t = 100 - 0$ h; 5 — after force unloading at 650 °C at time $t = 100 + 0$ h; 6 — after temperature unloading to 20 °C at time $t = 100 + 0$ h]

Рис. 6. Данные кинетики компоненты $\sigma _{x}$ в условиях ползучести при угловой скорости вращения 2000 об/мин в сечении $x=0$ мм, полученные для гладкого образца с помощью МКЭ (a) и методом сеток (b) [32]
[Figure 6. The kinetic data for the components $\sigma _{x}$ under creep conditions at an angular rotation speed of 1500 RPM in the section $x = 75$ mm, obtained for a smooth sample using FEM (a) and the mesh method (b) [32]. The markers mean the same thing as in Figure 5]

При сравнении представленных графиков можно заметить хорошую согласованность полученных результатов расчета кинетики ОН по обеим методикам для гладкого поверхностно упрочненного образца, что в частном случае подтверждает адекватность разработанного численного метода расчета на основе метода конечных элементов.

Дальнейший анализ результатов кинетики ОН осуществлялся для случая температурно-силового нагружения упрочненного призматического образца при наличии концентратора напряжений в виде кругового надреза радиуса $\rho=\{0.1; 0.3\}$ мм при использовании упругой или упругопластической постановки задачи при реконструкции полей ОН после процедуры ОППД и использовании этих ОН как начальных при решении задачи о релаксации ОН в условиях ползучести. Анализ численных результатов кинетики ОН модельных расчетов для компоненты $\sigma _{x} $ выполнялся при угловой скорости вращения $\omega=\{1500; 2000\}$ об/мин в двух поперечных сечениях, где располагался полукруглый надрез радиуса $\rho $: при $x=2$ мм (сечение, близкое к «корневому» сечению) и при $x=75$ мм (центральное сечение). 

Ниже на рис. 7–14 приведены графики численного расчета кинетики компоненты $\sigma _{x} $, распределенной по глубине $h$ упрочненного образца с надрезом от дна концентратора в упругой (a) и упругопластической (b) постановках при значениях радиуса надреза $\rho=\{0.1; 0.3\}$ мм.

Рис. 7. Данные кинетики компоненты $\sigma _{x}$ в условиях ползучести при угловой скорости вращения 1500 об/мин в сечении $x=2$ мм для $\rho=0.1$ мм, полученные при упругом (a) и упругопластическом (b) решении
[Figure 7. The kinetic data for the components $\sigma _{x} $ under creep conditions at an angular velocity of 1500 RPM in the section $x = 2$ mm for $\rho = 0.1$ mm, obtained from the elastic solution (a) and the elastoplastic solution (b). The markers mean the same thing as in Figure 5]

Рис. 8. Данные кинетики компоненты $\sigma _{x}$ в условиях ползучести при угловой скорости вращения 1500 об/мин в сечении $x=75$ мм для $\rho=0.1$ мм, полученные при упругом (a) и упругопластическом (b) решении
[Figure 8. The kinetic data for the components $\sigma _{x} $ under creep conditions at an angular velocity of 1500 RPM in the section $x = 75$ mm for $\rho = 0.1$ mm, obtained from the elastic solution (a) and the elastoplastic solution (b). The markers mean the same thing as in Figure 5]

Рис. 9. Данные кинетики компоненты $\sigma _{x}$ в условиях ползучести при угловой скорости вращения 2000 об/мин в сечении $x=2$ мм для $\rho=0.1$ мм, полученные при упругом (a) и упругопластическом (b) решении
[Figure 9. The kinetic data for the components $\sigma _{x} $ under creep conditions at an angular velocity of 2000 RPM in the section $x = 2$ mm for $\rho = 0.1$ mm, obtained from the elastic solution (a) and the elastoplastic solution (b). The markers mean the same thing as in Figure 5]

Рис. 10. Данные кинетики компоненты $\sigma _{x}$ в условиях ползучести при угловой скорости вращения 2000 об/мин в сечении $x=75$ мм для $\rho=0.1$ мм, полученные при упругом (a) и упругопластическом (b) решении
[Figure 10. The kinetic data for the components $\sigma _{x} $ under creep conditions at an angular velocity of 2000 RPM in the section $x = 75$ mm for $\rho = 0.1$ mm, obtained from the elastic solution (a) and the elastoplastic solution (b). The markers mean the same thing as in Figure 5]

Рис. 11. Данные кинетики компоненты $\sigma _{x} $ в условиях ползучести при угловой скорости вращения 1500 об/мин в сечении $x=2$ мм для $\rho=0.3$ мм, полученные при упругом (a) и упругопластическом (b) решении
[Figure 11. The kinetic data for the components $\sigma _{x} $ under creep conditions at an angular velocity of 1500 RPM in the section $x = 2$ mm for $\rho = 0.3$ mm, obtained from the elastic solution (a) and the elastoplastic solution (b). The markers mean the same thing as in Figure 5]

Рис. 12. Данные кинетики компоненты $\sigma _{x}$ в условиях ползучести при угловой скорости вращения 1500 об/мин в сечении $x=75$ мм для $\rho=0.3$ мм, полученные при упругом (a) и упругопластическом (b) решении
[Figure 12. The kinetic data for the components $\sigma _{x} $ under creep conditions at an angular velocity of 1500 RPM in the section $x = 75$ mm for $\rho = 0.3$ mm, obtained from the elastic solution (a) and the elastoplastic solution (b). The markers mean the same thing as in Figure 5]

Рис. 13. Данные кинетики компоненты $\sigma _{x}$ в условиях ползучести при угловой скорости вращения 2000 об/мин в сечении $x=2$ мм для $\rho=0.3$ мм, полученные при упругом (a) и упругопластическом (b) решении
[Figure 13. The kinetic data for the components $\sigma _{x} $ under creep conditions at an angular velocity of 2000 RPM in the section $x = 2$ mm for $\rho = 0.3$ mm, obtained from the elastic solution (a) and the elastoplastic solution (b). The markers mean the same thing as in Figure 5]

Рис. 14. Данные кинетики компоненты $\sigma _{x}$ в условиях ползучести при угловой скорости вращения 2000 об/мин в сечении $x=75$ мм для $\rho=0.3$ мм, полученные при упругом (a) и упругопластическом (b) решении
[Figure 14. The kinetic data for the components $\sigma _{x} $ under creep conditions at an angular velocity of 2000 RPM in the section $x = 75$ mm for $\rho = 0.3$ mm, obtained from the elastic solution (a) and the elastoplastic solution (b). The markers mean the same thing as in Figure 5]

По полученным результатам распределения ОН от дна концентратора по высоте $y$ можно сделать вывод о том, что для компоненты $\sigma _{x} $, когда радиус надреза $\rho $ не превышает толщину упрочненного слоя $h= 250$ мкм ($\rho=0.1$ мм), решения задачи в упругой и упругопластической постановках имеют серьезные отличия по уровню и характеру распределения этой величины для всех расчетных моментов времени $t$. Как следует из рис. 7–10, при решении упругой задачи о формировании ОН после ОППД при $\rho=0.1$ мм наблюдаются далекие от реальности ОН, значения которых в области дна концентратора более чем в два раза превышают предел прочности материала. Это служит обоснованием использования упругопластической постановки задачи после ОППД. При величине надреза $\rho=0.3$ мм, т. е. когда величина $\rho$ больше толщины области сжатия упрочненного слоя, решения в упругой и упругопластической постановках дают практически близкие результаты (см. рис. 11–14).

Из анализа представленных графиков кинетики компоненты $\sigma _{x} $ в поверхностно упрочненном образце с надрезом также видно, что несмотря на наличие надреза (концентратора напряжений) и возникающих вследствие вращения растягивающих напряжений, интенсивность которых доходит до 500 МПа (кривая 4 на рис. 13), при температурно-силовой разгрузке в наименьших поперечных сечениях изучаемого образца все еще наблюдаются сжимающие ОН. Интересный результат получен для распределения ОН при решении задачи в упругопластической постановке для $\rho=0.1$ мм (см. рис. 7–10 с меткой b). Здесь максимальное по модулю значение ОН после полного цикла «реконструкция ОН после ОППД при температуре 20 °C – температурно-силовая нагрузка – ползучесть в течение $t^*=100$ час при температуре 650 °C – температурно-силовая разгрузка» наблюдается не на дне концентратора ($h=0$), а на глубине $h\approx0.04$ мм. Кроме того, после полного цикла нагружения уровень ОН мало изменился, для этого достаточно сравнить кривые 1 и 6 на рис. 7–10 с меткой b. Аналогичная картина для релаксации остаточных напряжений наблюдается и при $\rho=0.3$ мм, для этого также достаточно сравнить кривые 1 и 6 на рис. 11–14 с меткой b.

7. Выводы

1. Разработан численный метод расчета кинетики остаточных напряжений во вращающемся поверхностно упрочненном призматическом образце со сквозным одиночным надрезом полукруглого профиля в условиях высокотемпературной ползучести при температурно-силовом нагружении, основанный на известном напряженно-деформированном состоянии для гладкого образца и технологии опережающего поверхностного пластического деформирования.
2. На примере сравнения численных решений задач кинетики остаточных напряжений во вращающемся гладком поверхностно упрочненном призматическом образце методом сеток и методом конечных элементов в условиях температурно-силового нагружения с выдержкой по времени до 100 ч при температуре $650\,{}^\circ$C и с его последующей полной разгрузкой обоснована адекватность разработанного метода расчета на основе МКЭ.
3. На основе сравнительного анализа решения задач оценки кинетики остаточных напряжений в упрочненном призматическом образце с надрезом обоснована постановка задачи релаксации ОН в рамках теории упругопластического деформирования после ОППД для радиусов надрезов меньших, чем толщина упрочненного слоя в области сжатия.
4. Показано, что несмотря на существенный процесс релаксации остаточных напряжений для всех рассматриваемых случаев образцов с круговым надрезом радиуса $\rho=\{0.1; 0.3\}$ мм, после полной температурно-силовой разгрузки в них все еще наблюдается значительный уровень остаточных сжимающих напряжений, что свидетельствует об эффективности поверхностного упрочнения и в условиях высокотемпературной ползучести.

Конкурирующие интересы. У нас нет конфликта интересов в отношении авторства и публикации этой статьи.
Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Финансирование. Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23–29–00434, https://rscf.ru/project/23-29-00434/.

About the authors

Vladimir P. Radchenko

Samara State Technical University

Author for correspondence.
Email: radchenko.vp@samgtu.ru
ORCID iD: 0000-0003-4168-9660
SPIN-code: 1823-0796
Scopus Author ID: 7004402189
ResearcherId: J-5229-2013
http://www.mathnet.ru/person38375

Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Head of Department; Dept. of Applied Mathematics & Computer Science

Russian Federation, 443100, Samara, Molodogvardeyskaya st., 244

Mikhail N. Saushkin

Samara State Technical University

Email: saushkin.mn@samgtu.ru
ORCID iD: 0000-0002-8260-2069
SPIN-code: 9740-1416
Scopus Author ID: 35318659800
ResearcherId: A-8120-2015
https://www.mathnet.ru/person38368

Cand. Phys. & Math. Sci.; Associate Professor; Dept. of Applied Mathematics & Computer Science

Russian Federation, 443100, Samara, Molodogvardeyskaya st., 244

Dmitry M. Shishkin

Syzran’ Branch of Samara State Technical University

Email: shishkin.dim@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0003-3205-2262
https://www.mathnet.ru/person164459

Cand. Techn. Sci.; Associate Professor; Dept. of General Theoretical Disciplines

Russian Federation, 446001, Samara region, Syzran, Sovetskaya str., 45

References

Supplementary files