Том 17, № 4 (2013)

Приведён обзор результатов о многообразиях линейных алгебр полиномиального роста. Приводятся эквивалентные условия полиномиальности роста многообразий ассоциативных алгебр, многообразий алгебр Ли, многообразий алгебр Лейбница, многообразий алгебр Пуассона и многообразий алгебр Лейбница—Пуассона. Показано, что при изучении многообразий линейных алгебр полиномиального роста важную роль играют многообразия почти полиномиального роста.

Изучены регулярные и иррегулярные особые кривые специальной системы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. С помощью понятия ранга и антиранга установлены необходимое и достаточное условия существования регулярного решения, первые и вторые необходимые условия существования нормально-регулярного решения. Определены виды решения вблизи регулярных и иррегулярных особенностей. Рассмотрено конкретное применение, связанное со специальными функциями двух переменных. Результаты данной работы докладывались на Третьей Международной конференции «Математическая физика и её приложения» (27 августа – 1 сентября 2012 г., г. Самара)

Рассматриваются вопросы обобщённой разрешимости смешанной задачи для нелинейного дифференциального уравнения с параболическим оператором высокой степени. Используется метод разделения переменных.

Разработана модель слоя тканого композита полотняного плетения с поликристаллической матрицей. При двухосном равнокомпонентном макродеформировании на основе численного решения краевых задач методом конечных элементов определены коэффициенты концентрации напряжений, вызванные наличием локальных технологических дефектов в виде разрыва нитей утка и закрытых пор. Численное решение краевых задач методом конечных элементов проведено с использованием некоммерческого пакета Code-Aster, входящего в состав платформы SALOME-MECA. Определены области внутри слоя тканого композита, в которых коэффициенты концентрации напряжений достигают максимальных значений. Установлено, что контакт с трением между нитями армирующего каркаса (по сравнению с обеспечением условий наличия гарантированного слоя матрицы вокруг каждого волокна) является причиной значительного увеличения значений коэффициентов концентрации напряжений, а главными механизмами, инициирующими разрушение поликристаллической матрицы, являются сдвиги. Показано, что с помощью технологических операций, обеспечивающих заполнение материалом матрицы полостей локальных дефектов, можно снизить концентрацию напряжений и повысить способность материала сопротивляться внешнему силовому воздействию.

В работе отмечена аналогия между уравнениями механики неоднородной поликристаллической среды и уравнениями квантовой теории рассеяния частиц на силовых центрах, в частности рассеяния электронов проводимости в металлическом сплаве на атомах примесей. Эта аналогия позволяет применить методы решения уравнений квантовой теории поля к решению уравнений механики деформируемого твёрдого тела для неоднородной среды. Рассмотрено применение метода Корринги—Кона—Ростокера, используемого в квантовой теории электронов проводимости, для вычисления полей напряжений и деформаций в многофазном поликристалле. Метод даёт возможность проследить эволюцию напряжённого состояния каждого отдельного кристаллита в процессе макродеформирования, при этом состояние всего поликристаллического тела представляется суперпозицией состояний кристаллитов. В качестве иллюстрации показано, что метод даёт новое решение для классической задачи определения эффективных модулей упругости неоднородной среды.

Рассмотрена проблема поиска оптимальной конфигурации обманных систем для защиты корпоративной сети. Авторами проанализирован стандартный подход к решению данной задачи. Предложена математическая модель компьютерной сети предприятия, содержащей ложные цели. Предложен критерий оптимизации конфигурации ложных целей, учитывающий динамику атакующего воздействия на сеть. Приведены постановка и решение соответствующей задачи оптимизации. Предложена процедура нахождения оптимальной конфигурации. Даны рекомендации по применению полученных результатов на практике.

C использованием двукратного интегрального преобразования Лапласа—Карсона и ортогонального метода Бубнова—Галёркина получено аналитическое решение нестационарной задачи теплообмена при течении жидкости в цилиндрическом канале. Показано, что решение задачи разделяется на две составляющие — стационарную и нестационарную, каждая из которых применима лишь в определённом диапазоне временной и пространственной координат. Для стационарной задачи (задача Гретца—Нуссельта) путём совместного применения методов Фурье и Бубнова—Галёркина с использованием дополнительных граничных условий получено приближённое аналитическое решение, позволяющее выполнять оценку температурного состояния жидкости при малых значениях пространственной переменной, направленной вдоль течения потока. Получение таких результатов на основе использовании известных точных аналитических методов ввиду плохой сходимости бесконечных рядов получаемых решений не представляется возможным.

The short history is presented of the very notion “black hole”. The global geometry of the general spherically symmetric space-time is described. Einstein equations for spherical gravity are derived. The causal structure of the Schwarzschild black hole is investigated, and it is shown in details how to construct conformal Carter–Penrose diagrams that reveal visually such a structure. The Israel equations for self-gravitating thin shells are obtained and the modified gravitational Newton’s law is investigated. Very simple and instructive derivation of the Vaidya metrics describing the spherically symmetric gravitating radiation is given. As an application of the theory described above the problem if the real (not virtual) static Schwarzschild observer is solved. The essay is prepared following a series of lectures, read by the author at the Third International Conference “Mathematical Physics and Its Applications” (August 27 — September 1, 2012, Samara, Russia) Translated from Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2013, Issue 3(32), Pages 147–184; DOI: 10.14498/vsgtu1230.

Устанавливается справедливость равенства, которое даёт выражение для суммы взвешенных одинаковых степеней членов арифметической прогрессии в комбинаторном виде. Этот вид предусматривает использование двойного суммирования определённых алгебраических комбинаций со свободными и весовыми компонентами данной суммы. Указанные алгебраические комбинации включают в себя также биномиальные коэффициенты. Определение искомого равенства выполнялось с использованием сравнения истинных и гипотетических величин.