Том 23, № 2 (2019)

На 4-многообразии конформной связности без кручения нулевой сигнатуры (--++) найдены условия, при которых матрица конформной кривизны является дуальной (автодуальной или антиавтодуальной). Они представляют собой пять дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка на 10 коэффициентов угловой метрики и четыре дифференциальных уравнения с частными производными 1-го порядка, содержащие еще и 3 коэффициента внешней 2-формы заряда одной из компонент матрицы конформной кривизны. Составлены уравнения дуальности для метрики диагонального вида. Они образуют систему из пяти дифференциальных уравнений 2-го порядка на три неизвестных функции от всех четырех переменных. Найдены несколько серий решений этой системы. В частности, получены все решения для логарифмически полиномиальной метрики диагонального вида, то есть для диагональной метрики, коэффициенты которой являются экспонентами от многочленов четырех переменных.

Получены новые представления трехмерного асимметричного тензора напряжений и соответствующие им формы дифференциальных уравнений равновесия. Асимметричные теории механики деформируемого твердого тела по прежнему привлекают пристальное внимание в связи с необходимостью математического моделирования механического поведения современных материалов (например, ауксетиков с помощью теорий гемитропной микрополярной упругости). Исследование ограничивается только такими асимметричными тензорами второго ранга, для которых удается сохранить понятие о вещественных собственных значениях, но отказаться от взаимной ортогональности направлений главного триэдра. Обсуждается точная алгебраическая формулировка указанных условий асимметричности. В статье обобщаются тензорные представления симметричного тензора напряжений, основанные на естественном репере асимптотических направлений. Полученные результаты являются ярким свидетельством в пользу алгебраической «гиперболичности» симметричных и асимметричных тензоров второго ранга в трехмерном пространстве.

Целью исследования является изучение процессов накопления необратимых деформаций посредством разных механизмов: ползучести и пластического течения. При росте напряжений в теле за счет механического воздействия на него первоначально необратимые деформации производятся за счет вязких свойств материала деформируемого тела в качестве деформаций ползучести, а при выходе напряженных состояний на поверхность нагружения механизм их производства меняется на пластический. При разгрузке последовательность, наоборот, меняется с быстрого пластического на медленный вязкий. Непрерывность в таком росте необратимых деформаций обеспечивается соответствующим заданием потенциалов ползучести и пластичности. Данные процессы рассматриваются в рамках математической теории малых деформаций на примере одномерной задачи о деформировании вязкоупругопластического полого шара под действием изменяющегося со временем всестороннего давления. Рассмотрены процессы ползучести и пластического течения при увеличивающемся давлении, пластическое течение при постоянном давлении, разгрузка среды при уменьшении давления и повторное пластическое течение при разгрузке. Установлены закономерности продвижения упругопластических границ в материале полого шара. Рассчитаны параметры напряженно-деформированного состояния среды, исследована релаксация напряжений после разгрузки.

Исследуются арсенал возможностей и индикаторы границы области применимости линейного интегрального определяющего соотношения вязкоупругости Больцмана-Вольтерры с двумя произвольными материальными функциями (сдвиговой и объемной ползучести) для изотропных реономных материалов, пренебрегающего влиянием шаровой и девиаторной частей тензоров напряжений и деформаций друг на друга и влиянием их третьих инвариантов. Аналитически изучены общие свойства семейств кривых объемной, продольной и поперечной ползучести и коэффициента поперечной деформации («коэффициента Пуассона»), порождаемых этим соотношением при одноосном нагружении постоянной нагрузкой в сочетании с постоянным гидростатическим давлением, и их зависимость от качественных характеристик функций ползучести и уровней осевого напряжения и давления. Показано, что объемная ползучесть и давление могут существенно изменить качественное поведение кривых осевой и поперечной ползучести и коэффициента Пуассона. Доказано, что линейная теория вязкоупругости способна моделировать немонотонное изменение и знакопеременность поперечной деформации и коэффициента Пуассона даже при нулевом давлении, а осевой деформации - при достаточно большом давлении; исследованы условия наличия у них точек экстремума и перегиба. Исследованы выражения для коэффициента Пуассона и параметра вида деформированного состояния через отношение функций ползучести, время и отношение давления к осевому напряжению. Получены общие точные оценки для диапазона изменения коэффициента Пуассона, условия его монотонности и немонотонности в зависимости от времени и критерий его отрицательности. В результате анализа обнаружен ряд характерных общих свойств семейств кривых ползучести и зависимости коэффициента Пуассона от времени и относительной величины давления, которые удобно проверять в испытаниях материалов и использовать как индикаторы границы области линейного поведения (индикаторы неприменимости линейной теории вязкоупругости) по данным серии испытаний материала на ползучесть при совместном действии растягивающей силы и гидростатического давления. Исследованы специфические свойства кривых ползучести, порождаемых линейной теорией вязкоупругости в сочетании с предположением об упругом изменении объема, и соответствующие индикаторы неприменимости подобной модели (с одной материальной функцией).

Рассматривается вычислительная процедура реализации альтернансного метода оптимизации применительно к задаче полубесконечного программирования. К таким задачам сводятся многочисленные прикладные проблемы оптимизации объектов с распределенными и сосредоточенными параметрами: робастная параметрическая оптимизация динамических систем, параметрический синтез систем управления и т.п. Поскольку вычисления по альтернансному методу оптимизации достаточно затруднительны, так как сводятся к решению, как правило, трансцендентной системы определяющих уравнений, предлагается эффективный по вычислительной сложности вариант реализации вычислительной процедуры. Для снижения сложности вычислительной процедуры используются установленные альтернансным методом свойства точек экстремума критерия оптимальности в области допустимых значений переменных. Эти свойства позволяют сформировать топологию этой области и тем самым минимизировать количество обращений к ней в ходе поисковой процедуры. Предложенный вычислительный метод особенно эффективен для невыпуклых и негладких критериев оптимальности, к которым приводят технологически обоснованные постановки задач полубесконечной оптимизации. Разработан пошаговый алгоритм подготовки данных и выполнения вычислений, пригодный для реализации на большинстве языков программирования. Исследована эффективность алгоритма, которая тем выше, чем большее количество параметров входит в вектор управления и чем выше размерность области оптимизации. Предложена оценка вычислительной сложности вычислительной процедуры альтернансного метода оптимизации, которая позволяет определить эффективность применения предлагаемого алгоритма для решения задачи оптимального управления технологическим объектом управления.

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений хорошо известно уравнение Клеро. Это уравнение представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение, неразрешенное относительно производной. Нахождение общего решения уравнения Клеро подробно описано в литературе, и известно, что оно представляет собой семейство интегральных прямых. Однако наряду с общим решением для таких уравнений существует сингулярное (особое) решение, представляющее собой огибающую данного семейства интегральных прямых. Отметим, что сингулярное решение уравнения Клеро представляет определенный интерес в ряде прикладных задач.Помимо обыкновенного дифференциального уравнения Клеро известно дифференциальное уравнение первого порядка в частных производных типа Клеро. Данное уравнение представляет собой многомерное обобщение обыкновенного дифференциального уравнения Клеро на случай, когда искомая функция зависит от многих переменных. Задача нахождения общего решения для уравнений типа Клеро в частных производных решена. Известно, что полный интеграл уравнения представляет собой семейство интегральных (гипер)плоскостей. Помимо общего решения могут существовать частные решения, а в некоторых случаях удается найти сингулярное решение. Общего алгоритма нахождения сингулярного решения, вообще говоря, не существует, поскольку задача сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений.В статье изучается проблема нахождения сингулярного решения дифференциального уравнения типа Клеро в частных производных для частного выбора функции от производных в правой части. Работа устроена следующим образом. Во введении дан краткий обзор некоторых современных результатов, относящихся к исследованию уравнений типа Клеро в теории поля и классической механике. В первой части даются общие сведения о дифференциальных уравнениях типа Клеро в частных производных и структуре его общего решения. В основной части работы обсуждается метод нахождения сингулярных решений многомерных дифференциальных уравнений типа Клеро. Основным результатом работы является нахождение сингулярных решений уравнений, содержащих степенную и показательную функции.