Construction of multi-parameter Lyapunov function for a nonlinear system

详细

In this paper, the system with two non-linearities, one of which is the multiplicative, constructed Lyapunov function containing 5 variable parameters. There is indicated possible application of this function to locate the region of asymptotic stability of the zero solution and optimization of thetransition process.

全文:

Построение многопараметрической функции Ляпунова для одной нелинейной системы к.ф-м.н., доц. Огурцов А.И. МГТУ «СТАНКИН» (499) 457-41-47, kuredut@gmail.com Аннотация. Для системы имеющей две нелинейности, одна из которых - мультипликативная, построена функция Ляпунова, содержащая 5 варьируемых параметров. Указываются возможности применения этой функции для нахождения области асимптотической устойчивости нулевого решения и оптимизации пере- ходного процесса. Ключевые слова: дифференциальные уравнения, устойчивость, функции Ля- пунова. В теории автоматического управления наряду с известными системами дифференци- альных уравнений Лурье рассматриваются также системы более общего вида, в которых не- линейные члены представляют собой произведения функций. Примеры реальных физиче- ских и биологических систем, для которых указанные системы являются математическими моделями, встречаются в работах зарубежных авторов. В настоящей работе изучается система дифференциальных уравнений четвертого по- рядка смешанного типа и ставится задача о нахождении эффективного достаточного крите- рия асимптотической устойчивости ее нулевого решения. Задача решается путем нестан- дартного построения многопараметрической функции Ляпунова. В идейном отношении эта работа связана с работами [1] и [2]. dx  y, dy dz dt dt dt Итак, рассматривается система:  az  n1 y,  u   x y, du dt  n2u  f  x , (1) в которой правые части определены в некоторой ограниченной, замкнутой, выпуклой области D фазового пространства, содержащей начало координат; a, n1, n2 - положительные постоянные,  x непрерывная, а f  x непрерывно дифференцируемая функции. Предполагается, что f 0  0,  x  0, f  x  c  0 при x  o, c  const и выx 1 1 полняются условия существования и единственности решений системы (1). К системе вида (1) приводятся, например, уравнения возмущенного движения некото- рых сервомеханизмов. Нулевое решение системы (1) соответствует невозмущенному движению изучаемой физической системы, величины x, y, z,u являются отклонениями от невозмущенного движения. При этом x и z приведены к безразмерной форме, время t размерное, все остальные переменные имеют соответственные размерности. Введем в рассмотрение функцию Ляпунова следующей структуры 2V  2 x2  2a xy  2a xz  2a xu  a y2  2a yz  2a yu  a z2  2a zu  11 12 13 14 22 23 24 33 34 x x a u2  2b f  xdx  2b f x y  b g 2 x  2b g xdx  2b g x  z  2b g x u  44 1  2 3 4  5 6 0 0 (2) x 2b7  x xdx. 0 Здесь g  x   xdx,    c  0, c  const, x  0, a i, j  1,4,b  k  1,7 ,- x g x  x 2 2     ij k     0 постоянные. Вычисляем производную функции V по времени в силу системы (1): V  V y  V az  n1 y  V u   x y    V n2u  f x. x y dz u xu , В полученном выражении приравниваем к нулю слагаемые, содержащие произведения f  x y,  x yz, x yu, x g x y, g xu . Из этих равенств мы получаем следующие соотношения между коэффициентами функции (1): a13  a14n2 , a33  b5, a34  b6 , b3  b5, b5  b6n2. (3) Кроме того мы полагаем a33 = a34n2, после чего: b5 a34n2 , b6  a34 , b3  a34n2. (4) Далее введем четыре вспомогательных параметра   0,   0, 0   1,  1 согласно соотношениям: a23  a14  1 a24a1, a24   a , n2 34 a22a  n1a23, b2   a34 , (5) a a где: a1  n1  n2 . Допустимые границы изменений параметров нейшем. , , и  будут определены в даль- После этого производная V может быть представлена следующим образом: V  1  f  x   y    z   u  a g  x 1 2   f x a  f x x  2  1 2 3 4   34 x 2 1 x 14  a a n  1 2  a   x  b f / x y2   a a  1 2  z2   a a n  1 2 u2  (6)  12 22 1 2 2 23 2   23 2 3   34 44 2 2 4       g  x b  a  b x xy  a a  b a     a  f x xz, x  0.  4 x 13 7   12 2 1 3 34 x      Здесь: a   a1 a241 , a   a24a 1 , a a 2 3 44 44 (7) 14  a44 , 23  a14n2  1 a23n1, 24  a24a1 , 34  a24a . Последнее равенство в (7) обеспечивается за счет параметра  . Выражение в квадратной скобке во втором слагаемом в (6) имеет структуру левой ча- сти неравенства Льенара-Шипара, являющегося условием асимптотической устойчивости линеаризованной системы (1). Поэтому естественно положить: 2 2 2 2 a34  a1n1n2 a, 1  2aa1 , a14  n1n2a p, . (8) где: р - параметр, выбором которого мы распорядимся позднее. После этого мы имеем: 2 2   a44 ,    a1 a24 ,     a24a , b  b n  a    . (9) 4 2 1 2 n 1 3 n 1 2 1 24 1 2 1 2 2 Далее выберем а44 из условия минимума коэффициента при u2. Мы получаем a  2n и, следовательно, коэффициент при u2 1 2 в V равен aa n3 . 44 1 2 Будем полагать, что существуют такие венства 1  0 и 2  0 , что в D выполняются нераg  x 1 2 a   f  x a   , f  x   , x  0 . (10) 34 x 2 2 x 14 1 x 2 Рассмотрим «коэффициент» при xy в V . Так как конкретная информация о функциях f(x) и g(x) в общих случаях не известна, то исходя из потребности минимизации этого выра- жения, следует признать, что в одних случаях коэффициент b7 целесообразно считать поло- жительным, а в других - отрицательным. Несколько подробней об этом будет сказано ниже. Пока обратимся к «коэффициенту» при xz в V . В нем: b2a  13  a34  a34  a34  a34    1 a34 , где: 1   1, Положим:   1 . a12a    1 M0a34 , (11) где: M0  m  M , m  inf f  x, M  sup f  x. 2 D D Тогда «коэффициент» при xz в V запишется как:    f  x  F13    1 a34 M0  x  , x  0 (12)   Аналогичный подход можно применить и к предпоследнему слагаемому в выражении (6). А именно, обозначим: и положим:   x : g  x ,  x x x  0 n  N 0 a13  b1  N , b4 (13) где: N0  , n  inf  x, N  sup  x . 2 D D Соотношение (13) налагает связь на коэффициенты b4 и b7. «Коэффициент» при xy в V можно теперь представить как: F12 : b4 x x  N0  (14) Рассмотрим далее «коэффициент» при y2 в V . Имея в виду выражения для а34 и а14 в (8), представим а14 в виде: где: a14  q a34 , (15) q  ap a1n2 . (16) Тогда с учетом (8) и (5) названный «коэффициент» можно представить как: K : -1 M0 a 1 n2 a 22a n n2  1 1 2 a     x    f /  x, (17) 1 34 23 34 23 34 где: a a 4a2 a 23  a   q  1 n2a1 a   a34 , 1  1 .   Представим коэффициент при а34 во втором слагаемом в (17) следующим образом: 1 n2  1  2  1 β n2 , где: 1  0, a a 2  0, 1  2  1. Далее, имея в виду получить удобные достаточные условия отрицательности К1, пред- ставим его как сумму трех фрагментов: K1  K11  K12  K13 , где: n n a   2 n  1 2 1 2 K11   2 a 1n11  4  a34 , (18)    K12   2   1 n2 a    x a23 ,  (19) K   1  n2q     M   f /  x . (20) 13 a  1 1 1 0  Для отрицательности K11 потребуем выполнения неравенства:    ,  : 41n11 . (21) 2 1 1 2n Относительно K12 мы будем предполагать, что: n2 2  1 a  sup x  c3  0 . (22) D В дальнейшем будет установлено, что величина п1 является возрастающей функцией п1, поэтому неравенство (22) выполняется при достаточно больших значениях п1. То же самое можно сказать об обеспечении неравенства: K13  c4  0 . (23) Обратимся теперь к коэффициенту при z2 Легко проверяется, что: в V . Будем его обозначать символом К2. 2   2n n2 1 2 a , Поэтому: K 1 3 2a 34  a a  1 2  qa   n a    2n n2  1 2 a . 2 2 23 3   1 2 1  34 4a1  Очевидно, что для отрицательности K2 достаточно, чтобы было:    ,  2 2 : 4a2 1 1 . (24) Наконец, обозначим: n1n2  F : a g  x 1 2   f  x a  f  x , x  0 .  34 x 2 1 x 14  x   Тогда справедливо утверждение 1: для определенной отрицательности функции V до- статочно, чтобы выполнялись неравенства (10), (22), (23) и K  F K  1 F 2   1 K F 2  0, (25) 2  1 4 12  4 1 13   при этом параметры  и  выбираются с учетом ограничений (21), (24),  > 1. Предполагается, что неравенство (25) выполняется в некоторой области E  D. Обратимся теперь к самой функции V. Несложно показать, что она может быть приведена к следующему виду: 2 2V  a34 n g  x  n z  u2  a34 qx  σn2 y  λ1 z  su    2 2    n2 s  a λ  2 a r qx  q y  1 z  a34 M n      n   x2  2 M f  x xy  34   0  1 1 2 1   0  1  r   a  x  (26) 2 2 2 2 2 M  y2  a n1  q   a n2    n2  q   M 0   y2  0 n 34  a  1 1 a  a2s r a n  2    1 2  x x x 2b1  f  xdx  2b4  2 g  xdx  1a34n2 g  x  2b7  x xdx, x  0 0 0 0 Здесь: s  2a1 n1 , n1n2  является корнем уравнения: n 2a  n  r  2 1 1 2a1  n1 (27)  a  1  1  0 (28) и имеет вид: 1 1 s  n n   a   1 2 1 1 , n1n2  21a1 q принимается равным положительному корню уравнения: (29)   1 a q2  n2 q   1 M0 as a  0 ; (30) b1  34 n1  a1  n2 , 1   1. (31) a Напомним, что q является функцией параметра p (см. (16)), поэтому уравнение (30) удовлетворяется фактически за счет р. Так как  > 1 и мы заинтересованы в том, чтобы было 1 < 1, то налагаем на (29) требование  < 2, откуда следуют два неравенства:   n1n2 , 1 1 1 1 4a2  n a (32)   2 . (33)  1 Займемся условиями, обеспечивающими определенную положительность функции V. Рассматривая выражение в фигурных скобках в четвертом слагаемом в (26) как псевдоквадратичную форму переменных x и y, а также принимая во внимание, что: f  x M0  M0  x , x  0, мы получаем достаточные условия положительности этого слагаемого:  1   1 , n1     n2 (34) Далее записываем условие положительности коэффициента b1: 1 2 a  n   n1 или, что то же самое,  n1  1a1  n1 (35) Таким образом, для  мы имеем двойную оценку: 1 1 1 n   a   1    n1 откуда следует, что  должно удовлетворять условию: (36) 3 3    ,  : n1 , (37) 1a1 Теперь мы обращаемся к вопросу о положительности совокупности трех последних слагаемых в (26). При b7 > 0 мы получаем условие: x то есть:  g  xb4  1a34n2 xdx  0, 0 (38) а при b7  0 : x  x  b4 , 1a34n2 (39)  g  xb4  1a34n2 x  b7  x xdx  0 . (40) 0 Соображения об оптимальном подборе коэффициентов b4 и b7, связанных равенством (13), могут оказаться противоречивыми. В этих случаях следует искать разумный компро- мисс с учетом других требований. Обратимся, наконец, к коэффициенту при y2 в выражении (26). Обозначим его через K3 и представим как сумму двух фрагментов: где: K3  K31  K32 , K  n2  n a  n2  , (41) 31 a2  1 1 1 s    n q2 2 K  1 q   M . (42) 1 32 a r 0 an2 Для положительности K31 необходимо и достаточно, чтобы было:    ,  : 1a1s n1  n1  1 . (43) n n  4 4 2 2 Используя последнее равенство из (7), а также первое из (5), и учитывая (16) и (32), можно показать, что величина n1 является возрастающей функцией n1 . Далее в выражении (42) заменим второе слагаемое, используя уравнение (30). Мы по- лучим: n 1  n M  2 K32  1 q   2 q  1 0   M0 . (44) a r  as a  an2 Затем воспользуемся оценкой положительного корня уравнения (30) снизу: q  2s  M 1 1 0 . (45) n2  Она имеет место при условии, что: 2  M k 0    ,  :  1 M n a , k  2as . (46) Мы получим: 5 5 2  k 2 0 2 a  M  n   1  n 2  K32  1 0  n1  2  2s   2    an2  rs    r 1  (47)  1 M 0 1  2n rs  1  n    2n2  1  2  .   1 2    Здесь: an2  r     r  1  rs  1  2n2 , n1 1 является возрастающей функцией n1,  1  1 , так как  3 . r  3 2 Учитывая сказанное, легко понять, что величина K32 является положительной при до- статочно больших n1. Утверждение 2. Если выполняются условия (34), (39)/(40), параметры  и  выбирают- ся с учетом ограничений (36), (43), (46), а значения n1 обеспечивают неравенство K32 > 0, то функция V является определенно положительной в области D. Теперь подведем общий итог требований к параметру . Он должен удовлетворять не- равенствам одинакового смысла (21), (24), (37), (43), (46). По определению  > 1. Следовательно, по крайней мере, должно быть Уточним, при каких условиях выполняются эти неравенства. Сначала рассмотрим соотношение (24). Очевидно, что 2  1 при:   n1n2 1 1 4a2 i  1, (i  1,5) . (48) Далее из (21) имеем:   1 при 2 n 2   . (49) 1 1 Так как 1  1, то должно быть: 4n11 n1 2 2 n 2  41 . (50) Отношение 1 является убывающим по 1 . Для доказательства выполнимости (50) nn рассмотрим более сильное неравенство, заменив 1 на inf 1  су о справедливости неравенства: 1 2 . Мы приходим к вопро- 1 4a2 4a2  n n 2 n n1  1 1 2 2 1 2 1 4n n a2 Легко убедиться в том, что последнее выполняется при достаточно большом n1 . Рассмотрим теперь оценку 3 сверху в соотношении (36). Неравенство 1 < n1/a1 легко проверяется путем сопоставления его правой части с правой частью (32). Поэтому 3  1. Далее 4  1 при достаточно большом n1 .  И, наконец, 5  1 следует из  1  2 . Нам остается установить наименьшую верхнюю грань для . 3 Отметим, что легко проверяется неравенство 2  2 , если учесть (32), а также нера- 3  венство 5  2 , если учесть, что  3 .  1 3 3 В то же время легко убедиться в том, что 3  2 и 4  . 2 3 3 Что касается 1 , то для нее возможны обе указанные оценки ( 1  и 2 1  ) в зави- 2 симости от требований к параметру 1. Однако с практической точки зрения более предпо- чтительным представляется вариант   3 при 2 32n 1 1   2 8n11 Тогда, сопоставляя все отмеченные оценки, мы окончательно получаем, что параметр  должен выбираться, исходя из соотношения 1    min2 , 5 (51) Утверждение 3. Если в условиях утверждений 1 и 2 место оценок (21), (24), (43) и (46) ввести оценку (51), а все остальные требования оставить без изменения, то нулевое решение системы (1) будет асимптотически устойчивым при начальных отклонениях, принадлежащих области притяжения начала координат ([3], [4]). Известно, что область притяжения (область асимптотической устойчивости) является открытой, то есть не имеет определенной границы. Поэтому на практике мы можем только указать ее оценку снизу. В общем случае эта задача является сложной, мы отметим только два практически важных случая. Обозначим символом дD границу области D и найдем минимум функции V на этой границе Vm : minV . D Далее будем рассматривать гиперповерхность V = Vm. Она находится внутри дD, каса- ется ее и охватывает начало координат. Обозначим символом S область, ограничиваемую ги- перповерхность Vm и являющуюся частью области D. Если область Е, в которой V  0 охватывает область S или совпадает с ней, то S являет- ся оценкой области притяжения. Если же E  S, то будем полагать, что внутри E: x1  x  x2 , x1  0, x2  0 . Построим две гиперплоскости x = x1 и x = x2, а затем найдем: Пусть далее: m V : minV и 1 xx1 m V : minV . 2 xx2 V : minV , V  mo m1 m2 m Тогда оценкой области притяжения будет область S0, границей которой является ги- перповерхность V . 0 Заключение Теперь сделаем несколько замечаний относительно выбора варьируемых параметров , , , 1, b7 в конкретных задачах. Во-первых, необходимо стремиться обеспечивать максимальную величину области Е и соответственно области притяжения. Далее необходимо иметь в виду, что важным показателем качества переходного про- цесса с точки зрения времени его протекания является величина [5]  min (V ) . V И, наконец, в некоторых задачах возникает необходимость определенным образом де- формировать область притяжения. Это значит, что в таких случаях упомянутые параметры надо выбирать так, чтобы обеспечить оптимизацию какого-нибудь характерного размера этой области. Конечно, при желании совместить указанные показатели, могут возникнуть противоре- чия. В таких случаях необходимо искать оптимальный компромисс. Наличие в функции V нескольких варьируемых параметров делает ее более гибким ин- струментом для улучшения качества исследуемой системы.