Том 25, № 2 (2021)

Данная обзорная статья посвящена классу линейных уравнений с доминирующей частной производной вида \((D+M)u=f\), где \(Du\) — смешанная частная производная, а \(M\) — линейный дифференциальный оператор, содержащий производные функции \(u\), получаемые из $D$ отбрасыванием по крайней мере одного дифференцирования. Можно отметить структурное сходство таких уравнений с линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями. Излагается метод Римана для линейных уравнений с доминирующей частной производной, являющийся естественным обобщением хорошо известного метода Римана для гиперболического уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.

В статье изложены основные положения теории, разработанной для уравнения с доминирующей частной производной общего вида, позволяющие заинтересованному читателю применить полученные результаты
к интересующей его задаче.

Дается определение функции Римана как решения интегрального уравнения Вольтерры, приведено основное дифференциальное тождество, продемонстрирован процесс получения формулы решения задачи Коши в терминах функции Римана путем интегрирования указанного тождества по соответствующей области в \(n\)-мерном пространстве. Приведен пример построения решения задачи Коши для одного уравнения третьего порядка.

Далее излагается метод Римана для достаточно широкого класса линейных систем уравнений гиперболического типа (в том числе с кратными характеристиками). Данный метод идейно весьма близок к методу Римана для линейных уравнений с доминирующей частной производной.

Обсуждаются вопросы приложений метода Римана к исследованию новых задач для уравнений с частными производными. В частности, с использованием метода Римана доказана корректность новых граничных задач для факторизованных гиперболических уравнений, исследованы вопросы разрешимости интегральных уравнений с частными интегралами, определенная модификация метода Римана позволяет развивать метод Римана–Адамара для задач Дарбу. Представление решений гиперболических систем в явном виде в терминах матрицы Римана позволяет исследовать новые граничные задачи, в частности, задачи с заданием нормальных производных искомых функций на характеристиках, задачи с условиями на всей границе области, задачи Дарбу.

Изложенный здесь метод Римана для линейных уравнений с доминирующей частной производной очевидным образом переносится на матричные уравнения. В связи с этим указаны некоторые случаи, когда для таких матричных уравнений построена в явном виде (в терминах гипергеометрических функций) матрица Римана.

В работе дается обзор литературы, кратко излагается история развития данного направления в России и за рубежом.

Рассматривается теория потенциала для трехмерного эллиптического уравнения с одним сингулярным коэффициентом. В рассмотрение вводятся потенциалы двойного и простого слоев с неизвестной плотностью, которые выражаются через фундаментальное решение названного эллиптического уравнения. При исследовании этих потенциалов используются свойства гипергеометрической функции Гаусса.

Доказаны теоремы о предельных значениях введенных потенциалов и их конормальных производных, которые позволяют эквивалентным образом свести краевые задачи для сингулярных эллиптических уравнений к интегральному уравнению второго рода, к которому применима теория Фредгольма.

В качестве приложения изложенной теории в области, ограниченной координатной плоскостью \(x=0\) и поверхностью Ляпунова при \(x>0\), для трехмерного эллиптического уравнения с одним сингулярным коэффициентом решается задача Хольмгрена. Единственность решения поставленной задачи доказывается известным методом \(abc\), а существование — методом функции Грина, регулярная часть которой ищется в виде потенциала двойного слоя с временно неизвестной плотностью. Решение задачи Хольмгрена находится в виде, удобном для дальнейших исследований.

Приводятся результаты экспериментальных исследований высокотемпературной ползучести и длительной прочности в условиях одноосного и сложного напряженно-деформированного состояния: одноосное растяжение, кручение и их совместное действие.

Испытания проведены на лабораторных трубчатых образцах из материала ВТ6 при температуре 600\(\,^\circ\)C в состоянии поставки и в условиях воздействия агрессивной среды путем предварительного наводораживания лабораторных образцов с различной концентрацией водорода по массе \(\mathrm{C}_m\) равной 0.15 % и 0.3 %.

Представлена экспериментальная информация для построения материальных параметров и скалярных функций модели термоползучести с изотропно-кинематическим упрочнением, полученная из базовых экспериментов по определению: начального радиуса поверхности ползучести нулевого уровня (нулевая скорость ползучести); веера кривых ползучести при разных уровнях задаваемых напряжений с получением характеристик третьего участка на диаграмме ползучести, предшествующего разрушению образца при фиксированной температуре на заданном временном интервале; кривых ползучести при кручении до момента потери устойчивости в рабочей части образца. По результатам испытаний на одноосное нагружение выбрано два уровня интенсивности напряжений, при различном сочетании которых проведены эксперименты в условиях сложного нагружения.

Приводятся результаты экспериментальных исследований высокотемпературной ползучести и длительной прочности при нескольких различных программах изотермического нагружения в условиях сложного напряженно-деформированного состояния для образцов из сплава ВТ6 в состоянии поставки в условиях воздействия агрессивной среды. Полученная экспериментальная информация позволяет определить необходимые материальные параметры и провести верификацию используемой математической модели термоползучести.

Построено новое замкнутое решение осесимметричной нестационарной задачи для жесткозакрепленной круглой многослойной пластины в случае изменения температуры на ее верхней лицевой поверхности (граничные условия 1-го рода) и учета конвекционного теплообмена нижней лицевой поверхности с окружающей средой (граничные условия 3-го рода).

Математическая формулировка рассматриваемой задачи включает линейные уравнения равновесия и теплопроводности (классическая теория) в пространственной постановке в предположении, что при анализе работы исследуемой конструкции можно пренебречь ее инерционными характеристиками. При этом используется полуобратный метод решения, связанный с заданием на цилиндрической поверхности конструкции касательных напряжений, которые позволяют с заданной точностью удовлетворить условия жесткого закрепления пластины.

При построении общего решения нестационарной задачи, описываемой системой линейных связанных несамосопряженных уравнений в частных производных, используется математический аппарат разделения переменных в виде конечных интегральных преобразований Фурье–Бесселя и обобщенного биортогонального преобразования. Особенностью данного решения является применение конечного интегрального преобразования, основанного на многокомпонентном соотношении собственных вектор-функций двух однородных краевых задач с выделением сопряженного оператора, позволяющего осуществить решение несамосопряженных линейных задач математической физики. Данное преобразование является наиболее эффективным методом исследования подобных краевых задач.

Построенные расчетные соотношения дают возможность определить напряженно-деформированное состояние и характер распределения температурного поля в жесткозакрепленной круглой многослойной пластине при произвольном по времени и радиальной координате внешнем температурном воздействии. Кроме того, численные результаты расчета позволяют проанализировать эффект связанности термоупругих полей, который приводит к существенному увеличению нормальных напряжений по сравнению с решением аналогичных задач в несвязанной постановке.

Рассматривается проблема ориентации горизонтально-осевых ветроэнергетических установок при изменении направления, силы и скорости ветра. Когда направление ветра меняется, активная ометаемая площадь ротора, представляющая собой круг при коллинеарности оси вращения и вектора набегающего потока, уменьшается и принимает форму эллипса. Это, в свою очередь, приводит к снижению вырабатываемой электроэнергии.

Для ориентации ротора используется анеморумбометр, регистрирующий скорость и направление потока ветра. При изменении направления потока ветра соответствующий сигнал передается системе управления, которая дает команду на разворот ротора на ветер. Однако при прохождении потока ветра между вращающимися лопастями его направление искажается, происходит вихреобразование, в результате чего прибор выдает изначально неверные данные о направлении и скорости потока. В результате при регулировании положения ротора коллинеарность оси вращения и вектора набегающего потока не достигается, ометаемая площадь постоянно остается эллипсообразной, а вырабатываемая мощность пропорционально снижается. В связи со значимостью приведенной проблемы целью исследования является получение численных значений угла отклонения в различных режимах путем трехмерного моделирования в программном комплексе ANSYS CFX. Полученные сведения могут быть использованы в дальнейшем для разработки алгоритма устранения данной ошибки.

Дано решение одной из задач аналитического приближенного метода для одного класса нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка с подвижными особыми точками в вещественной области. Рассматриваемое уравнение в общем случае не разрешимо в квадратурах и имеет подвижные особые точки алгебраического типа. Это обстоятельство требует решение ряда математических задач.

Ранее авторами была решена задача влияния возмущения подвижной особой точки на аналитическое приближенное решение. Это решение основывалось на классическом подходе и, при этом, существенно уменьшилась область применения аналитического приближенного решения, по сравнению с областью, полученной в доказанной теореме существования и единственности решения.

Поэтому в статье предлагается новая технология исследования, основанная на элементах дифференциального исчисления. Этот подход позволяет получить точные границы для аналитического приближенного решения в окрестности подвижной особой точки.
Получены новые априорные оценки для аналитического приближенного решения рассматриваемого класса уравнений, хорошо согласующиеся с известными для общей области действия. При этом, представленные результаты дополняют ранее полученные, существенно расширена область применения аналитического приближенного решения в окрестности подвижной особой точки.

Приведенные расчеты согласуются с теоретическими положениями, о чем свидетельствуют эксперименты, проведенные с нелинейным дифференциальным уравнением, обладающим точным решением. Дана технология оптимизации априорных оценок погрешности с помощью апостериорных оценок. В исследованиях применялись ряды с дробными отрицательными степенями.