ONE-DIMENSIONAL CODE-SIGNAL CONSTRUCTIONS BASED ON THE NORMALIZING BINARY PACKET TRANSFORMATIONS

Full Text

Построение кодово-сигнальных конструкций (КСК), позволяющих объединить преимущества переборных алгоритмов обработки многоосновных сигналов с простыми алгоритмами декодирования помехоустойчивых кодов, является объектом пристального внимания в теоретических исследованиях последних лет. Это объяснимо с позиций поиска новых возможностей приближения характеристик систем передачи информации к предельной пропускной способности для более интенсивного использования ограниченного физического ресурса каналов связи. Грамотное сочетание сигналов и кодов в единой конструкции позволяет получать методы передачи, близкие к оптимальным, при разумной сложности алгоритмов обработки. Анализ литературы Идеи совместного использования методов обработки сложных сигналов и помехоустойчивых кодов возникли синхронно с широким внедрением в практику построения систем передачи информации (СПИ) модуляторов многомерных многоосновных сигналов [1-2]. Как известно, переход к многоосновным ансамблям позволяет существенно повысить частотную эффективность СПИ за счет возрастания скорости передачи в фиксированной полосе частот. Однако весьма существенной платой за это является значительное снижение помехоустойчивости, приводящее к потере энергетической эффективности. Поэтому основным направлением реализации КСК является первоначальный выбор частотно-эффективных наборов сигналов с последующим разбиением их на вложенные ансамбли меньшей размерности, позволяющие осуществить сигнально-решетчатой кодирование с использованием блоковых и сверточных кодов [1-2]. Получаемые при этом конструкции, как правило, характеризуются относительно высокими показателями частотной эффективности при посредственных (зачастую хуже, чем у обычной фазовой манипуляции ФМ-4) энергетических показателях. Целью статьи является демонстрация работоспособности идей КСК для оптимизации одномерных ансамблей по показателю энергетической эффективности. При этом получаемые конструкции близки по характеристикам к ансамблям биортогональных сигналов, но обеспечивают существенно лучшую полосную эффективность. Основная часть Для построения КСК исходной является последовательность независимых равновероятных символов стационарного двоичного эргодического источника, которая разбивается на блоки длиной N бит: . Каждый из блоков может дополняться r проверочными символами, что приводит к получению кодового слова избыточного блокового -кода: , где - число избыточных символов, а - скорость кода. При этом полная длина блока должна удовлетворять условию (1) Вновь образованные блоки подвергаются нормализующему числовому преобразованию, суть которого заключается в выполнении следующих двух операций. 1. Значения бит, трактующиеся как обычные целые числа (0 или 1), центрируются относительно нуля числовой оси: (2) 2. Полученная последовательность, каждый элемент которой может принимать значения, заменяется эквивалентной последовательностью действительных целых чисел, формируемой по правилу , (3) где - матрица Адамара размером , получаемая с использованием известного рекуррентного правила . (4) Несмотря на дробные значения элементов вектора , получаемый на основании (3) с учетом условия (1) вектор содержит только целые числа, расположенные симметрично относительно нуля в диапазоне . Если положить, что (избыточность не вносится), то при равной вероятности появления всех комбинаций на выходе источника (на входе преобразования (2)), вероятности появления различных чисел из разрешенного диапазона в составе вектора будут различными. Проведем анализ функции - распределения вероятностей появления различных кодовых слов (чисел) в составе вектора канального кода при исходном предположении о равной вероятности всех слов источника. Каждый из элементов последовательности образуется суммой равномерно отстоящих от нуля чисел, принимающих с равной вероятностью значения . В этих условиях вероятность появления любого числа из диапазона в составе вектора может быть отождествлена с частостью , (5) где - количество элементов некоторого вектора , принимающих значение , при этом сам вектор содержит элементов, вычисляемых по правилу Учитывая рекуррентный характер вычислений частостей (5)-(6), на основании обобщения свойств кодов различной длины можно предложить следующий вычислительный алгоритм. Распределение вероятностей появления кодовых слов (чисел) для кода, образованного из n бит, вычисляется суммированием двух вероятностей соответствующих распределений кода, построенного из двоичных символов. Причем, при суммировании вероятности располагаются со сдвигом на одну позицию. Математическая запись алгоритма имеет вид , (7) причем Приведенные формулы достаточно важны для оценки распределения вероятностей позиционного кода при оптимизации ансамблей сигналов, особенно при определении вероятностей появления «нетипичных» чисел, расположенных на краях диапазона кода. Хотя при больших значениях n подобное точное вычисление распределения затруднено, ввиду большой размерности вектора и рекуррентного характера формул (6)-(7). Поэтому для приближенных оценок можно воспользоваться следствием классической предельной теоремы - теоремой Ляпунова [5], которая утверждает, что если случайные величины одинаково распределены, имеют нулевое математическое ожидание и конечную, отличную от нуля дисперсию , то при равномерно по c Следовательно, дискретный характер величин позволяет использовать для нахождения приближенной оценки усеченный дискретный нормальный закон распределения (8) где c - коэффициент «усечения», который определяется из выражения , а - дисперсия суммы независимых целочисленных, равномерно распределенных случайных величин , которая, как следует из (2), составляет . Анализ распределения вероятностей кодовых слов позволяет сделать важный вывод о том, что при равновероятных сообщениях источника кодовые слова (представленные числами натурального ряда) канального кода являются неравновероятными, причем распределение вероятностей их появления асимптотически подчинено дискретному нормальному закону. Рассмотрим построение кодово-сигнальной конструкции на основе нормализованного позиционного кода и одномерной многоуровневой амплитудной манипуляции. Пусть задано распределение вероятностей , характеризующее появления целых чисел на выходе дискретного источника, генерирующего позиционный код, где . Модель одномерных АФМ сигналов для представления чисел в канале имеет вид: , (9) где - амплитуда; - несущая частота (для удобства положим ее величину кратной ); T - длительность интервала модуляции; - начальная фаза i-го сигнала, причем для сигналов с номерами и для . Сигнальные точки ансамбля (9) расположены на прямой линии в гильбертовом пространстве. Учитывая нормальный закон распределения чисел с нулевым математическим ожиданием (8), целесообразно для минимизации средней мощности (энергии), затрачиваемой на передачу, априорно положить амплитуду сигнала, соответствующего наиболее вероятному значению , равной нулю: . При этом из условия обеспечения средней мощности АФМ сигналов, равной соответствующей мощности при использовании традиционной фазовой манипуляции ФМ-2, значения амплитудных коэффициентов для передачи чисел позиционного кода определяются по правилу (10) где - вероятности появления соответствующих чисел (значений амплитуды); - нормированная энергия, затрачиваемая на передачу одного бита при ФМ-2 (для упрощения выкладок в дальнейшем будем полагать ). Выполнение (10) обеспечивает равные энергетические условия передачи для рассматриваемых сигналов АФМ и эталонного прототипа ФМ-2, которые достигаются благодаря нормализующему числовому преобразованию представления выхода двоичного источника: . (11) Известно [1-4], что обработка «в целом» при приеме КСК обладает преимуществом по сравнению с поэлементным приемом с точки зрения минимизации вероятности ошибки. Поэтому правилом принятия решения при оценке, принятой КСК и, соответственно, последовательности из N двоичных символов, будет являться выбор той последовательности, которой соответствует минимальное евклидово расстояние между принятым и эталонным вектором: , (12) где - измерение КСК на выходе канала; - элементы вектора АБГШ; - векторы эталонных КСК. При использовании правила (12) для обработки безизбыточных КСК достигаемая помехоустойчивость в гауссовом канале будет такой же, как при оптимальном поэлементном приеме равномощных противоположных сигналов, использующих ФМ-2. Это следует из того, что разность между соседними значениями амплитудных коэффициентов , благодаря выполнению (10) и свойствам распределения , удовлетворяет равенству , (13) где - нормированный на единичную длительность сигналов квадрат расстояния между сигнальными точками ФМ-2 в пространстве Гилберта, определяющий энергию «опасной» помехи. При следует ожидать приращения энергетической эффективности КСК АФМ за счет несущественного снижения скорости передачи. Помехоустойчивый код, используемый для построения избыточных КСК, может быть, в принципе, любым. Желательным свойством кода, естественно, является максимальная скорость при обеспечении наибольшего возможного кодового расстояния. Покажем это на некоторых примерах, продемонстрировав преимущества КСК АФМ. А. КСК (1-3)-(4-3). Эта конструкция основана на выполнении нормализующего преобразования (2)-(3) над блоком из трех информационных и одного избыточного символов ( - код с проверкой на четность). Таблица 1 содержит полный перечень кодовых слов и их нормализованных отображений для всех возможных последовательностей из четырех бит. Таблица 1. Перечень кодовых слов Номер 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 -2 -1 -1 0 -1 0 0 1 -1 0 0 1 0 1 1 2 0 -1 1 0 -1 -2 0 -1 1 0 2 1 0 -1 1 0 0 -1 -1 -2 1 0 0 -1 1 0 0 -1 2 1 1 0 0 1 -1 0 -1 0 -2 -1 1 2 0 1 0 1 -1 0 Четному или нечетному числу единичных символов в исходных последовательностях соответствуют четные или нечетные числа в составе отображений. Следовательно, использование только половины последовательностей (например, столбец 0,3,5,6,9,10,12,15 таблицы 1) приведет к двукратному увеличению расстояния между используемыми уровнями амплитудной модуляции при передаче чисел позиционного кода. Такой код обладает скоростью , а обеспечиваемое кодовое расстояние трансформируется в двукратное увеличение расстояния между сигнальными точками ансамбля. Корреляционная матрица КСК полностью соответствует ансамблю биортогональных сигналов с мощностью . Поэтому для метода приема «в целом»существует аналитическая оценка вероятности ошибки на бит, определяемая выражениями [3-4] , (14) где - спектральная плотность мощности АБГШ, равная сумме двух квадратурных составляющих спектра шума на 1 Гц полосы. Выражение (14) учитывают снижение энергетики на бит, которое является следствием передачи дополнительного символа проверки на четность. Зависимость от отношения сигнал/шум представлена на рис. 1 (кривая 1). Энергетический выигрыш КСК (1-3)-(4-3) по сравнению с ФМ-2 ( ) составляет ~1,3 дБ. Путем проведения аналогичных преобразований может быть построена КСК (1-7)-(8-7). Ее основой является блок из семи символов, дополняемый битом проверки на четность. 1 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 Рис. 1. Зависимости вероятности ошибки на бит от отношения «сигнал/шум» Используемый код при том же кодовом расстоянии обладает скоростью , т. е. более эффективен в частотном плане. Корреляционная матрица КСК в этом случае кроме единичных и нулевых элементов содержит коэффициенты , что означает взаимную зависимость отдельных сигналов, вызывающую снижение помехоустойчивости. Однако это снижение компенсируется повышением энергии, расходуемой на передачу бита, за счет приращения скорости кода при сохранении ограничения на среднюю мощность (10) на уровне аналогичной величины при ФМ-2. Так как точных аналитических выражений расчета вероятности ошибки на бит для случая вырожденной корреляционной матрицы ансамблей зависимых сигналов не существует, характеристика помехоустойчивости получена методом статистического моделирования. Полученные значения (показаны точками на рис. 1) демонстрируют результат, практически полностью совпадающий с помехоустойчивостью предыдущей конструкции. Б. КСК (1-11)-(16-11). Данная конструкция может быть получена на основе тех же самых преобразований при использовании блокового кода (16,11). При длине блока 16 символов, из которых 11 являются информационными и практически аналогичной скорости код обеспечивает кодовое расстояние . Это приводит к четырехкратному увеличению расстояния между сигнальными точками ансамбля КСК. Корреляционная матрица КСК обладает размером 2048×2048 и содержит коэффициенты со значениями , что свидетельствует о взаимной зависимости сигналов. Методом моделирования получена зависимость от отношения «сигнал/шум» (см. график 2 на рис. 1), которая показывает энергетический выигрыш по сравнению с ФМ-2 на уровне порядка 3,2 дБ. В соответствии с описанными правилами может быть построена, в принципе, конструкция, эквивалентная блоку двоичных символов произвольной длины. При этом будет наблюдаться рост помехоустойчивости. Однако, ввиду экспоненциально возрастающей сложности переборного алгоритма при реализации приема «в целом», конструкции при исходной длине блоков имеют скорее теоретический, чем практический интерес. -6 -7 -8 -9 -10 0 1 2 3 4 ФМ-4 КСК (1-3)-(4-3) КСК (1-11)-(16-11) КСК (1-7)-(8-7) Рис. 2. Иллюстрация характеристик КСК на диаграмме эффективности На рис. 2 иллюстрируется эффект, достигаемый при использовании рассмотренных КСК в сравнении с обычной модуляцией ФМ-4. Координатами диаграммы здесь являются показатели энергетической и частотной эффективности конструкций, соответствующие показатели рассчитаны для . Выводы Конструкции на основе нормализующего преобразования двоичных последовательностей и одномерных АФМ сигналов при незначительном (0,5 … 1,1 дБ) снижении частотной эффективности обеспечивают энергетический выигрыш, равный 1,3 … 3,3 дБ. Рассмотренные КСК обеспечивают преимущества по сравнению с ФМ-2 (ФМ-4), начиная с отношений «сигнал/шум» порядка 1 дБ. Поэтому отличительной особенностью рассмотренных КСК является возможность их каскадного использования с любым методом блочного или сверточного кодирования, что обеспечивает увеличение энергетического выигрыша соответствующих кодов на указанные выше величины.

About the authors

Alexander Olegovych Malofey

Stavropol branch of the Krasnodar University of the MOI of Russia

Email: skandin@mail.ru

Oleg Pavlovich Malofey

North-Caucasian Federal University

Email: opmalofey@yandex.ru

References

Supplementary files