Том 24, № 2 (2020)

Рассматривается нелинейное двумерное ортотропное уравнение фильтрации с дробной производной Римана–Лиувилля по времени. Доказывается, что такое уравнение может допускать группы точечных преобразований только линейно-автономного типа. Решается задача групповой классификации рассматриваемого уравнения по его точечным симметриям относительно коэффициентов пьезопроводности, являющихся функциями квадрата модуля градиента давления. Доказывается, что если порядок дробного дифференцирования меньше единицы, основная допускаемая уравнением группа точечных преобразований является четырехпараметрической и расширяется до пятипараметрической в изотропном случае. Для степенных зависимостей коэффициентов пьезопроводности допускаемая группа становится пятипараметрической в ортотропном случае и шестипараметрической в изотропном случае. Также выделяется специальный вид степенной зависимости коэффициентов, не имеющий аналога в случае классического уравнения фильтрации, при котором происходит дополнительное расширение группы оператором проективного преобразования. Для уравнения с порядком дробного дифференцирования $\alpha \in (1,2)$ размерности всех допускаемых групп оказываются на единицу больше за счет допускаемого оператора, соответствующего сдвигу решения на дополнительное частное решение этого уравнения.На основе проведенной групповой классификации для соответствующих алгебр Ли инфинитезимальных операторов групп точечных преобразований, допускаемых различными видами рассматриваемого нелинейного ортотропного дробно-дифференциального уравнения, выписываются представления инвариантно-групповых решений, соответствующие оптимальным системам двумерных подалгебр. Приводятся примеры уравнений, получающихся в результате симметрийной редукции исходного дробно-дифференциального уравнения, а также некоторые их решения. Доказывается, что рассматриваемое дробно-дифференциальное уравнение фильтрации является нелинейно самосопряженным, что дает возможность строить его законы сохранения. Соответствующие компоненты всех найденных сохраняющихся векторов приводятся в явном виде.

Данная статья представляет собой аналитический обзор экспериментальных и теоретических исследований ползучести и длительной прочности металлов при нестационарных сложных напряженных состояниях, опубликованных за последние 60 лет. Первые систематические исследования ползучести металлов при сложном напряженном состоянии были опубликованы в конце 50-х и начале 60-х годов ХХ века в Советском Союзе (Л. М. Качанов и Ю. Н. Работнов) и Великобритании (A. E. Johnson). Пионерские работы по длительной прочности впервые появились в СССР (Л. М. Качанов и Ю. Н. Работнов). Впоследствии Ю. Н. Работнов разработал кинетическую теорию ползучести и длительной прочности, с помощью которой можно эффективно описывать различные особенности процесса ползучести металлов вплоть до разрушения при различных программах нагружения. В разных вариантах кинетической теории используются либо скалярный параметр поврежденности, либо векторный параметр, либо тензорный параметр, либо их комбинация. Вслед за работами М. Качанова и Ю. Н. Работнова механика континуального разрушения стала развиваться в Европе, в Азии и затем в США.В качестве основной связи компонент тензоров напряжений и деформаций ползучести принимается гипотеза пропорциональности девиаторов напряжений и девиаторов скоростей деформаций ползучести. При моделировании экспериментальных данных коэффициент пропорциональности в этой зависимости принимает разные формы. Основная проблема в развитии данного направления состоит в трудностях получения экспериментальных данных при произвольных программах нагружения.В данном обзоре приведены основные результаты исследований, проводимых учеными разных стран. Кроме Ю. Н. Работнова и Л. М. Качанова, существенный вклад в развитие рассматриваемого направления науки внесли также российские ученые Н. Н. Малинин, А. А. Ильюшин, В. С. Наместников, С. А. Шестериков, А. М. Локощенко, О. В. Соснин, Ю. П. Самарин, А. Ф. Никитенко и др.

Рассмотрена система с повторными вызовами (RQ-система), на вход которой поступает простейший поток с заданной интенсивностью. Если в момент обращения заявки прибор занят, то происходит вытеснение заявки, стоящей на приборе. Заявка, не успевшая успешно обслужиться, переходит на орбиту, чтобы после случайной экспоненциальной задержки вновь обратиться к прибору для обслуживания. Дообслуживание заявки подразумевает, что в момент обращения с орбиты к прибору заявка встает на ту фазу обслуживания, с которой была прервана. Показано, что асимптотическая характеристическая функция числа заявок на орбите и состояний прибора сходится к трехмерному гауссовскому распределению. Для данного распределения получен вектор средних значений и матрица ковариаций. Найдено стационарное распределение вероятностей состояний прибора.

Найдено новое точное решение уравнений движения вязкого газа для плоского стационарного сдвигового течения горячего (800–1500 K) газа между движущимися с разными скоростями параллельными пластинами (аналог несжимаемого течения Куэтта). Одна из пластин считалась теплоизолированной. Для зависимости коэффициента вязкости от температуры принята формула Сазерленда. В отличие от других известных точных решений, вместо аналогии Рейнольдса (предположение о линейной связи между коэффициентами вязкости и теплопроводности) для вычисления коэффициента теплопроводности использована более точная формула, имеющая в рассматриваемом диапазоне температур ту же точность, что и формула Сазерленда (2 %). С использованием полученного точного решения исследовано качественное влияние сжимаемости на напряжение трения и на профили температуры и скорости. Показано, что (если одна из пластин теплоизолирована) сжимаемость газа приводит к увеличению напряжения трения. Проведено сравнение нового точного решения с известным точным решением (V. N. Golubkin, G. B. Sizykh, 2018), полученным с использованием формулы Сазерленда для коэффициента вязкости и аналогии Рейнольдса для коэффициента теплопроводности. Обнаружено, что оба решения приводят к одинаковым выводам о качественном влиянии сжимаемости на напряжение трения и на профили температуры и скорости. Однако прирост напряжения трения, вызванный сжимаемостью, при использовании аналогии Рейнольдса оказался недооцененным в два раза. Это показывает, что предположение о линейной связи между коэффициентами вязкости и теплопроводности может приводить к заметным количественным ошибкам.

Предложен нелинейный подход описания колебания сферической капли на твердой поверхности. Интегрирование уравнений движений осуществляется без использования линеаризации тригонометрических функций, зависящих от угла контакта. Иными словами, угол контакта является произвольной конечной величиной. Проведено исследование влияние силы тяжести на угол контакта и радиус распространения капли по твердой поверхности. Таким образом, было найдено нелинейное уравнение, описывающее изменение радиуса распространения капли в зависимости от времени. Данное уравнение было численно проинтегрировано. Исследование численной сходимости осуществлялось посредством сравнения с известными модельными точными решениями и известными экспериментальными данными. На основании исследования методами численного интегрирования полученного в статье уравнения можно сделать вывод о целесообразности использования математической модели для описания и исследования новых физических эффектов при колебании капель.