HYBRID METHOD OF LINEAR SYSTEM SOLUTION FOR MATRIX OF ELECTROSTATIC INDUCTION EXTRACTION A MULTCONDUCTOR TRANSMISSION LINE IN THE RANGE OF DIELECTRIC PERMITTIVITY VARIATION

Full Text

При проектировании с учетом требований электромагнитной совместимости (ЭМС) многопроводных линий передачи (МПЛП) для печатных плат, помехозащитных устройств, средств снижения уровня перекрестных помех [1-7] широкое распространение получило имитационное математическое моделирование, позволяющее существенно сократить требуемые временные и финансовые затраты. С учетом специфики этих линий передачи (размеры поперечного сечения много меньше длин волн, распространяющихся по ним сигналов) при их проектировании часто применяется квазистатический подход (TEMаппроксимация), в основе которого лежит решение телеграфных уравнений [8]. Для нахождения погонных параметров МПЛП (матрицы R, L, C и G) используются приближения, сводящие систему уравнений Максвелла к уравнению Пуассона - Лапласа. При этом основную сложность представляет вычисление матрицы коэффициентов электростатической индукции C (далее - емкостная матрица). Вычисленные погонные параметры используются для анализа целостности сигналов, получения временного отклика и других параметров МПЛП [9; 10]. Для решения уравнения Пуассона - Лапласа используются разные аналитические и численные методы [11; 12]. Аналитические методы, к сожалению, могут применяться для структур простой формы. Поэтому при анализе структур более сложной формы используются численные методы. Среди них наиболее выигрышным в случае МПЛП является метод моментов, яв ляющийся «поверхностным», а не «объемным» как остальные (конечных разностей, элементов и объемов), поскольку при его использовании не требуется искусственное задание граничных условий, эмулирующих удаленные границы [13; 14]. Это позволяет существенно сократить вычислительные затраты на требуемый вид анализа. При одновариантном анализе (однократное вычисление первичных параметров МПЛП при заданных значениях ее геометрических и электрофизических параметров) построение математической модели состоит из нескольких этапов, наиболее затратным из которых является решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) [15]. При этом использование метода моментов сводит исходное операторное уравнение к СЛАУ с плотной и несимметричной матрицей. Поэтому для решения СЛАУ, как правило, используют прямые методы [14; 16]. В настоящее время совершенствование прямых методов является одним из основных направлений в прикладных и академических исследованиях. Так, в [17] представлены результаты исследования уменьшения затрат времени и энергии на параллельную реализацию разложения Холецкого и LU-разложения на основе гибридного использования центрального и графического процессоров. В [18] приведены три варианта параллельной реализации алгоритма LU-разложения для проведения вычислений на многоядерном процессоре с использованием инструкций OpenMP. Результаты разработки, программной реализации и оптимизации матричных операций, входящих в блочную версию LU-разложения, представлены в [19]. Показано значительное (до двух раз) ускорение разложения матриц разного порядка. В [20] отмечено ускорение на 60 % от применения параллельных вычислений для матричных операций на графическом процессоре. Также показано ускорение разложения Холецкого, LU- и QR-разложений на 80-90 %. Результаты разработки и тестирования масштабируемых библиотек линейной алгебры для эффективного использования алгоритма LUразложения на многопоточных архитектурах рабочих станций представлены в [21]. В работе [22] рассмотрены алгоритмы прямого решения СЛАУ (LU-разложение, сжатое блочное разложение и их многоуровневые реализации) применительно к методу моментов. Гибридный метод LUразложения, основанный на работе с блочными структурами, для решения СЛАУ, полученных методом моментов, предложен в работе [23]. Данный алгоритм основан на новом подходе к преобразованию матрицы СЛАУ при вычислении элементов матриц L и U совместно с оптимальным распределением нагрузки между центральным и графическим процессорами. На практике часто необходим многовариантный анализ (многократное вычисление первичных параметров МПЛП в диапазоне значений ее геометрических и электрофизических параметров). При этом временные затраты существенно возрастают из-за необходимости многократного решения СЛАУ, что делает актуальным поиск подходов к уменьшению требуемых временных затрат и, прежде всего, алгоритмических. В качестве первого подхода предложено использовать специфику нумерации подынтервалов для учета изменений матрицы СЛАУ при многовариантном анализе. На основании этого предложен алгоритм, позволяющий при изменении относительной диэлектрической проницаемости МПЛП получить желаемое уменьшение временных затрат [24]. Аналитические оценки ускорения получены в [25], в [26] приведены результаты использования данного подхода для ускорения вычисления временного отклика связанных линий передачи с учетом частотной зависимости диэлектрической проницаемости подложки. Второй подход использует итерационные методы. Выполнены обзор и ряд исследований по уменьшению временных затрат на итерационное решение СЛАУ при многовариантном анализе различных МПЛП, в том числе помехозащитных фильтров, где показана перспективность данного подхода [27-30]. Однако ранее не рассматривалась возможность гибридного использования предложенных подходов. Цель статьи - разработка гибридного метода решения СЛАУ и апробация его на примере вычисления емкостной матрицы МПЛП в диапазоне значений диэлектрической проницаемости. Математическая модель вычисления емкостной матрицы МПЛП методом моментов При анализе МПЛП с помощью квазистатического подхода используется уравнение Пуассона в дифференциальной форме [31] 2 0 -/, ∇ ϕ= ρ ε (1) где ϕ - электростатический потенциал; ρ - объемная плотность заряда. При отсутствии в анализируемой области свободных зарядов уравнение (1) сводится к уравнению Лапласа. Вычисление емкостной матрицы основано на нахождении распределения заряда по поверхности проводника. Метод моментов - это обобщенный метод решения операторных уравнений вида Lf = g, (2) где L - интегральный, дифференциальный или интегро-дифференциальный оператор (в классической постановке интегральный оператор); g - функция источника или воздействия; f - отклик анализируемой системы, описываемой с помощью уравнения (2). Тогда при решении уравнения (1) оператору L соответствует 2, -ε∇ неизвестной функции f - потенциал , ϕ а функции g - плотность заряда . ρ Если заданы граничные условия по приложенному напряжению, а не по плотности заряда, уравнение (1) записывается в виде интегральной формы -1 -1 1 (, , , 0 ) Gd ′ G ε ϕ= ρ = ∫ LL rr (3) где G(r, r’) - соответствующая функция Грина, r - точка наблюдения (x, y), r’ - точка источника (x’, y’), см. рисунок 1, dG - дифференциал по поверхности МПЛП. В данной постановке задачи считаются заданными граничные условия по приложенному напряжению , ϕ при этом требуется найти плотность заряда . ρ Для двумерного случая функция Грина ln(| |) ( , ) 2 G ′-′ = π rrrr . При наличии в структуре МПЛП плоскости земли функция Грина имеет вид (за счет использования метода зеркальных изображений) ln(| |) ln(| |) ( , ) 22 G ′′ --′ = - ππ r r r rrr , где ′ r - точка мнимого источника. Рисунок 1. Точки источника и наблюдения Выражение (3) является отправной точкой применения метода моментов в его классической постановке. Далее, используя выражения для электростатического потенциала, аппроксимацию распределения заряда с помощью базисных функций с последующим взятием серии скалярных произведений и использованием тестовых функций, задача сводится к СЛАУ вида , = SV Σ (4) где S - плотная и несимметричная матрица порядка N; V - матрица, со столбцами из задаваемых потенциалов на подобластях, на которые разбиты границы МПЛП, размера N×NCOND; Σ - матрицарешение; NCOND - число проводников в структуре, не считая опорного (количество правых частей). Особенностью метода является сегментация только границ проводников и диэлектриков анализируемой МПЛП. Одновариантный анализ Порядок матрицы S складывается из количества подынтервалов на границах «проводник-диэлектрик» NС и «диэлектрик-диэлектрик» ND, а ее элементы вычисляются на основании значений параметров этих подынтервалов [9]. Решение СЛАУ (4) дает матрицу-решение , Σ столбцы которой дают распределение плотности заряда на этих границах, используемое для нахождения матрицы C, см. рисунок 2. проводникпроводникN C ND N диэлектрикдиэлектрик проводникдиэлектрик диэлектрикпроводник NС1 NС2 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 NCOND к вычислению C11 C12 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... C22C 21 Рисунок 2. Структура матрицы S (NC= NC1+NC2) Поясним особенности вычисления емкостной матрицы С на примере двухпроводной линии передачи, расположенной над идеально прово дящей плоскостью, см. рисунок 3. В этом случае NCOND = 2 и матрица имеет вид [32] 11 12 1 12 12 21 2221 2 21 C C C CC C C C CC +-   = =  -+   C . Коэффициенты Сij называют коэффициентами электростатической индукции, собственными (если они положительны) при одинаковых индексах и взаимными (если они отрицательны) при разных индексах и имеют размерность погонной емкости. На рисунке 2 показаны блоки матрицы , Σ участ вующие в вычислении значений этих коэффициентов. 1 2 Плоскость земли C12=C21 C1 C2 Рисунок 3. Погонные емкости трехпроводной линии Многовариантный анализ При моделировании в диапазоне параметров затраты времени существенно возрастают из-за многократного решения СЛАУ. Так, происходит m-кратное (по количеству изменений параметра) формирование и решение СЛАУ. Тогда уравнение (4) преобразуется к виду , 1, 2, , , k k kkm = = … SV Σ (5) С учетом неизменности функции воздействия, потенциалы на проводниковых границах, нижний индекс матрицы V далее опущен. Рассмотрим задачу изменения значения относительной диэлектрической проницаемости подложки r ε . Для решения уравнений (5) для каждого значения r ε можно воспользоваться LUраз ложением матриц Sk и последующим решением по отдельности с каждой правой частью. Последовательно решая m систем вида (5), завершают процесс (далее это алгоритм 1). Для ясности изложения рассмотрим также предложенный в [24] алгоритм многократного вычисления емкостной матрицы с использованием блочного LU-разложения (далее это алгоритм 2). Уравнение (5) преобразуется к виду A k k Ak Dk k Dk     =   +    AB V C D Diag V Σ Σ . Размеры блоков Ak Σ и VA - NA × NCOND, а Dk Σ и VD - ND × NCOND, N = NA+ND. При изменении r ε диэлектрика блоки Ak, Bk и Сk остаются неизменными (далее используются без нижних индексов) и изменяются элементы лишь главной диагонали блоков Dk [9]. С учетом этого для хранения изменяемых элементов используются дополнительные диагональные матрицы Diagk, а диагональные элементы блока D обнуляются, то есть Dk = D + Diagk. Алгоритм вычисления m емкостных матриц (алгоритм 2) рассмотрим более подробно [24]. 1 Для k от 1 до m 2 Если k=1 3 Вычислить элементы матрицы S1, сохранить элементы главной диагонали блока D в матрице Diag1, D = D - Diag1 4 A = A-1 5 B = AB 6 D = D - CB 7 Вычислить элементы матрицы воздействий V 8 XA = AVA 9 XD = VD - CXA 10 Иначе 11 Sk = S1 12 Dk = D + Diagk 13 Dk Σ = Dk-1 XD 14 Ak Σ = XA - B Dk Σ 15 Вычислить элементы емкостной матрицы Ck 16 Dk = D - Diagk 17 Вычислить элементы матрицы Diagk+1 18 Увеличить k Согласно оценкам из [25], наибольшие затраты приходятся на шаг 13. Для их сокращения перепишем шаг в виде Dk 1k Σ = X1. Тогда для решения данной системы можно воспользоваться LU-разложением матрицы Dk с последующим NCOND раз решением с разными правыми частями, состоящими из столбцов матрицы X1 (далее - это алгоритм 3), или блочным итерационным методом. В данной статье использована блочная версия метода BiCGStab [33] (далее - алгоритм 4). В первом случае вычислительная сложность шага 13, согласно [25] 32 13 COND COND 8 3 1 2, 3 2 6 DD D Q N N N N N     = + - + -         для алгоритма 2 будет ( )( ( )) 32 13 COND COND 1 4 3 4 1 6 6 1 , DD D Q N N N NN = + + - -+ при этом общая вычислительная сложность полученного алгоритма 3 также изменится. При использовании итерационного метода (это алгоритм 4) вычислительные затраты пропорциональны произведению требуемого числа итераций и квадрата порядка решаемой СЛАУ и составляют ( ) 2 COND 10 2 D it N N N + [27]. Вычислительный эксперимент Для оценки производительности алгоритмов 3 и 4 сначала получены оценки вычислительных затрат на реализацию алгоритмов 1 и 2 при помощи математических пакетов Matlab, Octave и Scilab, широко используемых при научных исследованиях и инженерных расчетах [34; 35], а также библиотеки Eigen [36]. При вычислениях использовалась рабочая станция с параметрами: ОС - Microsoft Windows 7×64 бит, ЦПУ - Intel(R) Core(TM) i7 CPU 970 3,20 ГГц, ОЗУ - 24 Гб, а также пакеты Matlab 2013b (Intel MKL), Octave 4.4.0 (Open BLAS) Scilab 5.5.2 (Intel MKL), библиотека Eigen 3.3.4 и Microsoft Visual StuEigen 3.3.4 и Microsoft Visual Stu3.3.4 и Microsoft Visual StuMicrosoft Visual Stu Visual StuVisual Stul StuStudio 2013 (ключи компиляции: /O2, /Ot, /Gt, /GL, /MD, /Qpar, /arch:SSE2, /openmp). Далее совместному использованию Eigen и Visual Studio соотEigen и Visual Studio соот и Visual Studio соотVisual Studio соотl Studio соотStudio соот соответствует обозначение «пакет Eigen». В таблице 1 приведено время вычислений при N = 1000, 3000, NA = N/2, NCOND = 10 и m = 100 при использовании алгоритмов 1, 2, 3, а также аналитические и вычислительные оценки ускорения. Для заполнения матриц использована функция rand(). Видно, что для алгоритма 2 Eigen замедляет вычисления, что объяснятся неоптимальТаблица 1. Время работы (с) алгоритмов 1 (T1), 2 (T2), 3 (T3) и оценки ускорения N Пакет T1 T2 T3 Оценка ускорения Аналитика, 1-2 T1/T2 Аналитика, 1-3 T1/T3 Аналитика, 2-3 T2/T3 1000 Matlab 3,57 1,60 0,81 1,95 2,23 6,75 4,41 3,46 1,98 Octave 5,91 2,72 1,54 2,17 3,84 1,77 Scilab 4,03 1,60 1,00 2,52 4,03 1,6 Eigen 8,91 9,41 1,76 0,95 5,06 5,35 3000 Matlab 49,63 25,00 11,50 1,95 1,99 7,09 4,32 3,64 2,17 Octave 86,25 39,78 18,08 2,17 4,77 2,20 Scilab 55,40 25,73 14,05 2,15 3,94 1,83 Eigen 138,95 188,1026,69 0,74 5,21 7,05 ной реализацией функции обращения матриц (шаг 13). Для реализации алгоритмов наименьшее время дает Matlab. Максимальное различие во времени вычислений по алгоритму 3 для Scilab относительно Matlab составило 1,25 раза; Octave и Eigen - 1,91 и 2,44 раза соответственно. При этом Eigen вне зависимости от N дает наибольшее ускорение (что еще раз подтверждает факт неоптимальной реализации функции обращения матриц). Однако при этом общие временные затраты больше в сравнении с использованием других пакетов. Для тестирования разработанного гибридного метода по алгоритму 4 были использованы плоский симметричный 10-контактный кабель с двумя диэлектрическими слоями, поперечное сечение которого приведено на рисунке 4, и пакет Matlab. СЛАУ формировались в системе компьютерного моделирования ЭМС TALGAT [37; 38] после чего они загружались в Matlab, где и выполнялись основные вычисления согласно алгоритму 4. Полученный результат (матрица ) kΣ загружался в систему TALGAT, где выполнялось вычисление емкостной матрицы Сk. εr1 εr2 εr3=1 Рисунок 4. Поперечное сечение симметричного 10-контактного плоского кабеля При анализе рассматривалось линейное изменение относительной диэлектрической проницаемости покрывающего слоя 2 rε в диапазоне от 1,11 до 11,01 (k = 1, …, m; m = 100). Относительная диэлектрическая проницаемость подложки 1 rε была принята равной 5,4. Исследовано несколько вариантов реализации алгоритма: выбор порядка: прямой () → или обратный () ← изменения 2 rε (подобно см. [39]), использование в качестве начального приближения решения, полученного на предыдущем (k - 1)-ом шаге; использование диагонального предобусловливания. Прямой порядок соответствовал приращению 1,11, 1,21, …, 11,01. Использовано три порядка СЛАУ (полученных учащением сегментации границ структуры) ND/N: 500/1000, 1552/3032, 3004/5864. Итерационный процесс останавливался, если относительная норма невязки tol становилась меньше 10-4. Полученные результаты сведены в таблицу 2 (I - нулевое начальное приближение, II - предыдущее решение, III - нулевое начальное приближение и диагональное предобусловливание, IV - предыдущее решение и диагональное предобусловливание). Курсивом выделено общее число затраченных итераций на все СЛАУ, а верхним индексом «*» - если при решении хотя бы одной СЛАУ требуемое число итераций достигало максимального значения, принятого равным 100. Видно, что для всех исследованных версий алгоритма 4, за исключением 4-I, использование обратного порядка предпочтительнее по сравнению с прямым. Использование диагонального предобусловливания практически всегда снижает число итераций, но снижение несущественно, поэтому его использование не позволяет получить желаемое ускорение. Также важно, что, с точки зрения минимизации временных затрат, использование в качестве начального приближения решения предыдущей СЛАУ является более выигрышным по сравнению с фиксированным начальным приближением (в данной статье нулевым). Для демонстрации точности предлагаемого подхода на рисунке 5 приведены последние (k = 100) емкостные матрицы, полученные в системе TALGAT по алгоритму 1 (С100T) и алгоритму 4-II в сочетании с обратным порядком при tol = 10-4 (С100) и tol = 10-1 (С’100) для случая ND/N = 3004/5864. Сравнение результатов, полученных для других структур в системе TALGAT, с результатами других авторов можно найти в [40]. Для наглядного сравнения полученных результатов значения элементов матриц С100 и С’100, имеющие различия с соответствующими значениями элементов матрицы С100T, выделены подчеркиванием. Видно, что при tol = 10-4 различия менее 1%. При уменьшении требуемой точности вычислений до tol = 10-1 время вычислений уменьшилось с 24,45 до 18,15 с (в 1,35 раза) за счет уменьТаблица 2. Время работы (с) и число итераций алгоритма 4 при разных наборах параметров и tol = 10-4 ND/N Алгоритм 3 4-I 4-II 4-III 4-IV → ← → ← → ← → ← 500/1000 0,81 1,87 (650) 1,95 (653) 1,82 (469) 1,76 (462) 3,98 (1879*) 2,05 (621) 2,42 (698) 2,03 (398) 1552/303211,27 9,45 (698) 9,36 (694) 6,86 (363) 6,83 (359) 21,05 (1718*) 11,40 (655) 11,58 (682) 8,65 (349) 3004/586462,3436,49 (776)36,58 (777) 25,27 (336) 24,45 (330)59,89 (1327*)42,50 (700) 41,44 (667) 31,72 (351) шения итераций с 330 до 104. При этом различия увеличились, но незначительно (до 4%). Таким образом, при незначительной потере точности удалось ускорить процесс многократного решения СЛАУ до 2,5 (tol = 10-4) и 3,4 (tol = = 10-1) раз, для ND/N = 3004/5864 при использовании алгоритма 4-II и обратного порядка относительно алгоритма 3. В результате ускорение относительно алгоритмов 2 и 1 будет еще больше. Заключение В статье предложен усовершенствованный алгоритм вычисления серии матриц коэффициентов электростатической индукции методом моментов путем замены операции решения СЛАУ с помощью обратной матрицы на ее решение с помощью LU-разложения. Получены аналитические оценки его сложности и выполнено их сравнение с численными, показавшее согласованность результатов. Предложен гибридный метод, основанный на использовании блочного LU-разложения и итерационного метода. На примере тестовой структуры (10-проводной линии передачи) показано ускорение в 2,5 раза относительно усовершенствованного алгоритма. Также показано, что значительное уменьшение задаваемой точности решения СЛАУ дает незначительную потерю точности вычисления коэффициентов электростатической индукции, но существенно увеличивает ускорение. Для получения еще большего ускорения в используемой математической модели изменяемые подынтервалы можно нумеровать последними. Это уменьшит порядок матрицы D и тем самым время вычислений. Таким образом, показана перспективность использования предложенного метода для решения практических задач. В дальнейшем целесообразно исследовать использование других блочных итерационных методов и способов предобусловливания для оценки универсальности предложенного метода. Работа выполнена в рамках Государственного задания №8.9562.2017/8.9 Минобрнауки России. 100 159,166 27,0511 1,00930 0,46658 0,22882 0,14323 0,09452 0,06018 0,04806 0,04847 27,0593 167,278 25,1093 0,98541 0,33222 0,18046 0,10778 0,06596 0,05076 0,04881 1,01324 25,1093 167,285 0,26995 0,71 T --------- - - - - - - - - - - - - - =C 115 0,30135 0,15701 0,08980 0,06611 0,06123 0,46676 0,98228 26,9889 159,789 6,62611 0,78963 0,31274 0,15648 0,10757 0,09571 0,23142 0,33499 0,71977 6,62628 159,785 27,1995 0,77653 0,29849 0,17934 0,1443 ----- - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 0,14347 0,18015 0,30074 0,77652 27,1995 159,785 6,62630 0,71491 0,03340 0,23320 0,09525 0,10825 0,15782 0,31273 0,78963 6,62611 159,789 26,9735 0,98663 0,47196 0,06046 0,06599 0,08985 0,15580 0,29928 - - - - - - - - - - - - - - - - - - ------0,70697 26,9814 168,314 26,7845 1,01661 0,04828 0,05077 0,06612 0,10713 0,17964 0,33119 0,98898 26,7844 168,308 27,0448 0,04847 0,04861 0,06099 0,09497 0,14408 0,23056 0,47179 1,01341 27,0351 159,166    - - - - - - - - - - - - ---------                 а 100 159,166 27,0511 1,00930 0,46658 0,22883 0,14323 0,09452 0,06018 0,04806 0,04847 27,0593 167,278 25,1093 0,98541 0,33222 0,18046 0,10778 0,06595 0,05075 0,04799 1,01323 25,1093 167,285 0,26995 0,711 --------- - - - - - - - - - - - - - =C 16 0,30135 0,15701 0,08980 0,06611 0,06121 0,46677 0,98226 26,9889 159,789 6,62612 0,78964 0,31274 0,15647 0,10756 0,09568 0,23142 0,33497 0,71976 6,62628 159,785 27,1995 0,77653 0,29848 0,17931 0,14429 ----- - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0,14346 0,18013 0,30073 0,77653 27,1995 159,785 6,62630 0,71490 0,03340 0,23318 0,09524 0,10823 0,15782 0,31274 0,78964 6,62612 159,789 26,9735 0,98663 0,47196 0,06045 0,06598 0,08984 0,15580 0,29929 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - ------,70697 26,9814 168,314 26,7844 1,01659 0,04828 0,05076 0,06612 0,10714 0,17965 0,33119 0,98898 26,7844 168,308 27,0448 0,04846 0,04861 0,06099 0,09497 0,14408 0,23056 0,47179 1,01341 27,0351 159,166     - - - - - - - - - - - - ---------                 б 100 158,823 27,0230 1,02412 0,47493 0,23345 0,14621 0,09669 0,06176 0,04939 0,04965 27,0150 166,938 25,0715 0,99162 0,33593 0,18242 0,10926 0,06691 0,05157 0,04955 1,01994 25,0715 166,945 0,26950 0,71 --------- - - - - - - - - - - - - - ′ =C 671 0,30423 0,15903 0,09103 0,06713 0,06212 0,47410 0,99471 26,9957 159,447 6,63421 0,80335 0,31959 0,16052 0,11050 0,09795 0,23664 0,34382 0,73450 6,63452 159,443 27,1634 0,78621 0,30408 0,18323 0,1471 ----- - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5 0,14628 0,18402 0,30626 0,78620 27,1634 159,443 6,63455 0,72979 0,03430 0,23846 0,09748 0,11116 0,16183 0,31958 0,80335 6,63422 159,447 26,9416 0,99916 0,47937 0,06132 0,06697 0,09101 0,15774 0,30203 - - - - - - - - - - - - - - - - - - ------0,71230 26,9356 167,975 26,7424 1,02274 0,04899 0,05154 0,06701 0,10855 0,18148 0,33469 0,99463 26,7423 167,968 27,0000 0,04964 0,04994 0,06256 0,09714 0,14707 0,23522 0,48022 1,02837 27,0075 158,823    - - - - - - - - - - - - ---------                 в Рисунок 5. Емкостные матрицы (пФ/м), полученные для N3 при использовании алгоритмов 1 (а) и 4-II в сочетании с обратным порядком при tol = 10-4 (б), - 10-1 (в)

About the authors

S. P Kuksenko

Tomsk state university of control system and radioelectonics

Tomsk, Russian Federation

References

Supplementary files