Generalized subband analysis and signal synthesis

Full Text

В рамках данной статье предполагается, что вектор ' 1 ( ,.., )= N xxx, где штрих означает транспонирование, состоит из компонент, полученных либо в результате эквидистантной дискретизации непрерывного сигнала (функции времени) ( ), [0, ], ( 1) = = - ∆ x t t T T N t (1) с шагом ∆t, либо из компонент, получаемых в результате синтеза на основе некоторого критерия, например, при формировании сигнально-кодовых конструкций в системах передачи информации. При этом имеются в виду соответствия ( ), 1,.., , =∆=k x x k t k N (2) причем выполняется условие ограниченности евклидовых норм 2 1/2 1 || || ( ) N k k xx = = <∞ ∑ . (3) К числу наиболее широко применяемых приемов анализа можно отнести разделение сигнала на аддитивные компоненты 1= =∑  R r r xy , (4) которые удовлетворяют заданным требованиям, и выделение (фильтрация) этих компонент. На основе этого приема решаются задачи выделения компонент информационных сигналов при многоканальной обработке информации [1-3], а также очистка сигналов от искажающих воздействий случайных шумов [4; 5]. Отметим, что одной из важнейших задач анализа эмпирических данных являются обнаружение и распознавание сигналов, для решения которых также применяется прием выделения информационных компонент [6]. В качестве важного объекта анализа и синтеза можно также указать речевые сигналы, которые фиксируются на выходах микрофонов при акустическом воздействии устной речи [7]. Их отличительной особенностью является нестационарность, обусловленная чередованием звуков речи. Поэтому обработка векторов конечной размерности адекватно отражает это свойство. В качестве важнейшего критерия при синтезе сигналов часто применяется степень сосредоточенности их евклидовых норм (энергий) в некоторой подобласти области определения используемого преобразования, например Фурье [8]. Таким образом, описание свойств сигналов с позиций разбиения областей определений их преобразований на подобласти является полезным приемом при их анализе и синтезе. Такой анализ и синтез представляется естественным называть субполосным. Субполосный анализ и синтез достаточно широко используются в рамках преобразования Фурье. Однако при этом нельзя считать, что они оптимизированы с позиций точности оценивания субполосных характеристик сигналов. В частности, имеющиеся теоретические основы субполосного анализа и синтеза недостаточно развиты, так как достаточно глубоко проработаны только вопросы цифровой фильтрации. Однако и в этом случае недостаточно проработанными являются аспекты информативности с позиций искажений, влияющих на интерпретацию результатов используемой обработки, например, точности определения доли евклидовой нормы сигнала в заданную подобласть (субполосу) области определения трансформанты Фурье. Таким образом, актуальным является развитие методов субполосного анализа и синтеза с позиций достижения высокой информативности получаемых результатов. Очевидно также, что использование базиса Фурье является хотя и важным, но не единственным способом представления сигналов в соответствующих пространствах, позволяющих отобразить свойства сигналов, которые во временной области проявляются неотчетливо. Поэтому представляется целесообразным разработать основы теории субполосного анализа и синтеза для некоторого класса преобразований на основе ортогональных базисов. Решение этой задачи и составляет содержание данной статьи. При этом показано, что субполосные свойства сигналов адекватно описываются с помощью аппарата субполосных матриц, собственные векторы которых являются естественным ортонормальным базисом в пространстве вещественных векторов соответствующей размерности. Принципы обобщенного субполосного анализа и синтеза Пусть далее символ F означает множество в общем случае комплексных функций { ( ), ( , ); 0,1,...} n F t t a b n = φ ∈ = , (5) которые удовлетворяют условиям ортонормальности * ( , ) ( ) ( ) ( ) b nm n m n m nm a s t t w t dt = φ φ = φ φ =δ ∫ , (6) где звездочка означает комплексное сопряжение; nmδ - символ Кронекера; (,) ab - область определения, в том числе, возможно, вся числовая ось; () wt - неотрицательная функция веса ( ) 0, ( , ) w t t a b ≥∈. (7) Для простоты такие функции будем называть базисными. Примерами наиболее часто используемых при обработке сигналов базисов являются следующие варианты. Экспоненциальные функции ( ) exp( ), ( , ); 0,1,... n t jtn t n φ = - ∈ -π π = , ( ) 1 ≡wt . (8) Косинусный базис 0( ) 1/ ; 2 ( )/ , ( , ); 1,2,... (t) cosnt tn tn φ = π φ = π ∈ -π π = 0( ) 1/ ; 2 ( )/ , ( , ); 1,2,... (t) cosnt tn tn φ = π φ = π ∈ -π π = ( ) 1 ≡wt . (9) Синусный базис 0 ( ) 0; 2sin / , ( , ); 1,... φ = φ = π ∈ -π π = nt (tn) tn (t) ( ) 1 ≡wt . (10) Многочлены Чебышева первого рода [8; 9] 0 ( ) 1/ ; 2 ( cos( ))/ , ( 1,1); 1,2,... (t) cos nt n a t tn φ=πφ= π ∈ - = 2 1/2 ( ) (1 ) . w t t - = - (11) Многочлены Эрмита [9] 22 ( ) ( 1) exp( /2){ exp( /2)/ }, ( , ); 0,1,... n n t t d t dt tn φ = - - ∈ -∞ ∞ = 2 ( ) exp( /2) = - w t t . (12) Функции Бесселя [9] 22 1 ( ) ( / ), (0, ); 1,2,...; ( ) /( ( )); 0, n v n vn t J t b t b n w t t b J v + φ = µ ∈ = = µ ≥ (13) где , 1,... n n µ= - нули функции Бесселя первого рода ,v 0 ≥vJ . В рамках данной статьи в качестве преобразования исходных данных в виде вектора (2) называется линейная форма 1 ( ) ( ). N nn n X t x t = = φ ∑ (14) В соответствии со сложившейся терминологией левую часть (14) можно именовать трансформантой исходных данных в выбранном базисе или просто трансформантой. Ввиду свойства (6) справедливо представление (обратное преобразование) вида *( ) ( ) ( ) , b kk a x X t t w t dt = φ ∫ (15) а также выполнение равенства 22 2 1 || || ( )| ( )| , bN k k a x x w t X t dt = = = ∑ ∫ (16) которое является обобщением равенства Парсеваля для преобразования Фурье [10]. Его можно представить в следующей субполосной форме: 2 1 || || ( ), R r r x P x = =∑  (17) где слагаемые определяются интегралами вида 2 ( ) | ( )| ∈ = ∫ r r tT P x w(t) X t dt (18) для вещественных базисов по интервалам (субполосам) ( , ), ; 1,..., = ≤ < ≤ = r r r r r T a b a a b b r R (19) или симметричным объединениям для комплексных базисов ( , ) ( , ). r r r r r T b a a b = - - (19ʹ) Предполагается, что количество таких субполос R является конечным, хотя их ширина может быть неограниченной, например, в случае использования многочленов Эрмита. Очевидно, что интегралы вида (18) определяют распределение квадратов евклидовых норм (энергий) эмпирических данных и могут служить важным инструментом их анализа. Нетрудно получить их представление непосредственно в области определения исходных данных. Для этого следует в определение (18) подставить представление (14). В результате преобразований получаем следующую квадратичную форму: ' ( ) , rr P x xC x =  (20) где { }; , 1,2,... r r ik C c i k N = = - симметричная матрица с вещественными элементами * ( ) ( ) ( ) . r r ik i k tT c w t t t dt ∈ = φ φ ∫ (21) Ясно также, что ввиду неотрицательности характеристик (18) квадратичные формы (20) будут неотрицательны, то есть матрицы с элементами (21) являются неотрицательно определенными. Поэтому [11] они могут быть представлены в виде ' r r r r C Q LQ = , (22) где r Q - ортогональная матрица вещественных собственных векторов '' (1,...,1) = = = r r r r QQ QQ I diag , (23) которая является решением уравнения =r r r r CQ Q L, (24) а 1( ,..., ) rN L diag = λ λ - диагональная матрица вещественных собственных чисел, которые полагаем упорядоченными по убыванию 1 0, 1,..., 1. rr kk kN + λ ≥λ ≥ = - (25) В дальнейшем матрицы с элементами вида (19) будем именовать субполосными. Кроме соотношений (22)-(23) и (25) можно получить также и некоторые более специфические соотношения для их собственных чисел и векторов. В соответствии с определением (24) для отдельных компонент собственных векторов ' 1 ( ,..., )= r r r k k Nk qqqдолжно выполняться равенство 1 N r r r r k ik im mk m q c q = λ= ∑ , (26) подстановка в которое представления (21) дает * ( ) ( ) ( ) r rr r k ik i k tT q w t t G t dt ∈ λ = φ ∫ , (27) где функция под интегралом представляет собой комплексно сопряженную трансформанту собственного вектора 1 ( ) ( ) N rr k m mk m G t t q = = φ ∑ . (28) Соотношение (27) позволяет получить представление для проекции на собственный вектор (скалярного произведения) исходного вектора 1 * ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) . r N r r r r r r k k k k k i ik m r k tT d x x q xq w t X t G t dt = ∈ λ =λ =λ = = ∑ ∫    (29) Отметим, что проекция определяется отрезками трансформант собственного и исходного векторов в выбранной субполосе. Аналогично можно получить равенство * ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) . r r r r r k k n k n k rr nk d q q q w t G t G t dt λ =λ = =    (30) Отсюда с учетом ортонормальной матрицы собственных векторов (23) получаем, что для отрезков трансформант собственных векторов выполняются следующие соотношения. Трансформанты различных собственных векторов при ≠nk (31) обладают свойством двойной ортогональности [10] (одновременная ортогональность по всей области определения и ее субполосе) * * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, r b rr nk a rr nk tT w t G t G t dt w t G t G t dt ∈ = = = ∫ ∫ (32) тогда как собственное число определяет долю попадающего в субполосу квадрата нормы соответствующего собственного вектора 2 2 ( ) ( )| ( )| | 1 . | , 1,..., r rr kn tT b r n a w t G t dt w t G dt n N ∈ λ= ≤ ≤ = = ∫ ∫ (33) Отметим, что равенство единице второго интеграла получается на основе равенства Парсеваля (17) и ортонормальности собственных векторов. Имея в виду разложение (22) и определение (29), из (20) нетрудно получить представление для характеристики (18) 2 1 ( ) ( ), N rr r kk k P x d x = = λ ∑  (34)что позволяет упростить и, в частности, распараллелить процедуру вычисления квадратичных форм, когда собственные векторы заранее вычислены для их многократного использования. При разделении исходного вектора на аддитивные компоненты согласно (4) можно воспользоваться требованием ( ) ( ), ; ( ) 0, = ∈ ≡ ∉r rr r Y t X t t T Y t t T , (35) где () r Yt - трансформанта вектора ' 1 ( ,..., )= r r Nr yyy . (36) Очевидно, что выполнить в точности требование (35) можно только тогда, когда субполоса равна всей области определения трансформанты. Поэтому представляется целесообразным в качестве меры погрешности его выполнения использовать функционал 2 2 ( , ) ( )| ( ) ( )| (1 ) | ( )| , r r rr tT r tT E x y w t X t Y t dt Y t dt ∈ ∉ =β - + + -β ∫ ∫  (37) где параметр 01 <β< (38) служит для задания весомости (важности) составляющих. Можно показать, что вектор вида 1 ((1 ) (2 1) )r rr y I C C x -=β -β + β-  (39) в случае равных весов 0,5 β= (40) согласно (39) дает . rr y C x =  (41) Отсюда, с учетом (21), получаем следующее представление для компонент получаемого вектора: *( ) ( ) ( ) . r kr k tT y w t t X t dt ∈ = φ ∫ (42) Таким образом, указанные компоненты полностью определяются отрезком трансформанты исходных данных в выбранной субполосе. Очевидно, что этот вывод можно распространить и на вектор (39), так как он полностью определяется вектором (41). На основе определения (21) получаем равенство 1 , R r r CI = =∑ (43) когда субполосы примыкают друг к другу и покрывают всю область определения. Очевидно, что это соответствует получению компонент анализируемого вектора, которые отвечают требованию аддитивности компонент (4). При передаче информации и дистанционном управлении часто рассматривается задача синтеза сигналов с заданными свойствами. Достаточно широко используется критерий концентрации энергии (квадрата евклидовой нормы) в некоторой субполосе всей частотной полосы. Этот критерий легко обобщить на случай любых преобразований и сформулировать задачу поиска вектора, который максимизирует характеристику (20): '' max , . N rr zC z xC x x R = ∀ ∈    (44) Решением этой задачи является соответствующий максимальному собственному числу собственный вектор матрицы с элементами (21) 1 r zq =  . (45) Ясно, что основой решения рассмотренных задач обобщенного субполосного анализа и синтеза векторов служат субполосные матрицы. Ввиду симметрии и неотрицательной определенности, они обладают полным набором собственных векторов, которые могут служить базисом пространства . NR Эти базисы определяются типом трансформанты и выбранной субполосой ее области определения. Поэтому их естественно называть субполосными. Представляет интерес рассмотрение конкретных примеров субполосных матриц и их собственных чисел и векторов Примеры применения Для отдельных типов преобразований можно получить аналитические соотношения для элементов субполосных матриц. Экспоненциальный базис (8) Элементы субполосной матрицы (21) в этом случае могут быть представлены в аналитическом виде 2sin( ( )) cos( ( ))/ ( ), r ik r r c i k i k i k = ∆ - × × ω - π - (46) где ( )/2; ( )/2. r r r r r r b a b a ∆ = - ω = + Основные свойства субполосных матриц и их собственных векторов представленны в [12]. Там же рассмотрены особенности применения этого аппарата для решения некоторых задач анализа и синтеза сигналов. В [13] показано, что субполосная методология может быть с успехом применена в условиях полной априорной неопределенности при выделении трендов в эмпирических данных на основе адаптивной фильтрации. При этом не используется априорное постулирование аналитической формы функциональной зависимости тренда. Косинусный базис (9) Элементы субполосной матрицы представлены в виде 2sin( ( ))cos( ( ))/ / ( ) 2sin( ( )) cos( ( ))/ ( ). r ik r r r r c i k i k i k i k i k i k = ∆ - ω - π - + ∆ + × × ω + π + (47) Синусный базис (10) 2sin( ( ))cos( ( ))/ / ( ) 2sin( ( )) cos( ( ))/ ( ). r ik r r r r c i k i k i k i k i k i k = ∆ - ω - π - + ∆ + × × ω + π + (48) Многочлены Чебышева (11) Соотношение (21) после подстановки в него определения (11) и замены переменной cos( ) = tz дает соотношение, аналогичное (47) 2sin( ( ))cos( ( ))/ / ( ) 2sin( ( )) cos( ( ))/ ( ) r ik r r r r c i k i k i k i k i k i k = ∆ - ω - π - + ∆ + × × ω + π + (49) с той разницей, что вместо (46) параметры определяются из соотношений ( cos( ) cos( ))/2; ( cos( ) cos( ))/2. rrr rrr abaa abaa ∆ = - ω = + (50) Обсуждение результатов Методология субполосного анализа эмпирических данных и синтеза сигналов с желаемыми свойствами в настоящее время заключается в рассмотрении решаемых задач с позиций разбиения на субполосы области определения трансформанты Фурье на основе экспоненциального базиса (8). На таких частотных представлениях также построены достаточно интенсивно развивающиеся методы вейвлет-анализа, для чего используются КИХ-фильтры вида [14]. Это свидетельствует об адекватности субполосной методологии задачам анализа и синтеза сигналов. Вместе с тем для некоторых эмпирических данных и сигналов может оказаться более адекватным описание с применением других базисов, например, бесселевых функций при анализе колебаний круглых мембран. Поэтому представляется важной разработка математических основ субполосного анализа и синтеза сигналов с позиций разбиения областей преобразований на субполосы иных преобразований с использованием ортонормированных базисов. Это позволяет вполне регулярным образом реализовывать субполосную методологию и в этих случаях. Заключение В статье развиты теоретические основы субполосного анализа с позиций разбиения на субполосы областей определений преобразований (трансформант) исходных дискретизированных данных на основе ортонормальных базисов. Показано, что основным элементом субполосного анализа служат специальные матрицы, которые принято именовать субполосными. Показано, что субполосные матрицы являются симметричными и положительно определенными. Таким образом, набор их собственных векторов является полным ортонормированным базисом. Его естественно использовать в качестве основного инструмента субполосного анализа и синтеза. Сформулирован критерий, определяющий оптимальную субполосную фильтрацию сигналов на аддитивные компоненты, получено решение соответствующей вариационной задачи. Показано, что выделяемые компоненты обладают важным свойством: они полностью определяются отрезком трансформанты в заданной субполосе. Выявлены условия, позволяющие восстановить исходный сигнал на основе простого суммирования выделенных компонент. Представлены соотношения, определяющие элементы субполосных матриц для ряда широко применяемых базисов. Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ №17-0700268.

About the authors

E. G Zhilyakov

Belgorod State National Research University

Belgorod,Russian Federation

S. P Belov

Belgorod State National Research University

Belgorod,Russian Federation

I. I Oleinik

Belgorod State National Research University

Belgorod,Russian Federation

D. I Trubitsyna

Belgorod State National Research University

Belgorod,Russian Federation

References

Supplementary files