COMPARISON OF HYPEREXPONENTIAL DISTRIBUTION AND OTHER MODELS FOR POSITIVELY DEFINED RANDOM VARIABLES

Abstract


Due to the necessity of creating complex system models with a large number of possible states (for example, network-centric control systems), there is a need for qualitative and quantitative selection of a model that takes into account essential characteristics of random phenomena from the practical standpoint and is characterized by moderate computational difficulties in application. In the article we compare various models of positively defined random variable with hyper exponential distribution of special Hs -type based on empirical numerical characteristics: expectation and variance. We study the log-normal, gamma, and Weibull-Gnedenko distributions. All these distributions are examined under the parameters providing a decreasing intensity of “failures” and the coefficient of variation being greater than one. The uniform and average metrics are considered in the space of distribution functions as quantitative estimates of the proximity of the Hs -distribution to the rest of the models. The possibility of replacing two-parameter distributions of a positively defined random variable by the hyperexponential Hs -distribution of a special type is shown. Estimates of the effectiveness of such an approximation for various sets of parameters and examples of its application are given. An example of calculating the stationary probability characteristics of a system with server failures is considered, where the basic Weibull-Gnedenko distribution is replaced by the hyperexponential distribution of a special type. According to the criteria considered, for small coefficients of variation Hs -distribution has the best approximation properties in relation to the Weibull-Gnedenko distribution, for large ones - to the log-normal distribution. In general, the larger the coefficient of variation is, the more precisely the possibility of describing the observed random variable by the hyperexponential distribution should be tested. But in case of such approximation admissibility, the use of the hyperexponential distribution greatly simplifies the analytical modeling of complex systems due to the splitting of states into phases, the sojourn time having exponential distributions.

Full Text

Введение При описании случайных величин, характеризующих процессы различной природы в сложных системах, всегда существует проблема построения адекватных и одновременно аналитически или численно-аналитически разрешимых моделей. Под адекватностью понимается, прежде всего, точность соответствия эмпирическим данным, а о разрешимости судят по вычислимости практически полезных результатов моделирования систем. Хорошей вычислимостью характеризуются марковские модели систем, в которых случайные величины имеют экспоненциальные распределения [1-3]. Однако такие модели часто оказываются недостаточно точными, в частности, в случае учета процессов приработки и/или старения при оценке показателей надежности систем. Одним из примеров моделирования с достаточной степенью обобщения и большой точностью является применение аппарата полумарковских процессов с общим фазовым пространством состояний. Так, в работах [4-5] в аналитическом виде при помощи этого аппарата определены характеристики одноканальных систем с отказами обслуживания, в которых все случайные величины, описывающие работу систем, имеют общий вид распределения. Данный подход позволяет моделировать системы с учетом последействия. Вместе с тем, трудности разрешимости в аналитическом виде системы интегральных уравнений и сложности вычислительного плана позволяют рассматривать только частные режимы функционирования систем. Еще одним немаловажным фактором является то, что обычно статистически надежно может быть оценено лишь ограниченное количество моментов случайной величины, не говоря уже о законе распределения. В связи с вышеупомянутыми трудностями, а также с необходимостью моделирования сложных систем с большим количеством возможных состояний (например, сетецентрических систем управления) возникает необходимость сравнения различных моделей случайной величины по качественным и количественным критериям, которые позволят подобрать модель, учитывающую существенные с точки зрения практики характеристики случайных явлений, и характеризующуюся умеренными вычислительными трудностями применения. Постановка задачи Пусть - наблюдаемая положительно определенная случайная величина с эмпирическими числовыми характеристиками: математическим ожиданием и дисперсией . Задачей настоящего исследования является сравнение следующих моделей положительно определенной случайной величины : - логарифмически нормального распределения с плотностью (1) где ; - распределения Вейбулла-Гнеденко с плотностью (2) где ; - гамма-распределения с плотностью (3) где ; - гиперэкспоненциального распределения специального вида Hs с плотностью (4) где Гиперэкспоненциальное распределение достаточно хорошо изучено [6-9] и часто применяется при моделировании различного рода систем, в том числе и систем массового обслуживания [10-12]. Модель (4) впервые предложена одним из соавторов данной статьи в [13] как способ аппроксимации двухпараметрических распределений положительно определенных случайных величин. Параметры и распределения (4) однозначно определяются из уравнений для первых двух моментов: - математического ожидания и дисперсии Hs-распределения. Распределение Hs замыкает в области однозначную факторизацию пространства эмпирических характеристик ,, которую в области описывают хорошо известные и широко используемые двухпараметрические гипоэкспоненциальные распределения Эрланга Es и Ek [14], в области - вырожденное распределение константы [15], в области - экспоненциальное распределение (см. рисунок 1). Распределения (2)-(4) характеризуются убывающей интенсивностью «отказов» (молодеющие распределения). При указанных параметрах они имеют коэффициент вариации больше единицы, . Распределение (1) обладает этими свойствами при Значение является решением трансцендентного уравнения, определяющего точку максимума интенсивности «отказов» логарифмически нормального распределения. Рисунок 1. Факторизация пространства эмпирических характеристик {E*(X), D*(X)} экспоненциальным M, гиперэкспоненциальным Hs, гипоэкспоненциальным (гиперэрланговским) Es и эрланговским распределением порядка k - Ek и вырожденным распределением D Количественный анализ моделей В качестве основных количественных оценок близости Hs-распределения к остальным моделям рассматриваются метрики в пространстве функций распределения из [16]: - равномерная метрика - модуль максимального отклонения функций распределения друг от друга ; (5) - средняя метрика - интеграл модуля отклонения функций распределения друг от друга, имеющий численной значение площади фигуры, заключенной между функциями распределения . (6) В таблице 1 приведены количественные оценки близости Hs-распределения к остальным моделям случайной величины для при значениях коэффициентах вариации из множества . Можно видеть, что с увеличением коэффициента вариации наблюдается рост отклонений по равномерной (5) и средней (6) метрикам. Вид функций , , при наименьшем и наибольшем из рассматриваемых значениях - и - приведен на рисунке 2 (здесь по-прежнему). Наибольшее отклонение при (и в целом при малых коэффициентах вариации) наблюдается для логнормального распределения, при и больших дисперсиях - для гамма-распределения. Распределение Вейбулла-Гнеденко в первом случае является самым близким к гиперэкспоненциальному, во втором - занимает промежуточное положение. Таблица 1. Количественные оценки аппроксимации Hs-распределением при Логарифмически нормальное распределение Распределение Вейбулла-Гнеденко Гамма-распределение Hs , , , , , 0,105 0,033 0,055 0,054 0,018 0,030 , , , , 0,070 0,103 0,176 0,050 0,057 0,088 , , , , , 0,38 0,168 0,291 0,066 0,094 0,141 , , , , , 0,061 0,278 0,472 0,118 0,126 0,225 , , , , , 0,117 0,348 0,597 0,166 0,205 0,285 , , , , , 0,162 0,404 0,683 0,204 0,243 0,328 , , , , , 0,197 0,448 0,745 0,236 0,275 0,361 , , , , , 0,227 0,483 0,788 0,262 0,301 0,385 Рисунок 2. Количественные оценки аппроксимации распределений случайных величин Hs-распределением. Вид функций , , при и . При это соотношение распределений сохраняется. Все указанные тенденции, в целом, сохраняются при увеличении математического ожидания случайной величины. Самые большие отклонения функций распределения наблюдаются для малых значений аргумента. Это служит положительным фактором для гиперэкспоненциальной аппроксимации, поскольку на практике при расчетах часто функция распределения умножается на плотность функции восстановления для подсчета числа событий за данный промежуток времени. В таком случае наибольшее отклонение функции распределения компенсируется, так как плотность функции восстановления по определению равна нулю. Такой эффект наблюдается в примере расчета характеристик системы обслуживания в следующем разделе. Пример расчета характеристик системы обслуживания с отказами Рассмотрим пример расчета стационарных вероятностных характеристик системы с отказами обслуживающего прибора. Система функционирует следующим образом. Если обслуживающий прибор свободен, то поступившая в систему заявка начинает обслуживаться, в противном случае заявка теряется. После достижения прибором суммарной наработки, реализуемой как случайная величина общего вида, происходит его отказ, и сразу же начинается восстановление прибора. При этом обслуживаемая заявка, а также заявки, поступающие в систему во время восстановления прибора, теряются. Базовым распределением наработки на отказ обслуживающего прибора является распределение Вейбулла-Гнеденко. Исследуется его замена гиперэкспоненциальным распределением с помощью расчетных формул, полученных в [17] для общего вида случайных величин. Исследовалась система обслуживания, в которой среднее время между поступлением заявок - 1 час; время обслуживания распределено по закону Эрланга 3-го порядка со средним значением 1,5 часа; наработка на отказ - случайная величина с распределением Вейбулла-Гнеденко и средним 4 часа. В таблице 2 приведено сравнение расчетов характеристик надежности системы с распределением наработки по законам Вейбулла-Гнеденко и Hs. Определяемые характеристики системы - величины стационарных показателей функционирования , , - финальные вероятности пребывания обсуживающего прибора в свободном состоянии, в состоянии обслуживания заявки и в состоянии аварийного восстановления соответственно, а также среднее стационарное время пребывания системы в работоспособном состоянии. Соответствующие величины при аппроксимации наработки на отказ Hs-распределением обозначены в таблице 2 как , , , . Превышение абсолютной погрешности вычислений при аппроксимации для показателя среднего стационарного времени пребывания системы в работоспособном состоянии не превышает 5%, для остальных характеристик надежности - 2%. Таблица 2. Количественная оценка аппроксимации характеристик системы Hs-распределением при 1,2 0,56244 0,56180 0,24309 0,24345 0,19447 0,19476 0,43220 0,43333 1,6 0,56728 0,56521 0,24040 0,24155 0,19232 0,19324 0,42378 0,42737 2,0 0,57089 0,56733 0,23840 0,24037 0,19072 0,19230 0,41759 0,42369 2,8 0,57577 0,56959 0,23568 0,23912 0,18855 0,19130 0,40936 0,41981 3,6 0,57890 0,57065 0,23395 0,23853 0,18716 0,19082 0,40412 0,41799 4,4 0,58108 0,57123 0,23273 0,23821 0,18619 0,19057 0,40052 0,41701 5,2 0,58269 0,57157 0,23184 0,23802 0,18547 0,19041 0,39787 0,41643 6,0 0,58394 0,57179 0,23114 0,23790 0,18492 0,19032 0,39583 0,41605 Заключение Проведенный анализ позволяет сделать вывод о пригодности гиперэкспоненциального распределения Hs (4) для моделирования положительно определенных случайных величин с большим коэффициентом вариации. Анализ количественных критериев показал, что при значениях коэффициента вариации, больших единицы, Hs-распределение в разной степени «близко» к широко известным моделям. Согласно рассмотренным критериям, наилучшими аппроксимационными свойствами при малых (то есть мало превышающих единицу) коэффициентах вариации Hs-распределение обладает по отношению к распределению Вейбулла-Гнеденко, при больших - к логонормальному распределению. Гамма-распределение хорошо аппроксимируется при малых значениях коэффициента вариациии, но значительно хуже - при больших. Точность аппроксимации логнормального распределения и распределения Вейбулла-Гнеденко менее подвержены влиянию дисперсионных свойств. Однако в целом, чем больше коэффициент вариации, тем больше следует подвергать проверке возможность описания наблюдаемой случайной величины гиперэкспоненциальным распределением. Если при расчетах функция распределения умножается на плотность функции восстановления для подсчета числа событий за данный промежуток времени, погрешность аппроксимации будет уменьшаться. Важно подчеркнуть, что использование гиперэкспоненциального распределения значительно упрощает аналитическое моделирование сложных систем за счет расщепления состояний на фазы, длительности пребывания в которых имеют экспоненциальные распределения.

About the authors

Anna Igorevna Kovalenko

Institute for the Control of Complex Systems of Russian Academy of Sciences

Email: annushka199@bk.ru

Sergey Viktorovich Smirnov

Institute for the Control of Complex Systems of Russian Academy of Sciences

Email: smirnov@iccs.ru

References

  1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. - М.: КНОРУС, 2013. - 448 с.
  2. Бобков С.П., Бытев Д.О. Моделирование систем. - Иваново: Изд. ИвГХТУ, 2008. - 156 с.
  3. Ремицкая А.Я., Суслина И.А. Марковские процессы и простейшие модели теории массового обслуживания. Компьютерное моделирование простейших моделей массового обслуживания / // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. - 2007. - №38. - С. 239-248.
  4. Корлат А.Н., Кузнецов В.Н., Новиков М.И., Турбин А.Ф. Полумарковские модели восстанавливаемых систем и систем массового обслуживания. - Кишинев: Штиинца, 1991. - 209 с.
  5. Коваленко А.И. Cистемный анализ и многокритериальная оптимизация процессов профилактического восстановления в системах с отказами каналов обслуживания. Автореф. дис. к.т.н. - Самара, СамГТУ, 2017. - 20 с.
  6. Manal M. Nassar A note on some characterizations of the hyperexponential distribution. // Springer-Verlag, Statistical Papers. - 2005. - No. 46. - Р. 281-292. doi: 10.1007/BF02762972.
  7. Bladt M., Nielsen B.F. Matrix-Exponential Distributions in Applied Probability // Springer Science + Business Media LLC, Probability Theory and Stochastic Modelling. - 2017. - 749 p. doi: 10.1007/978-1-4939-7049-0.
  8. Baltzer J.C. Approximating probability densities on the positive half-line // Scientific Publishing Company, Queueing Systems. - 1989. - No. 4. - P. 115-136. doi: 10.1007/BF01158548.
  9. Рыжиков Ю.И. Теория очередей и управление запасами. - СПб: Питер, 2001. - 384 с.
  10. Tarasov V.N. Analysis of Queues with Hyperexponential Arrival Distributions // Pleiades Publishing Inc., Problems of Information Transmission. - 2016. - Vol. 52. - No. 1. - P. 16-26. doi: 10.1134/S0032946016010038.
  11. Тарасов В.Н., Бахарева Н.Ф., Ахметшина Э.Г. Модели телетрафика на основе современной теории массового обслуживания // «Инфокоммуникационные технологии». - 2018. - Том 16. - №1. - C. 68-74. doi: 10.18469/ikt.2018.16.1.07.
  12. Рыжиков Ю.И., Уланов А.В. Применение гиперэкспоненциальной аппроксимации в задачах расчета немарковских систем массового обслуживания // Вестник ТГУ. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2016. - №3. - С. 60-65.
  13. Смирнов С.В. Моделирование «сверхнерегулярных» случайных величин по экспериментальным данным // Автоматизация научных исследований: Межвуз. сб. научн. трудов. - Куйбышев: КуАИ, 1988. - С. 52-57.
  14. Тараканов К.В., Овчаров Л.А. , Тырышкин А.Н. Аналитические методы исследования систем. - М.: Сов. радио, 1974. - 240 с.
  15. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1984. - 832 с.
  16. Калашников В.В. Количественные оценки в теории надежности. - М.: Знание, 1989. - 48 с.
  17. Песчанский А.И., Коваленко А.И. Стационарные характеристики однолинейной системы обслуживания с потерями и ненадежным прибором // Таврический вестник информатики и математики. - 2013. - №1(22). - С. 69-79.

Statistics

Views

Abstract - 29

PDF (Russian) - 4

Cited-By


Article Metrics

Metrics Loading ...

PlumX

Dimensions


Copyright (c) 2019 Kovalenko A.I., Smirnov S.V.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies