COMPARISON OF HYPEREXPONENTIAL DISTRIBUTION AND OTHER MODELS FOR POSITIVELY DEFINED RANDOM VARIABLES

Full Text

Введение При описании случайных величин, характеризующих процессы различной природы в сложных системах, всегда существует проблема построения адекватных и одновременно аналитически или численно-аналитически разрешимых моделей. Под адекватностью понимается, прежде всего, точность соответствия эмпирическим данным, а о разрешимости судят по вычислимости практически полезных результатов моделирования систем. Хорошей вычислимостью характеризуются марковские модели систем, в которых случайные величины имеют экспоненциальные распределения [1-3]. Однако такие модели часто оказываются недостаточно точными, в частности, в случае учета процессов приработки и/или старения при оценке показателей надежности систем. Одним из примеров моделирования с достаточной степенью обобщения и большой точностью является применение аппарата полумарковских процессов с общим фазовым пространством состояний. Так, в работах [4-5] в аналитическом виде при помощи этого аппарата определены характеристики одноканальных систем с отказами обслуживания, в которых все случайные величины, описывающие работу систем, имеют общий вид распределения. Данный подход позволяет моделировать системы с учетом последействия. Вместе с тем, трудности разрешимости в аналитическом виде системы интегральных уравнений и сложности вычислительного плана позволяют рассматривать только частные режимы функционирования систем. Еще одним немаловажным фактором является то, что обычно статистически надежно может быть оценено лишь ограниченное количество моментов случайной величины, не говоря уже о законе распределения. В связи с вышеупомянутыми трудностями, а также с необходимостью моделирования сложных систем с большим количеством возможных состояний (например, сетецентрических систем управления) возникает необходимость сравнения различных моделей случайной величины по качественным и количественным критериям, которые позволят подобрать модель, учитывающую существенные с точки зрения практики характеристики случайных явлений, и характеризующуюся умеренными вычислительными трудностями применения. Постановка задачи Пусть - наблюдаемая положительно определенная случайная величина с эмпирическими числовыми характеристиками: математическим ожиданием и дисперсией . Задачей настоящего исследования является сравнение следующих моделей положительно определенной случайной величины : - логарифмически нормального распределения с плотностью (1) где ; - распределения Вейбулла-Гнеденко с плотностью (2) где ; - гамма-распределения с плотностью (3) где ; - гиперэкспоненциального распределения специального вида Hs с плотностью (4) где Гиперэкспоненциальное распределение достаточно хорошо изучено [6-9] и часто применяется при моделировании различного рода систем, в том числе и систем массового обслуживания [10-12]. Модель (4) впервые предложена одним из соавторов данной статьи в [13] как способ аппроксимации двухпараметрических распределений положительно определенных случайных величин. Параметры и распределения (4) однозначно определяются из уравнений для первых двух моментов: - математического ожидания и дисперсии Hs-распределения. Распределение Hs замыкает в области однозначную факторизацию пространства эмпирических характеристик ,, которую в области описывают хорошо известные и широко используемые двухпараметрические гипоэкспоненциальные распределения Эрланга Es и Ek [14], в области - вырожденное распределение константы [15], в области - экспоненциальное распределение (см. рисунок 1). Распределения (2)-(4) характеризуются убывающей интенсивностью «отказов» (молодеющие распределения). При указанных параметрах они имеют коэффициент вариации больше единицы, . Распределение (1) обладает этими свойствами при Значение является решением трансцендентного уравнения, определяющего точку максимума интенсивности «отказов» логарифмически нормального распределения. Рисунок 1. Факторизация пространства эмпирических характеристик {E*(X), D*(X)} экспоненциальным M, гиперэкспоненциальным Hs, гипоэкспоненциальным (гиперэрланговским) Es и эрланговским распределением порядка k - Ek и вырожденным распределением D Количественный анализ моделей В качестве основных количественных оценок близости Hs-распределения к остальным моделям рассматриваются метрики в пространстве функций распределения из [16]: - равномерная метрика - модуль максимального отклонения функций распределения друг от друга ; (5) - средняя метрика - интеграл модуля отклонения функций распределения друг от друга, имеющий численной значение площади фигуры, заключенной между функциями распределения . (6) В таблице 1 приведены количественные оценки близости Hs-распределения к остальным моделям случайной величины для при значениях коэффициентах вариации из множества . Можно видеть, что с увеличением коэффициента вариации наблюдается рост отклонений по равномерной (5) и средней (6) метрикам. Вид функций , , при наименьшем и наибольшем из рассматриваемых значениях - и - приведен на рисунке 2 (здесь по-прежнему). Наибольшее отклонение при (и в целом при малых коэффициентах вариации) наблюдается для логнормального распределения, при и больших дисперсиях - для гамма-распределения. Распределение Вейбулла-Гнеденко в первом случае является самым близким к гиперэкспоненциальному, во втором - занимает промежуточное положение. Таблица 1. Количественные оценки аппроксимации Hs-распределением при Логарифмически нормальное распределение Распределение Вейбулла-Гнеденко Гамма-распределение Hs , , , , , 0,105 0,033 0,055 0,054 0,018 0,030 , , , , 0,070 0,103 0,176 0,050 0,057 0,088 , , , , , 0,38 0,168 0,291 0,066 0,094 0,141 , , , , , 0,061 0,278 0,472 0,118 0,126 0,225 , , , , , 0,117 0,348 0,597 0,166 0,205 0,285 , , , , , 0,162 0,404 0,683 0,204 0,243 0,328 , , , , , 0,197 0,448 0,745 0,236 0,275 0,361 , , , , , 0,227 0,483 0,788 0,262 0,301 0,385 Рисунок 2. Количественные оценки аппроксимации распределений случайных величин Hs-распределением. Вид функций , , при и . При это соотношение распределений сохраняется. Все указанные тенденции, в целом, сохраняются при увеличении математического ожидания случайной величины. Самые большие отклонения функций распределения наблюдаются для малых значений аргумента. Это служит положительным фактором для гиперэкспоненциальной аппроксимации, поскольку на практике при расчетах часто функция распределения умножается на плотность функции восстановления для подсчета числа событий за данный промежуток времени. В таком случае наибольшее отклонение функции распределения компенсируется, так как плотность функции восстановления по определению равна нулю. Такой эффект наблюдается в примере расчета характеристик системы обслуживания в следующем разделе. Пример расчета характеристик системы обслуживания с отказами Рассмотрим пример расчета стационарных вероятностных характеристик системы с отказами обслуживающего прибора. Система функционирует следующим образом. Если обслуживающий прибор свободен, то поступившая в систему заявка начинает обслуживаться, в противном случае заявка теряется. После достижения прибором суммарной наработки, реализуемой как случайная величина общего вида, происходит его отказ, и сразу же начинается восстановление прибора. При этом обслуживаемая заявка, а также заявки, поступающие в систему во время восстановления прибора, теряются. Базовым распределением наработки на отказ обслуживающего прибора является распределение Вейбулла-Гнеденко. Исследуется его замена гиперэкспоненциальным распределением с помощью расчетных формул, полученных в [17] для общего вида случайных величин. Исследовалась система обслуживания, в которой среднее время между поступлением заявок - 1 час; время обслуживания распределено по закону Эрланга 3-го порядка со средним значением 1,5 часа; наработка на отказ - случайная величина с распределением Вейбулла-Гнеденко и средним 4 часа. В таблице 2 приведено сравнение расчетов характеристик надежности системы с распределением наработки по законам Вейбулла-Гнеденко и Hs. Определяемые характеристики системы - величины стационарных показателей функционирования , , - финальные вероятности пребывания обсуживающего прибора в свободном состоянии, в состоянии обслуживания заявки и в состоянии аварийного восстановления соответственно, а также среднее стационарное время пребывания системы в работоспособном состоянии. Соответствующие величины при аппроксимации наработки на отказ Hs-распределением обозначены в таблице 2 как , , , . Превышение абсолютной погрешности вычислений при аппроксимации для показателя среднего стационарного времени пребывания системы в работоспособном состоянии не превышает 5%, для остальных характеристик надежности - 2%. Таблица 2. Количественная оценка аппроксимации характеристик системы Hs-распределением при 1,2 0,56244 0,56180 0,24309 0,24345 0,19447 0,19476 0,43220 0,43333 1,6 0,56728 0,56521 0,24040 0,24155 0,19232 0,19324 0,42378 0,42737 2,0 0,57089 0,56733 0,23840 0,24037 0,19072 0,19230 0,41759 0,42369 2,8 0,57577 0,56959 0,23568 0,23912 0,18855 0,19130 0,40936 0,41981 3,6 0,57890 0,57065 0,23395 0,23853 0,18716 0,19082 0,40412 0,41799 4,4 0,58108 0,57123 0,23273 0,23821 0,18619 0,19057 0,40052 0,41701 5,2 0,58269 0,57157 0,23184 0,23802 0,18547 0,19041 0,39787 0,41643 6,0 0,58394 0,57179 0,23114 0,23790 0,18492 0,19032 0,39583 0,41605 Заключение Проведенный анализ позволяет сделать вывод о пригодности гиперэкспоненциального распределения Hs (4) для моделирования положительно определенных случайных величин с большим коэффициентом вариации. Анализ количественных критериев показал, что при значениях коэффициента вариации, больших единицы, Hs-распределение в разной степени «близко» к широко известным моделям. Согласно рассмотренным критериям, наилучшими аппроксимационными свойствами при малых (то есть мало превышающих единицу) коэффициентах вариации Hs-распределение обладает по отношению к распределению Вейбулла-Гнеденко, при больших - к логонормальному распределению. Гамма-распределение хорошо аппроксимируется при малых значениях коэффициента вариациии, но значительно хуже - при больших. Точность аппроксимации логнормального распределения и распределения Вейбулла-Гнеденко менее подвержены влиянию дисперсионных свойств. Однако в целом, чем больше коэффициент вариации, тем больше следует подвергать проверке возможность описания наблюдаемой случайной величины гиперэкспоненциальным распределением. Если при расчетах функция распределения умножается на плотность функции восстановления для подсчета числа событий за данный промежуток времени, погрешность аппроксимации будет уменьшаться. Важно подчеркнуть, что использование гиперэкспоненциального распределения значительно упрощает аналитическое моделирование сложных систем за счет расщепления состояний на фазы, длительности пребывания в которых имеют экспоненциальные распределения.

About the authors

Anna Igorevna Kovalenko

Institute for the Control of Complex Systems of Russian Academy of Sciences

Email: annushka199@bk.ru

Sergey Viktorovich Smirnov

Institute for the Control of Complex Systems of Russian Academy of Sciences

Email: smirnov@iccs.ru

References

Supplementary files