Construction of multi-parameter Lyapunov function for a nonlinear system

Abstract

In this paper, the system with two non-linearities, one of which is the multiplicative, constructed Lyapunov function containing 5 variable parameters. There is indicated possible application of this function to locate the region of asymptotic stability of the zero solution and optimization of thetransition process.

Full Text

Построение многопараметрической функции Ляпунова для одной нелинейной системы к.ф-м.н., доц. Огурцов А.И. МГТУ «СТАНКИН» (499) 457-41-47, kuredut@gmail.com Аннотация. Для системы имеющей две нелинейности, одна из которых - мультипликативная, построена функция Ляпунова, содержащая 5 варьируемых параметров. Указываются возможности применения этой функции для нахождения области асимптотической устойчивости нулевого решения и оптимизации пере- ходного процесса. Ключевые слова: дифференциальные уравнения, устойчивость, функции Ля- пунова. В теории автоматического управления наряду с известными системами дифференци- альных уравнений Лурье рассматриваются также системы более общего вида, в которых не- линейные члены представляют собой произведения функций. Примеры реальных физиче- ских и биологических систем, для которых указанные системы являются математическими моделями, встречаются в работах зарубежных авторов. В настоящей работе изучается система дифференциальных уравнений четвертого по- рядка смешанного типа и ставится задача о нахождении эффективного достаточного крите- рия асимптотической устойчивости ее нулевого решения. Задача решается путем нестан- дартного построения многопараметрической функции Ляпунова. В идейном отношении эта работа связана с работами [1] и [2]. dx  y, dy dz dt dt dt Итак, рассматривается система:  az  n1 y,  u   x y, du dt  n2u  f  x , (1) в которой правые части определены в некоторой ограниченной, замкнутой, выпуклой области D фазового пространства, содержащей начало координат; a, n1, n2 - положительные постоянные,  x непрерывная, а f  x непрерывно дифференцируемая функции. Предполагается, что f 0  0,  x  0, f  x  c  0 при x  o, c  const и выx 1 1 полняются условия существования и единственности решений системы (1). К системе вида (1) приводятся, например, уравнения возмущенного движения некото- рых сервомеханизмов. Нулевое решение системы (1) соответствует невозмущенному движению изучаемой физической системы, величины x, y, z,u являются отклонениями от невозмущенного движения. При этом x и z приведены к безразмерной форме, время t размерное, все остальные переменные имеют соответственные размерности. Введем в рассмотрение функцию Ляпунова следующей структуры 2V  2 x2  2a xy  2a xz  2a xu  a y2  2a yz  2a yu  a z2  2a zu  11 12 13 14 22 23 24 33 34 x x a u2  2b f  xdx  2b f x y  b g 2 x  2b g xdx  2b g x  z  2b g x u  44 1  2 3 4  5 6 0 0 (2) x 2b7  x xdx. 0 Здесь g  x   xdx,    c  0, c  const, x  0, a i, j  1,4,b  k  1,7 ,- x g x  x 2 2     ij k     0 постоянные. Вычисляем производную функции V по времени в силу системы (1): V  V y  V az  n1 y  V u   x y    V n2u  f x. x y dz u xu , В полученном выражении приравниваем к нулю слагаемые, содержащие произведения f  x y,  x yz, x yu, x g x y, g xu . Из этих равенств мы получаем следующие соотношения между коэффициентами функции (1): a13  a14n2 , a33  b5, a34  b6 , b3  b5, b5  b6n2. (3) Кроме того мы полагаем a33 = a34n2, после чего: b5 a34n2 , b6  a34 , b3  a34n2. (4) Далее введем четыре вспомогательных параметра   0,   0, 0   1,  1 согласно соотношениям: a23  a14  1 a24a1, a24   a , n2 34 a22a  n1a23, b2   a34 , (5) a a где: a1  n1  n2 . Допустимые границы изменений параметров нейшем. , , и  будут определены в даль- После этого производная V может быть представлена следующим образом: V  1  f  x   y    z   u  a g  x 1 2   f x a  f x x  2  1 2 3 4   34 x 2 1 x 14  a a n  1 2  a   x  b f / x y2   a a  1 2  z2   a a n  1 2 u2  (6)  12 22 1 2 2 23 2   23 2 3   34 44 2 2 4       g  x b  a  b x xy  a a  b a     a  f x xz, x  0.  4 x 13 7   12 2 1 3 34 x      Здесь: a   a1 a241 , a   a24a 1 , a a 2 3 44 44 (7) 14  a44 , 23  a14n2  1 a23n1, 24  a24a1 , 34  a24a . Последнее равенство в (7) обеспечивается за счет параметра  . Выражение в квадратной скобке во втором слагаемом в (6) имеет структуру левой ча- сти неравенства Льенара-Шипара, являющегося условием асимптотической устойчивости линеаризованной системы (1). Поэтому естественно положить: 2 2 2 2 a34  a1n1n2 a, 1  2aa1 , a14  n1n2a p, . (8) где: р - параметр, выбором которого мы распорядимся позднее. После этого мы имеем: 2 2   a44 ,    a1 a24 ,     a24a , b  b n  a    . (9) 4 2 1 2 n 1 3 n 1 2 1 24 1 2 1 2 2 Далее выберем а44 из условия минимума коэффициента при u2. Мы получаем a  2n и, следовательно, коэффициент при u2 1 2 в V равен aa n3 . 44 1 2 Будем полагать, что существуют такие венства 1  0 и 2  0 , что в D выполняются нераg  x 1 2 a   f  x a   , f  x   , x  0 . (10) 34 x 2 2 x 14 1 x 2 Рассмотрим «коэффициент» при xy в V . Так как конкретная информация о функциях f(x) и g(x) в общих случаях не известна, то исходя из потребности минимизации этого выра- жения, следует признать, что в одних случаях коэффициент b7 целесообразно считать поло- жительным, а в других - отрицательным. Несколько подробней об этом будет сказано ниже. Пока обратимся к «коэффициенту» при xz в V . В нем: b2a  13  a34  a34  a34  a34    1 a34 , где: 1   1, Положим:   1 . a12a    1 M0a34 , (11) где: M0  m  M , m  inf f  x, M  sup f  x. 2 D D Тогда «коэффициент» при xz в V запишется как:    f  x  F13    1 a34 M0  x  , x  0 (12)   Аналогичный подход можно применить и к предпоследнему слагаемому в выражении (6). А именно, обозначим: и положим:   x : g  x ,  x x x  0 n  N 0 a13  b1  N , b4 (13) где: N0  , n  inf  x, N  sup  x . 2 D D Соотношение (13) налагает связь на коэффициенты b4 и b7. «Коэффициент» при xy в V можно теперь представить как: F12 : b4 x x  N0  (14) Рассмотрим далее «коэффициент» при y2 в V . Имея в виду выражения для а34 и а14 в (8), представим а14 в виде: где: a14  q a34 , (15) q  ap a1n2 . (16) Тогда с учетом (8) и (5) названный «коэффициент» можно представить как: K : -1 M0 a 1 n2 a 22a n n2  1 1 2 a     x    f /  x, (17) 1 34 23 34 23 34 где: a a 4a2 a 23  a   q  1 n2a1 a   a34 , 1  1 .   Представим коэффициент при а34 во втором слагаемом в (17) следующим образом: 1 n2  1  2  1 β n2 , где: 1  0, a a 2  0, 1  2  1. Далее, имея в виду получить удобные достаточные условия отрицательности К1, пред- ставим его как сумму трех фрагментов: K1  K11  K12  K13 , где: n n a   2 n  1 2 1 2 K11   2 a 1n11  4  a34 , (18)    K12   2   1 n2 a    x a23 ,  (19) K   1  n2q     M   f /  x . (20) 13 a  1 1 1 0  Для отрицательности K11 потребуем выполнения неравенства:    ,  : 41n11 . (21) 2 1 1 2n Относительно K12 мы будем предполагать, что: n2 2  1 a  sup x  c3  0 . (22) D В дальнейшем будет установлено, что величина п1 является возрастающей функцией п1, поэтому неравенство (22) выполняется при достаточно больших значениях п1. То же самое можно сказать об обеспечении неравенства: K13  c4  0 . (23) Обратимся теперь к коэффициенту при z2 Легко проверяется, что: в V . Будем его обозначать символом К2. 2   2n n2 1 2 a , Поэтому: K 1 3 2a 34  a a  1 2  qa   n a    2n n2  1 2 a . 2 2 23 3   1 2 1  34 4a1  Очевидно, что для отрицательности K2 достаточно, чтобы было:    ,  2 2 : 4a2 1 1 . (24) Наконец, обозначим: n1n2  F : a g  x 1 2   f  x a  f  x , x  0 .  34 x 2 1 x 14  x   Тогда справедливо утверждение 1: для определенной отрицательности функции V до- статочно, чтобы выполнялись неравенства (10), (22), (23) и K  F K  1 F 2   1 K F 2  0, (25) 2  1 4 12  4 1 13   при этом параметры  и  выбираются с учетом ограничений (21), (24),  > 1. Предполагается, что неравенство (25) выполняется в некоторой области E  D. Обратимся теперь к самой функции V. Несложно показать, что она может быть приведена к следующему виду: 2 2V  a34 n g  x  n z  u2  a34 qx  σn2 y  λ1 z  su    2 2    n2 s  a λ  2 a r qx  q y  1 z  a34 M n      n   x2  2 M f  x xy  34   0  1 1 2 1   0  1  r   a  x  (26) 2 2 2 2 2 M  y2  a n1  q   a n2    n2  q   M 0   y2  0 n 34  a  1 1 a  a2s r a n  2    1 2  x x x 2b1  f  xdx  2b4  2 g  xdx  1a34n2 g  x  2b7  x xdx, x  0 0 0 0 Здесь: s  2a1 n1 , n1n2  является корнем уравнения: n 2a  n  r  2 1 1 2a1  n1 (27)  a  1  1  0 (28) и имеет вид: 1 1 s  n n   a   1 2 1 1 , n1n2  21a1 q принимается равным положительному корню уравнения: (29)   1 a q2  n2 q   1 M0 as a  0 ; (30) b1  34 n1  a1  n2 , 1   1. (31) a Напомним, что q является функцией параметра p (см. (16)), поэтому уравнение (30) удовлетворяется фактически за счет р. Так как  > 1 и мы заинтересованы в том, чтобы было 1 < 1, то налагаем на (29) требование  < 2, откуда следуют два неравенства:   n1n2 , 1 1 1 1 4a2  n a (32)   2 . (33)  1 Займемся условиями, обеспечивающими определенную положительность функции V. Рассматривая выражение в фигурных скобках в четвертом слагаемом в (26) как псевдоквадратичную форму переменных x и y, а также принимая во внимание, что: f  x M0  M0  x , x  0, мы получаем достаточные условия положительности этого слагаемого:  1   1 , n1     n2 (34) Далее записываем условие положительности коэффициента b1: 1 2 a  n   n1 или, что то же самое,  n1  1a1  n1 (35) Таким образом, для  мы имеем двойную оценку: 1 1 1 n   a   1    n1 откуда следует, что  должно удовлетворять условию: (36) 3 3    ,  : n1 , (37) 1a1 Теперь мы обращаемся к вопросу о положительности совокупности трех последних слагаемых в (26). При b7 > 0 мы получаем условие: x то есть:  g  xb4  1a34n2 xdx  0, 0 (38) а при b7  0 : x  x  b4 , 1a34n2 (39)  g  xb4  1a34n2 x  b7  x xdx  0 . (40) 0 Соображения об оптимальном подборе коэффициентов b4 и b7, связанных равенством (13), могут оказаться противоречивыми. В этих случаях следует искать разумный компро- мисс с учетом других требований. Обратимся, наконец, к коэффициенту при y2 в выражении (26). Обозначим его через K3 и представим как сумму двух фрагментов: где: K3  K31  K32 , K  n2  n a  n2  , (41) 31 a2  1 1 1 s    n q2 2 K  1 q   M . (42) 1 32 a r 0 an2 Для положительности K31 необходимо и достаточно, чтобы было:    ,  : 1a1s n1  n1  1 . (43) n n  4 4 2 2 Используя последнее равенство из (7), а также первое из (5), и учитывая (16) и (32), можно показать, что величина n1 является возрастающей функцией n1 . Далее в выражении (42) заменим второе слагаемое, используя уравнение (30). Мы по- лучим: n 1  n M  2 K32  1 q   2 q  1 0   M0 . (44) a r  as a  an2 Затем воспользуемся оценкой положительного корня уравнения (30) снизу: q  2s  M 1 1 0 . (45) n2  Она имеет место при условии, что: 2  M k 0    ,  :  1 M n a , k  2as . (46) Мы получим: 5 5 2  k 2 0 2 a  M  n   1  n 2  K32  1 0  n1  2  2s   2    an2  rs    r 1  (47)  1 M 0 1  2n rs  1  n    2n2  1  2  .   1 2    Здесь: an2  r     r  1  rs  1  2n2 , n1 1 является возрастающей функцией n1,  1  1 , так как  3 . r  3 2 Учитывая сказанное, легко понять, что величина K32 является положительной при до- статочно больших n1. Утверждение 2. Если выполняются условия (34), (39)/(40), параметры  и  выбирают- ся с учетом ограничений (36), (43), (46), а значения n1 обеспечивают неравенство K32 > 0, то функция V является определенно положительной в области D. Теперь подведем общий итог требований к параметру . Он должен удовлетворять не- равенствам одинакового смысла (21), (24), (37), (43), (46). По определению  > 1. Следовательно, по крайней мере, должно быть Уточним, при каких условиях выполняются эти неравенства. Сначала рассмотрим соотношение (24). Очевидно, что 2  1 при:   n1n2 1 1 4a2 i  1, (i  1,5) . (48) Далее из (21) имеем:   1 при 2 n 2   . (49) 1 1 Так как 1  1, то должно быть: 4n11 n1 2 2 n 2  41 . (50) Отношение 1 является убывающим по 1 . Для доказательства выполнимости (50) nn рассмотрим более сильное неравенство, заменив 1 на inf 1  су о справедливости неравенства: 1 2 . Мы приходим к вопро- 1 4a2 4a2  n n 2 n n1  1 1 2 2 1 2 1 4n n a2 Легко убедиться в том, что последнее выполняется при достаточно большом n1 . Рассмотрим теперь оценку 3 сверху в соотношении (36). Неравенство 1 < n1/a1 легко проверяется путем сопоставления его правой части с правой частью (32). Поэтому 3  1. Далее 4  1 при достаточно большом n1 .  И, наконец, 5  1 следует из  1  2 . Нам остается установить наименьшую верхнюю грань для . 3 Отметим, что легко проверяется неравенство 2  2 , если учесть (32), а также нера- 3  венство 5  2 , если учесть, что  3 .  1 3 3 В то же время легко убедиться в том, что 3  2 и 4  . 2 3 3 Что касается 1 , то для нее возможны обе указанные оценки ( 1  и 2 1  ) в зави- 2 симости от требований к параметру 1. Однако с практической точки зрения более предпо- чтительным представляется вариант   3 при 2 32n 1 1   2 8n11 Тогда, сопоставляя все отмеченные оценки, мы окончательно получаем, что параметр  должен выбираться, исходя из соотношения 1    min2 , 5 (51) Утверждение 3. Если в условиях утверждений 1 и 2 место оценок (21), (24), (43) и (46) ввести оценку (51), а все остальные требования оставить без изменения, то нулевое решение системы (1) будет асимптотически устойчивым при начальных отклонениях, принадлежащих области притяжения начала координат ([3], [4]). Известно, что область притяжения (область асимптотической устойчивости) является открытой, то есть не имеет определенной границы. Поэтому на практике мы можем только указать ее оценку снизу. В общем случае эта задача является сложной, мы отметим только два практически важных случая. Обозначим символом дD границу области D и найдем минимум функции V на этой границе Vm : minV . D Далее будем рассматривать гиперповерхность V = Vm. Она находится внутри дD, каса- ется ее и охватывает начало координат. Обозначим символом S область, ограничиваемую ги- перповерхность Vm и являющуюся частью области D. Если область Е, в которой V  0 охватывает область S или совпадает с ней, то S являет- ся оценкой области притяжения. Если же E  S, то будем полагать, что внутри E: x1  x  x2 , x1  0, x2  0 . Построим две гиперплоскости x = x1 и x = x2, а затем найдем: Пусть далее: m V : minV и 1 xx1 m V : minV . 2 xx2 V : minV , V  mo m1 m2 m Тогда оценкой области притяжения будет область S0, границей которой является ги- перповерхность V . 0 Заключение Теперь сделаем несколько замечаний относительно выбора варьируемых параметров , , , 1, b7 в конкретных задачах. Во-первых, необходимо стремиться обеспечивать максимальную величину области Е и соответственно области притяжения. Далее необходимо иметь в виду, что важным показателем качества переходного про- цесса с точки зрения времени его протекания является величина [5]  min (V ) . V И, наконец, в некоторых задачах возникает необходимость определенным образом де- формировать область притяжения. Это значит, что в таких случаях упомянутые параметры надо выбирать так, чтобы обеспечить оптимизацию какого-нибудь характерного размера этой области. Конечно, при желании совместить указанные показатели, могут возникнуть противоре- чия. В таких случаях необходимо искать оптимальный компромисс. Наличие в функции V нескольких варьируемых параметров делает ее более гибким ин- струментом для улучшения качества исследуемой системы.