The monoreactive multibody floating-frequency oscillator

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Известны двухмерные [1] и трёхмерные [2] плоские монореактивные осцилляторы, в которых могут возникать свободные гармонические колебания [3]. Недостатком двухмерных плоских монореактивных осцилляторов является несбалансированность по силам, что может приводить к вредным побочным вибрационным эффектам. Этого недостатка лишены трёхмерные осцилляторы. Вместе с тем представляет интерес возможность увеличения размерности плоских монореактивных осцилляторов, например, для моделирования центрально симметричных многопоршневых механизмов.

Актуальность исследования определяется тем, что колебания инертных масс встречаются повсеместно [4–7], в том числе, в поршневых двигателях, в мехатронике и робототехнических системах, в гидравлических машинах, вакуумной и компрессорной технике, в гидро- и пневмосистемах, в наземных транспортно-технологических средствах и комплексах, например, колебания решёт в зерноуборочных комбайнах и т. д.

МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОМЕРНОГО ПЛОСКОГО МОНОРЕАКТИВНОГО ОСЦИЛЛЯТОРА

Подобно трёхмерной плоской системе координат [2] в координатной плоскости  может быть рассмотрена многомерная система с  осями0x_z1, 0x_z2, …., 0x_zn, смещённых друг относительно друга на углы 2π/n. Имеется произвольный вектор R, исходящий из начала координат 0 R ⊂ Z. В указанных обстоятельствах справедлива

Теорема 1.

1.1. Точки x₁, x₂, …., x_n, являющиеся координатами конца вектора R в координатной системе 0x_z1, 0x_z2, …., 0x_zn, являются вершинами правильного многоугольника.

1.2. Форма и размеры многоугольника не связаны с координатами вектора R, т. е. неизменны.

1.3. Центр правильного многоугольника во всех случаях совпадает с серединой вектора R.

Доказательство

Координаты вектора R равны

$x_1=R\mathrm{cos\phi }$,                                                                                                                            (1)

$x_2=R\cos \left(\frac{\pi }{n}-\phi \right)$,                                                                                                                  (2)

$x_3=R\cos \left(\frac{2\pi }{n}-\phi \right)$,                                                                                                                (3)

$x_i=R\cos \left[\frac{(i-1)\pi }{n}-\phi \right]$,                                                                                                           (4)

$x_n=R\cos \left[\frac{(n-1)\pi }{n}-\phi \right]$.                                                                                                         (5)

Из теоремы косинусов следует:

${\left(x_i{x}_{i+1}\right)}^2=R^2\left\{{\cos }^2\left[\frac{(i-1)\pi }{n}-\phi \right]+{\cos }^2\left(\frac{i\pi }{n}-\phi \right)\right.\left.-2\cos \left[\frac{(i-1)\pi }{n}-\phi \right]\cos \left(\frac{i\pi }{n}-\phi \right)\cos \frac{\pi }{n}\right\}=$

$=R^2\left\{{\cos }^2\left(\frac{i\pi }{n}-\phi -\frac{\pi }{n}\right)+{\left(\cos \frac{i\pi }{n}\cos \phi +\sin \frac{i\pi }{n}\sin \phi \right)}^2-\right.2\left[\cos \frac{\pi }{n}\left(\cos \frac{i\pi }{n}\cos \phi +\sin \frac{i\pi }{n}\sin \phi \right)+\right.$

$+\left.\sin \frac{\pi }{n}\left(\sin \frac{i\pi }{n}\cos \phi -\cos \frac{i\pi }{n}\sin \phi \right)\right]\left.\cdot \left(\cos \frac{i\pi }{n}\cos \phi +\sin \frac{i\pi }{n}\sin \phi \right)\cos \frac{\pi }{n}\right\}=$

$=R^2\left({\cos }^2\frac{\pi }{n}{\cos }^2\frac{i\pi }{n}{\cos }^2\phi +{\cos }^2\frac{\pi }{n}{\sin }^2\frac{i\pi }{n}{\sin }^2\phi +{\sin }^2\frac{\pi }{n}{\sin }^2\frac{i\pi }{n}{\cos }^2\phi +\right.$

$+{\sin }^2\frac{\pi }{n}{\cos }^2\frac{i\pi }{n}{\sin }^2\phi +2{\cos }^2\frac{\pi }{n}\cos \frac{i\pi }{n}\cos \phi \sin \frac{i\pi }{n}\sin \phi +$

$+2\cos \frac{\pi }{n}\cos \frac{i\pi }{n}{\cos }^2\phi \sin \frac{\pi }{n}\sin \frac{i\pi }{n}-2\cos \frac{\pi }{n}{\cos }^2\frac{i\pi }{n}\cos \phi \sin \frac{\pi }{n}\sin \phi +$

$+2\cos \frac{\pi }{n}{\sin }^2\frac{i\pi }{n}\sin \phi \sin \frac{\pi }{n}\cos \phi -2\cos \frac{\pi }{n}\sin \frac{i\pi }{n}{\sin }^2\phi \sin \frac{\pi }{n}\cos \frac{i\pi }{n}-$

$-2{\sin }^2\frac{\pi }{n}\sin \frac{i\pi }{n}\cos \phi \cos \frac{i\pi }{n}\sin \phi +{\cos }^2\frac{i\pi }{n}{\cos }^2\phi +{\sin }^2\frac{i\pi }{n}{\sin }^2\phi +$

$+2\cos \frac{i\pi }{n}\cos \phi \sin \frac{i\pi }{n}\sin \phi -2{\cos }^2\frac{\pi }{n}{\cos }^2\frac{i\pi }{n}{\cos }^2\phi -$

$-2{\cos }^2\frac{\pi }{n}\sin \frac{i\pi }{n}\sin \phi \cos \frac{i\pi }{n}\cos \phi -2\sin \frac{\pi }{n}\sin \frac{i\pi }{n}{\cos }^2\phi \cos \frac{i\pi }{n}\cos \frac{\pi }{n}+$

$+2\sin \frac{\pi }{n}{\cos }^2\frac{i\pi }{n}\sin \phi \cos \phi \cos \frac{\pi }{n}-2{\cos }^2\frac{\pi }{n}\cos \frac{i\pi }{n}\cos \phi \sin \frac{i\pi }{n}\sin \phi -$

$-2{\cos }^2\frac{\pi }{n}{\sin }^2\frac{i\pi }{n}{\sin }^2\phi -2\sin \frac{\pi }{n}{\sin }^2\frac{i\pi }{n}\cos \phi \sin \phi \cos \frac{\pi }{n}\left.+2\sin \frac{\pi }{n}\cos \frac{i\pi }{n}{\sin }^2\phi \sin \frac{i\pi }{n}\cos \frac{\pi }{n}\right)=$

$=R^2\left[{\cos }^2\phi \right.\left({\sin }^2\frac{\pi }{n}{\sin }^2\frac{i\pi }{n}-{\cos }^2\frac{\pi }{n}{\cos }^2\frac{i\pi }{n}+{\cos }^2\frac{i\pi }{n}\right)+$

$\left.+{\sin }^2\phi \left({\sin }^2\frac{\pi }{n}{\cos }^2\frac{i\pi }{n}-{\cos }^2\frac{\pi }{n}{\sin }^2\frac{i\pi }{n}+{\sin }^2\frac{i\pi }{n}\right)\right]=$

$=R^2\left[{\cos }^2\phi \right.\left({\sin }^2\frac{\pi }{n}{\sin }^2\frac{i\pi }{n}+{\sin }^2\frac{\pi }{n}{\cos }^2\frac{i\pi }{n}\right)\left.+{\sin }^2\phi \left({\sin }^2\frac{\pi }{n}{\cos }^2\frac{i\pi }{n}+{\sin }^2\frac{\pi }{n}{\sin }^2\frac{i\pi }{n}\right)\right]=$

$=R^2\left[{\cos }^2\phi {\sin }^2\frac{\pi }{n}\left({\sin }^2\frac{i\pi }{n}+{\cos }^2\frac{i\pi }{n}\right)+{\sin }^2\phi {\sin }^2\frac{\pi }{n}\left({\cos }^2\frac{i\pi }{n}+{\sin }^2\frac{i\pi }{n}\right)\right]=$

$=R^2\left[{\cos }^2\phi {\sin }^2\frac{\pi }{n}\left({\sin }^2\frac{i\pi }{n}+{\cos }^2\frac{i\pi }{n}\right)+{\sin }^2\phi {\sin }^2\frac{\pi }{n}\left({\cos }^2\frac{i\pi }{n}+{\sin }^2\frac{i\pi }{n}\right)\right]=$.

Это означает, что любая сторона многоугольника имеет фиксированную длину, не связанную с координатами вектора R.

Пусть r — это средняя точка вектора R. Из теоремы косинусов следует:

${\left(x_{i}r\right)}^2=R^2\left\{{\cos }^2\left[\frac{\left(i-1\right)\pi }{n}-\phi \right]+\frac{1}{4}-\right.\left.2\cos \left[\frac{\left(i-1\right)\pi }{n}-\phi \right]\frac{1}{2}\cos \left[\frac{\left(i-1\right)\pi }{n}-\phi \right]\right\}=\frac{R^2}{4}$.

Это означает, что расстояния от точки r до всех вершин многоугольника равны между собой. Следовательно, точка r находится в центре многоугольника, что с учётом равенства его сторон позволяет заключить, что многоугольник правильный.

Теорема доказана.

Теорема 1 даёт исчерпывающее представление об очертаниях многомерного плоского монореактивного осциллятора, который схематично изображён на рис. 1.

Рис. 1. Многомерный плоский монореактивный осциллятор.

Fig. 1. The multidimensional planar monoreactive oscillator.

В рассматриваемом (идеализированном) случае многоугольник, в вершинах которого расположены осциллирующие грузы массами m, лежит в плоскости Z. В технических приложениях грузы не должны препятствовать перемещениям друг друга, следовательно, каждому грузу должна соответствовать своя плоскость, а все плоскости должны быть параллельными (наподобие многопоршневого механизма).

АНАЛИЗ МНОГОМЕРНОГО ПЛОСКОГО МОНОРЕАКТИВНОГО ОСЦИЛЛЯТОРА

Далее предполагается отсутствие диссипации энергии и внешних воздействий на осциллятор.

Производные выражений (1) — (5) доставляют скорости грузов.

$\frac{d{x}_1}{dt}=-R\sin \phi \frac{d\phi }{dt}$,

$\frac{d{x}_2}{dt}=R\sin \left(\frac{\pi }{n}-\phi \right)\frac{d\phi }{dt}$,

$\frac{d{x}_3}{dt}=R\sin \left(\frac{2\pi }{n}-\phi \right)\frac{d\phi }{dt}$,

$\frac{d{x}_i}{dt}=R\sin \left[\frac{(i-1)\pi }{n}-\phi \right]\frac{d\phi }{dt}$,

$\frac{d{x}_n}{dt}=R\sin \left[\frac{(n-1)\pi }{n}-\phi \right]\frac{d\phi }{dt}$.

Условием возникновения свободных гармонических колебаний является неизменность полной энергии системы, которая в рассматриваемом случае является исключительно кинетической, что и обусловливает монореактивный характер осциллятора [1].

$T=\frac{1}{2}m{R}^2\left\{{\sin }^2\phi +{\sin }^2\left(\frac{\pi }{n}-\phi \right)+\mathrm{...}+{\sin }^2\left[\frac{(i-1)\pi }{n}-\phi \right]\right.\left.+\mathrm{...}+{\sin }^2\left[\frac{(n-1)\pi }{n}-\phi \right]\right\}{\left(\frac{d\phi }{dt}\right)}^2$.           (6)

Для рассматриваемой плоской многомерной системы координат справедлива

Теорема 2.

Для n ≥ 2 выполняется соотношение

$\sum _{i=1}^n{\sin }^2\left[\frac{(i-1)\pi }{n}\pm \phi \right]=\frac{n}{2}$.                                                                                                     (7)

Доказательство

$\sum _{i=1}^n{\sin }^2\left[\frac{(i-1)\pi }{n}\pm \phi \right]=\sum _{i=1}^n\left\{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos \left[\frac{(i-1)2\pi }{n}\pm 2\phi \right]\right\}=$

$=\frac{n}{2}-\frac{1}{2}\cos 2\phi \sum _{i=1}^n\cos \frac{(i-1)2\pi }{n}\mp \frac{1}{2}\sin 2\phi \sum _{i=1}^n\sin \frac{(i-1)2\pi }{n}$.

Сумма единичных векторов, отложенных на координатных осях 0x_z1,0x_z2,...,0x_zn, равна нулю в силу центральной симметрии. Из этого необходимо следует, что и сумма проекций указанных векторов на каждую из осей 0x_z1,0x_z2,...,0x_zn тоже равна нулю. В этой связи второе и третье слагаемые последнего выражения имеют нулевые значения.    

Теорема доказана.

Следствие

$n=2\Rightarrow \sum _{i=1}^n{\sin }^2\left[\frac{(i-1)\pi }{n}\pm \phi \right]=\frac{n}{2}={\sin }^2\phi +{\sin }^2\left(\frac{\pi }{2}+\phi \right)={\sin }^2\phi +{\cos }^2\phi =1$.

Другими словами, последнее тождество является частным случаем формулы (7).

Очевидно, что справедлива и 

Теорема 3.

Для n ≥ 2 выполняется соотношение

$\sum _{i=1}^n{\cos }^2\left[\frac{(i-1)\pi }{n}\pm \phi \right]=\frac{n}{2}$.

Применение теоремы 2 к энергии (6) даёт

$T=\frac{1}{4}nm{R}^2{\left(\frac{d\phi }{dt}\right)}^2=\text{const}$.

Это означает, что

$\frac{d\phi }{dt}=\text{const}$,

$\mathrm{\phi }=C_{1}t+C_2$.

В общем виде начальные условия имеют вид:

$\mathrm{\phi }\left(0\right)={\mathrm{\phi }}_0$,

$\frac{\mathrm{d\phi }}{\mathrm{dt}}\left(0\right)={\mathrm{\omega }}_0$.

Поэтому

$C_2={\mathrm{\phi }}_0$, $C_1={\mathrm{\omega }}_0$.

С учётом этого перемещения грузов (1) — (5) приобретают форму:

$x_1=\mathrm{Rcos}\left({\mathrm{\omega }}_0\mathrm{t}+{\mathrm{\phi }}_0\right)$,

$x_2=\mathrm{Rcos}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{n}}-{\mathrm{\omega }}_0\mathrm{t}-{\mathrm{\phi }}_0\right)$,

$x_3=\mathrm{Rcos}\left(\frac{2\mathrm{\pi }}{\mathrm{n}}-{\mathrm{\omega }}_0\mathrm{t}-{\mathrm{\phi }}_0\right)$,

$x_i=\mathrm{Rcos}\left[\frac{(\mathrm{i}-1)\mathrm{\pi }}{\mathrm{n}}-{\mathrm{\omega }}_0\mathrm{t}-{\mathrm{\phi }}_0\right]$,

$x_n=\mathrm{Rcos}\left[\frac{(\mathrm{n}-1)\mathrm{\pi }}{\mathrm{n}}-{\mathrm{\omega }}_0\mathrm{t}-{\mathrm{\phi }}_0\right]$.

В общем виде начальные условия имеют вид:

$x_1\left(0\right)=x_{10}$,

Очевидно, что

${\mathrm{cos\phi }}_0=\frac{{\mathrm{x}}_{10}}{\mathrm{R}}$;

${\mathrm{\phi }}_0=\arccos \frac{{\mathrm{x}}_{10}}{\mathrm{R}}=\arcsin \sqrt{1-\frac{{\mathrm{x}}_{10}^2}{{\mathrm{R}}^2}}$

$-{\mathrm{R\omega }}_0\sin ({\mathrm{\omega }}_{0}0+{\mathrm{\phi }}_0)={\mathrm{v}}_{10}$

${\mathrm{\omega }}_0=-\frac{{\mathrm{v}}_{10}}{\sqrt{{\mathrm{R}}^2-{\mathrm{x}}_{10}^2}}$.                                                                                    (8)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В рассмотренном многомерном плоском монореактивном осцилляторе могут происходить свободные гармонические линейные колебания грузов. При этом в энергообмене участвует только кинетическая энергия. В упругих элементах [8–10] нет необходимости.

Осциллятор не имеет фиксированной собственной частоты колебаний. В соответствии с (8), частота зависит от начальных скоростей и положений грузов.

Правильный многоугольник  совершает двойное вращение — вокруг точки 0 и вокруг точки r.

В то же время грузы осуществляют линейные гармонические колебания с амплитудой .

Использование кривошипно-ползунного или кривошипно-шатунного механизма позволит организовать параллельное движение грузов.

Полученные результаты могут быть использованы при разработке и исследовании механизмов, совершающих возвратно-поступательные движения в поршневых двигателях, в мехатронике и робототехнических системах, в гидравлических машинах, вакуумной и компрессорной технике, в гидро- и пневмосистемах, в наземных транспортно-технологических средствах и комплексах.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

Вклад автора. Автор подтверждает соответствие своего авторства международным критериям ICMJE (автор внёс существенный вклад в разработку концепции, проведение исследования и подготовку статьи, прочёл и одобрил финальную версию перед публикацией).

Конфликт интересов. Автор декларирует отсутствие явных и потенциальных конфликтов интересов, связанных с публикацией настоящей статьи.

Источник финансирования. Автор заявляет об отсутствии внешнего финансирования при проведении исследования.

ADDITIONAL INFORMATION

Author`s contribution. The author confirms that his authorship complies with the international ICMJE criteria (the author made a significant contribution to the development of the concept, research and preparation of the article, read and approved the final version before publication).

Competing interests. The author declares that they have no competing interests.

Funding source. This study was not supported by any external sources of funding.

About the authors

Igor P. Popov

Author for correspondence.
Email: uralakademia@kurganstalmost.ru
ORCID iD: 0000-0001-8683-0387
SPIN-code: 9668-2780

Cand. Sci. (Engineering.), Associate Professor of the Technology of Mechanical Engineering, Machine Tools and Instruments Department

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1. The multidimensional planar monoreactive oscillator.

Download (99KB)

Indexing metadata