Том 16, № 4 (2012)

Исследована однозначная разрешимость внутреннекраевой задачи с операторами Сайго для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками. При ограничениях неравенственного типа на известные функции и различных порядках операторов обобщённого дробного интегро-дифференцирования доказана теорема единственности. Существование решения задачи эквивалентно редуцировано к вопросу разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

Исследуется многомерная обратная задача определения пространственной части ядра интегрального члена в интегро-дифференциальном волновом уравнении. При этом прямую задачу представляет начально-краевая задача для этого уравнения с нулевыми начальными данными и граничным условием Неймана в виде дельта-функции Дирака, сосредоточенной на границе области $(x, t) \in \mathbb R^{n+1}$, $z > 0$. В качестве информации для решения обратной задачи на границе рассматриваемой области задаются следы решения прямой задачи. Существенным моментом постановки задачи является то обстоятельство, что все заданные функции предполагаются вещественными аналитическими функциями действительных переменных $x \in \mathbb R^n$. Основной результат работы заключается в получении теоремы локальной однозначной разрешимости обратной задачи в классе функций, непрерывных по переменной $z$ и аналитических по остальным пространственным переменным. Для этого с использованием метода выделения особенностей прямая задача заменяется начально-краевой задачей для регулярной части решения этой задачи. Далее прямая и обратная задачи сводятся к решению эквивалентной системы интегро-дифференциальных уравнений вольтерровского типа. Для решения последней применяется метод шкал банаховых пространств вещественных аналитических функций действительного переменного.

Исследуются предельные формы распределения длины максимальной серии «успехов» в двоичных случайных последовательностях, образуемых в цепи Бернулли—Маркова и в одной схеме Пойа, эквивалентной локальным трендам временного ряда строго стационарного процесса. Предлагается упрощённое и дополненное доказательство предельных теорем для серий обоих типов. Для серий второго типа установлен эффект циклического биморфизма предельного закона с вырождением на одной из фаз и сходимость по вероятности на множестве не более четырёх соседних значений натурального ряда.

Предложен метод решения краевой задачи ползучести балки и длительной прочности в условиях чистого изгиба на основе структурной модели стержневого типа. Введён энергетический критерий разрушения локального элемента. Выполнен сравнительный анализ расчётных данных по структурной модели и экспериментальных значений кривизны балки прямоугольного сечения из алюминиевого сплава Д16Т при $T = \rm 250~^\circ C$ в различные моменты времени. Наблюдается соответствие расчётных и экспериментальных данных. Кроме этого, выполнено сопоставление расчётных данных по предложенному методу с аналогичными данными по феноменологической модели ползучести энергетического типа.

Рассмотрены тензорные модели накопления повреждений для изотропных материалов. Определены материальные функции неупругого деформирования алюминиевого сплава Д16Т на основе экспериментальных данных, полученных в опытах на растяжение, кручение, растяжение с кручением при различных соотношениях осевых и сдвиговых деформаций. Предложены аппроксимации опытных данных аналитическими выражениями, включающими в себя зависимость от первого и второго инвариантов тензора деформаций. Сопоставление экспериментальных и теоретических зависимостей свидетельствует об адекватности предложенных математических моделей.

Предлагается эффективный алгоритм статического расчёта геометрически нелинейных составных тонкостенных конструкций. Используются линейные дифференциальные соотношения моментной теории. Нелинейность учитывается путём осуществления заранее не известного начального углового смещения каждого участка, сохраняющего форму образующей. Неизвестными разрешающей системы алгебраических уравнений являются произвольные постоянные общего решения и начальные углы поворота образующих. Линеаризация осуществляется итерационным методом Ньютона—Рафсона и обеспечивает высокую точность результатов.

Исследована континуальная перколяция жёстких вытянутых эллипсоидов вращения с проницаемой оболочкой, которая может служить моделью фазового перехода золь–гель. Эллипсоиды случайным образом помещаются в куб. Для каждого набора параметров проводится 100 испытаний. Для каждого испытания главной задачей является нахождение перколяционного кластера. Та доля заполнения системы, при которой вероятность возникновения перколяционного кластера равна 0,5, называется порогом перколяции. Значение порога перколяции соответствует точке геля. Получена зависимость значения порога перколяции от толщины проницаемой оболочки и аспектного отношения эллипсоида. Кроме порога перколяции рассчитаны другие характеристики модели: распределение кластеров по размерам, средний размер кластера, мощность и фрактальная размерность перколяционного кластера, среднее значение и распределение соседей элемента, критические показатели.

Предложен новый подход к генерации пары исходных пучков для поляризационного конвертора, работа которого основана на суммировании двух пучков с противоположными направлениями круговых поляризаций. Для формирования пары сопряженных вихревых пучков, согласованных с лазерными модами, используется бинарный дифракционный оптический элемент (ДОЭ). При этом один бинарный элемент выполняет одновременно две функции: формирователя и делителя пучка. Проведено сравнение двух конфигураций оптических систем по сложности юстировки и энергетической эффективности. Рассчитаны и изготовлены соответствующие ДОЭ. Проведены натурные эксперименты, демонстрирующие формирование векторных цилиндрических пучков высокого порядка.

Исследовано влияние температуры горячей штамповки на структурное состояние латуни 59Cu−3,5 Mn−2,5Al−0,5Fe−0,4Ni и характер разрушения блокирующих колец синхронизатора коробки перемены передачи легкового автомобиля. Показано, что отсутствие пластичной $\alpha$-фазы в исследованном сплаве в сочетании с высокой температурой нагрева ($780~^\circ \rm C$) перед штамповкой приводит к межзёренному хрупкому разрушению под действием остаточных напряжений. Снижение температуры штамповки до $700~^\circ C$ при том же структурном состоянии латуни исключает растрескивание колец под действием остаточных напряжений и изменяет характер разрушения под действием изгибающей нагрузки с камневидного на ямочный.

Рассмотрены математические средства шифрования исходного текста, позволяющие обеспечить простоту соответствующей расшифровки, которая восстанавливает последовательность целочисленных весовых коэффициентов. Составитель шифра проверяет, как выполняется условие выделимости этих коэффициентов. Правило выделения предусматривает использование операций нижнего или верхнего округления. Сформированный шифр представляется значениями конечных сумм.

Для полного уравнения гиперболического типа третьего порядка с переменными коэффициентами в бесконечной прямоугольной области поставлена задача с двумя интегральными условиями и сопряжением на характеристической плоскости (задача I). В качестве вспомогательной задачи авторами решается методом Римана задача Дарбу, вид решения которой значительно упрощается за счет специального представления одного из краевых условий. Принимая за основу решение задачи Дарбу, авторы сводят поставленную задачу I к однозначно разрешимому интегральному уравнению, что позволяет получить в явном виде решение задачи I.

Рассмотрены проблемы определения толщины сжимаемого слоя основания при математическом моделировании систем «здание – фундамент – основание» на фундаментных плитах больших размеров. Представлены результаты определения толщины сжимаемого основания численными методами и по аналитической методике.