Application of wavelets and Hermiteans for simulation of ultra-wideband pulses satisfying to requirements of State Committee of Radio Frequencies

Full Text

Введение Стремительно развивающаяся технология сверхширокополосной (СШП) радиосвязи наряду с новыми возможностями и разработками ставит и новые задачи, неизвестные ранее. При этом открываются и новые потенциальные области применения данной технологии, такие как, в частности, организация радиоканала в системе Radio-over-Fiber (RoF), что позволит полнее использовать преимущества волоконной оптики. Однако не стоит забывать об ограничениях, наложенных Государственной комиссией по радиочастотам (ГКРЧ) на уровни излучения СШП устройств [1] в РФ, которые значительно усложняют задачу формирования импульсов по сравнению с аналогичной задачей для ранее известной маски Федеральной Комиссии по связи США (FCC) [2]. Рис. 1. Маска спектральной плотности мощности (СПМ) по решению ГКРЧ для СШП устройств, работающих внутри помещений Также стоит отметить крайне малое количество публикаций по данному направлению в России. Здесь следует упомянуть работы [3] и [4], где моделирование СШП импульсов основано на производных импульсов Гаусса и Рэлея высоких порядков, практически не реализуемых. Постановка задачи В данной работе предлагается рассмотреть функции Эрмита [5-6] и вейвлеты в качестве базовых компонентов оптимальных импульсов при решении задачи условной минимизации: (1) при условиях: (2) (3) где F - целевая функция; Popt - СПМ оптимального импульса; PГКРЧ - СПМ маски ГКРЧ. Моделирование СШП импульсов на основе функций Эрмита В данном разделе для моделирования использованы модифицированные (МЭИ) и модулированные (МдЭИ) эрмитовские импульсы, основанные на полиномах Эрмита [7]: (4) где n - порядок полинома; σ - коэффициент формы. МЭИ определяются выражением (5) где A - амплитуда импульса, В; n - порядок импульса; символ означает нахождение целой части. Стоит отметить, что, согласно наложенным в данной работе условиям, для моделирования рассматриваются только нечетные значения n, и n ≤ 19. Для n = 1; 3 и 5 имеем соответственно (6) (7) (8) Временные зависимости МЭИ показаны на рис. 2, их СПМ - на рис. 3. Рис. 2. Временные формы МЭИ при n = 1; 3; 5 и 7 Рис. 3. СПМ МЭИ при n = 1; 3 и 5 С ростом порядка импульса увеличивается число пересечений временной оси, и происходит увеличение числа лепестков СПМ в частотной области (см. рис. 3) в соотношении: (9) При этом увеличивается и число провалов в кривой функции, что уменьшает общий спектральный охват. Каждый следующий лепесток отличается более высоким максимумом. На рис. 4 показано влияние коэффициента формы импульса σ на СПМ МЭИ: с ростом σ ширина лепестков сужается, следовательно, спектральный охват уменьшается. Рис. 4. СПМ МЭИ при n = 3 с различными значениями σ В результате численных экспериментов по моделированию импульсов в среде MATLAB, было выявлено, что отсутствие ярко выраженного главного лепестка не позволяет добиться соответствия ограничениям маски даже для производных низких порядков (первого и третьего), где невозможно подавить НЧ-составляющую. Такой инструмент как сложение нескольких импульсов в данном случае не применяется ввиду того, что эффективность использования спектра уменьшается, и увеличивается число провалов в кривой функции (на рис. 5 представлено сложение МЭИ первого и третьего порядков). С учетом вышесказанного сделан вывод о неприемлемости МЭИ для моделирования СШП импульсов под требования маски ГКРЧ. В случае умножения полиномов Эрмита на функцию косинуса [7] получаем МдЭИ: (10) где ω0 - угловая частота; φ0 - фаза. Рис. 5. СПМ суммарного импульса: импульс 1 (n = 1, σ1 = 4 пс, w1 = 40), импульс 2 (n = 3, σ2 = 0,04 нс, w2 = 1) Здесь рассматриваются также функции четных порядков. Тогда для n = 1 … 3 имеем (11) (12) (13) Временные зависимости МдЭИ показаны на рис. 6, СПМ - на рис. 7. Изменяя величину ω0, можно варьировать показатель широкополосности. В случае МдЭИ зависимость числа лепестков от порядка производной определяется соотношением (14) Рис. 6. Временные формы МдЭИ при n = 1…4 Поскольку рост порядка функции сопровождается увеличением числ лепестков, то суммирование для увеличения спектрального охвата нецелесообразно. Рис. 7. СПМ МдЭИ при n = 1…4 В связи с этим установлено, что наиболее приемлемым для маски ГКРЧ является МдЭИ первого порядка. Изменение его формы регулируется посредством трех параметров: σ, ω0, φ0 (см. рис. 8-10). Рис. 8. Динамика СПМ МдЭИ в зависимости от σ (n = 2, f0 = 4,5 ГГц, φ0 = 0) Рис. 9. Динамика СПМ МдЭИ в зависимости от f0 (при n = 2, σ = 0,05 нс, φ0 = 0) Рис. 10. Динамика СПМ МдЭИ в зависимости от φ0 (при n = 2, σ = 0,05 нс, f0 = 5 ГГц) По результатам предварительного моделирования был сделан вывод, что наиболее соответствует маске ГКРЧ МдЭИ первого порядка, СПМ которого представлена на рис. 11, а параметры - в таблице 1. Рис. 11. СПМ оптимального импульса на основе МдЭИ СПМ сформированного импульса максимально охватывает разрешенный диапазон частот спектральной маски ГКРЧ, ограничиваясь областью маски, не превышающей значения -62,5 дБм/МГц. Таблица 1. Параметры оптимального импульса на основе МдЭИ Импульс 1 Вид моделей МдЭИ Порядок 1 σ, нс 0,0393 f0, ГГц 3,23 φ, рад 3,1 Модели СШП импульсов на основе вейвлетов Подавляющее большинство вейвлетов является приемлемым для описания СШП сигналов [7], однако, как правило, при этом у них отсутствует аналитическая форма записи. В данной работе рассмотрены комплекснозначные аналитические вейвлеты, построенные на частотном В-сплайновом вейвлете (ЧБСВ). Выражение для временной формы ЧБСВ импульса, представленной на рис. 12: (15) где f0 - центральная частота; m - коэффициент формы, μ - показатель широкополосности. Рис. 12. Временная форма ЧБСВ Посредством изменения параметров μ, f0, m можно варьировать широкополосность и, таким образом, добиться соответствия маске ГКРЧ. Динамика изменения СПМ импульса на основе ЧБСВ в зависимости от этих параметров показана на рис. 13-15. Рис. 13. Динамика СПМ ЧБСВ в зависимости от μ (при f0 = 6 ГГц, m = 11) Как видно из рис. 13 при увеличении μ число лепестков уменьшается, а их ширина увеличивается. При этом максимум функции, приходящийся на 6 ГГц, не смещается. Рис. 14. Динамика СПМ ЧБСВ в зависимости от f0 (при μ = 8, m = 11) Очевидно, что СПМ ЧБСВ в отличие от МЭИ имеет ярко выраженный центральный максимум (см. рис. 13-15), положение которого управляется параметром f0: при его уменьшении максимум СПМ смещается в НЧ область, ширина лепестков также уменьшается, а их число увеличивается. Рис. 15. Динамика СПМ ЧБСВ в зависимости от m (при μ = 8, f0 = 6 ГГц) Параметр m является в некотором смысле обратной величиной к μ, поскольку его действие на СПМ состоит в уменьшении ширины лепестков и увеличении их количества при росте m (см. рис. 15). В результате моделирования оптимальный СШП импульс на основе ЧБСВ был сформирован как сумма двух импульсов с различными коэффициентами веса w. СПМ данных импульсов представлены на рис.16, а их параметры - в таблице 2. Рис. 16. СПМ: импульс 2, импульс 3, суммарный импульс - импульс 4 Согласно рис. 16, несмотря на небольшой «провал» кривой СПМ оптимального импульса в районе 7 ГГц, он наиболее полно охватывает рабочий диапазон частот, ограничиваясь, как и в случае МдЭИ, областью маски, ограниченной значением -62,5 дБм/МГц. Таблица 2. Параметры сформированных импульсов на основе ЧБСВ Вид модели Импульс 2 Импульс 3 ЧБСВ ЧБСВ μ 5,3 3 f0, ГГц 4,7 7,175 m 5 4 w 1 0,5 Сравнительная оценка параметров Для оценки эффективности предложенных импульсов введем параметр - коэффициент использования маски (КИМ), определяемый выражением: (16) где Sопт - площадь оптимального импульса по уровню -100 дБм/МГц; SГКРЧ - площади маски ГКРЧ по уровню -100 дБм/МГц. Рассчитанные значения КИМ для предложенных импульсов на основе МдЭИ и ЧБСВ представлены в таблице 3. Учитывая, что максимальное значение эффективной излучаемой мощности (ЭИМ), соответствующее маске ГКРЧ, равно 0,112 мВт (-9,5 дБм), в таблице 3 приведены расчетные значения, демонстрирующие увеличение мощности передаваемого сигнала P1 в сравнении с ранее предложенными импульсами для маски ГКРЧ. Таблица 3. Значения рассчитанных параметров для оптимальных импульсов Название импульса КИМ, % P1, мВт P1, дБм Маска ГКРЧ 100 0,112 -9,5 Импульс 1 67,57 0,0756 -11,21 Импульс 4 54,43 0,0609 -12,15 Импульс Г1 [4] 61,16 0,0685 -11,64 Импульс Г2 [4] 30,74 0,0344 -14,63 Импульс Р1 [4] 61,17 0,0685 -11,64 В результате произведенных расчетов численные результаты позволяют подтвердить вывод, сделанный в предыдущем разделе: лучше остальных спектральную маску ГКРЧ РФ охватывает импульс на основе МдЭИ (импульс 1). Заключение В статье предлагается использовать функции Эрмита и вейвлеты для моделирования импульсов, СПМ которых соответствует ограничениям маски ГКРЧ. Касательно МдЭИ основная идея состоит в том, что суммирование данных видов функций не приводит к увеличению КИМ, и, следовательно, нецелесообразно. Основным преимуществом предложенных видов функций является возможность использования производных только первого и третьего порядков, что значительно упрощает физическую реализацию и потому является значительным преимуществом перед импульсами на основе производных импульсов Гаусса и Рэлея, где используются производные более высоких порядков. Результаты моделирования и расчеты показывают хорошее соответствие маске ГКРЧ и высокий КИМ, что, в сравнении с раннее предложенными моделями [4], делает данные импульсы более приемлемыми для СШП систем связи.

About the authors

Vladislav Sergeevich Kislinskiy

Ufa State Aviation Technical University

Email: be.me@bk.ru

Elizaveta Pavlovna Grakhova

Ufa State Aviation Technical University

Email: eorlingsbest@mail.ru

Guzel Idrisovna Abdrakhmanova

Ufa State Aviation Technical University

Email: tekasesochka@yandex.ru

References

Supplementary files