Creep and long-term strength of rods under stretching and bending in aggressive environment

Full Text

Введение Высокие требования к качеству и надежности конструкций, длительное время находя- щихся под нагрузками при высокой температуре, приводят к необходимости проводить про- гнозирование долговечности их работы с учетом специфических различных особенностей, которые могут возникать в реальной действительности. Одним из важных факторов, суще- ственно влияющих на характеристики ползучести и длительной прочности металлов, являет- ся рабочая среда, в которой находятся исследуемые конструкции или их отдельные элемен- ты. Результаты испытаний, как правило, показывают значительное ухудшение эксплуатаци- онных характеристик металлов вследствие воздействия таких сред. Известные исследования влияния агрессивной окружающей среды на ползучесть и длительную прочность металлов показывают, что это влияние в основном характеризуется протекающими в металле диффу- зионными и коррозионными процессами. В [1] приведен подробный анализ особенностей механического поведения металлов при длительном высокотемпературном нагруженном со- стоянии в агрессивных средах и основных феноменологических подходов, используемых при моделировании влияния окружающей среды на ползучесть и длительную прочность. В дан- ной работе рассмотрены некоторые особенности ползучести и длительной прочности стерж- ней при растяжении и изгибе в присутствии агрессивной окружающей среды. Связанная задача определения длительной прочности растягиваемого стержня в агрессивной среде В [2, 3] был проведен анализ длительной прочности тонкого стержня длины L , ширины b и толщины H0 ( H0  b  L ), растягиваемого в агрессивной среде. Этот анализ основан на учёте диффузионного процесса в стержне и накопления повреждённости в его материале [4]. Так как в поперечном сечении стержня выполняется неравенство H0  b , то диффузионный процесс в стержне можно считать одномерным вдоль его толщины ( 0.5H0  y  0.5H0 ). В [2, 3] вводились в рассмотрение два параметра, зависящие от времени t и координаты y : уровень концентрации среды в металле c  y, t  и величина параметра повреждённости  y, t  . Эти параметры определялись с помощью решения двух дифференциальных уравнений относительно c  y, t  и  y, t  . При этом процесс накопления повреждённости в материале стержня в [2, 3] зависел от уровня концентрации среды, а диффузионный процесс от уровня повреждённости не зависел. В отличие от [2, 3], в данном параграфе рас- сматривается связанная задача определения длительной прочности растягиваемого стержня при условии массообмена на его поверхности, в этой постановке учитывается взаимная зави- симость уровня концентрации среды в материале стержня и величины накапливаемой по- вреждённости. С этой целью будем учитывать зависимость коэффициента диффузии D от уровня повреждённости  . Для простоты примем, что зависимость D  линейная: D   D0 1 k, D0  const, k  const . Рассмотрим систему двух дифференциальных уравнений с учетом развития фронта разрушения Y t  :  c  y, t    D 1 k y, t  c  y, t   ,  t y  0 y      n   y, t    t    A f c  y, t , (1)   t     1  y, t    f c  y, t   1 a / c0 c  y, t ,   t   0.5H0 / Y (t)0 , где:  t  растягивающее напряжение, 0   t  0 , c0 уровень концентрации среды на внешней поверхности стержня, Y t  координата фронта разрушения, A , n , c0 - константы. При использовании безразмерных переменных 48D An H 2 t  0 t, y  2 y / H , Y  2Y / H , c  c / c , A  0 0 (2) H 2 0 0 0 0 48D0 из (1) получаем следующую систему уравнений относительно двух функций:  y, t  : c  y, t  и  c  1  1 k c  ,  t 12 y  y        A Y 1 n  f c  y, t , (3)   t    f c  y, t   1 ac  y, t .   На первом этапе расчета при значениях 0  t нимаются в виде:  t1 начальные и граничные условия при- ( y, 0)  0, c ( y, 0)  0, c (1, t )   c (1, t ) 1, y c (0, t )  0 . y Первый этап заканчивается временем стержня возникает фронт разрушения Y t  . t1 , после которого на внешней поверхности На втором этапе расчета при значениях нимаются в виде: t1  t  t * начальные и граничные условия при- c c ( y, t1 )  1  y , c ( y, t1 )  c1  y , (Y , t )   c (Y , t ) 1 , (0, t )  0 , y y где:   2 H0 ,  - коэффициент массообмена, 1  y  и c1  y  значения  и c , полученные в конце первого этапа процесса. В качестве примера проведем вычисление времени до разрушения t * при условии Y t *   0.5 и при следующих значениях констант: n  3,   1, k  4, A  0.01, a  9.5. (4) Вычисления показывают, что разрушение стержня в результате возникновения и развития фронта разрушения наступает при t *  7.00 . Рассмотрим упрощённую постановку задачи, в которой под t  понимается интегрально средняя повреждённость в сечении стержня: нений (3) принимает следующий вид: t *   1. В этом случае система урав-  c 1 2c 2   1 k , t 12 y      d  A 1 n  f c t , (5)  dt m где: cm t  - безразмерная интегрально средняя концентрация среды в материале стержня: 1 cm t    c  y, t dy . (6) 0 Зависимость t  при константах (4) изображена на рисунке 1 сплошной линией. Время до разрушения в упрощённой постановке (5) больше времени t * , соответствующего системе уравнений (1), так как в последнем случае появление фронта разрушения приводит к уменьшению площади поперечного сечения и соответственно к ускорению процесса разру- шения. Рисунок 1. Зависимости t  при постоянном и переменном коэффициентах диффузии На рисунке 1 штриховой линией дополнительно приведена зависимость t  , соответствующая решению системы уравнений (5) при k  0 . Сравнение двух кривых t  при k  0 и k  4 подтверждает, что в связанной задаче (k  0) коэффициент диффузии D  D0 1 k увеличивается с ростом повреждённости, поэтому уровень концентрации возрастает с большей скоростью, и время до разрушения уменьшается. Ползучесть стержней в присутствии агрессивной среды при чистом изгибе вплоть до разрушения Задачи установившейся ползучести стержней при чистом изгибе рассматриваются во многих работах, так как в этих задачах в относительно доступной форме можно проанализи- ровать влияние неоднородного напряженного состояния на характеристики ползучести стержней. В отличие от большинства известных решений, в данной работе учитываются раз- носопротивляемость материала стержней при растяжении и сжатии, накопление поврежден- ности материала во времени и влияние агрессивной окружающей среды [5 - 7]. Еще одна особенность данной работы заключается в том, что в качестве характеристики установив- шейся ползучести материала здесь используется не общепринятая степенная модель, а дробно-степенная зависимость скорости ползучести p от напряжения  [8]: n    p   A   , (7)  b1     b2   где: b1  0 и b2  0 - пределы кратковременной прочности при растяжении и сжатии соответственно. В п.п. 2.1 - 2.3 приведены решения ряда задач о ползучести стержней ширины b и толщины H0 при чистом изгибе (изгибающий момент M ) при использовании различных физических моделей. При этом во всех задачах учитываются только деформации ползучести и используется гипотеза плоских сечений. В п.п. 2.1 - 2.3 приведены все решения в безраз- мерных переменных (8):    b2 ,   , t  t  A, 2 M  4  М , d  H0 d , y  2 y , (8) b1 b1  bH0 b1 dt 2 dt H0 где:  - скорость изменения кривизны стержня. Гипотеза плоских сечений в переменных (8) имеет вид:   dp d  y  y0 , (9) dt dt где: y0 - координата нейтральной поверхности, на которой отсутствуют напряжения. Установившаяся ползучесть Определяющее уравнение (7) при учете гипотезы плоских сечений (9) в безразмерных переменных (8) может быть преобразовано к следующему виду:  2   d  2  n    1        dt    y  y0    B( y ) . (10) В результате выражения для напряжений  принимают следующий вид: (в зоне растяжения) и  (в зоне сжатия) ,  B  1  B2  12  4 1 BB . 2  1 B (11) Система уравнений равновесия в переменных (8) приводится к следующему виду: y0 1 y0 1    dy     dy 0 ; M     ydy     ydy . (12) 1 y0 1 y0 Подставив выражения  и  из (11) в уравнения равновесия (12) и учитывая формулу (10) для B( y ) , получим систему двух уравнений относительно y0 и  . На рис. 2 представлены полученные с помощью решения системы (12) эпюры напряжений   y  при M  0.5 ,  1.5 и n  1, 3, 15 . Рисунок 2. Эпюры напряжений в поперечном сечении стержня при различных значениях показателя n Учет поврежденности материала В этом случае зависимости скорости ползучести и скорости изменения сплошности  имеют следующий вид:  n    при  0 , dp  1         dt  n      при   0,    1      (13)   m d  B    при  0 ,     dt  1      0 при   0. Из первого уравнения (13) при  0 с учетом гипотезы плоских сечений (9) получим: n   2  2  d  2  n  1    2   C( y, t ) при  0, C( y, t )   dt  y  y0  . (14)   Отсюда безразмерные напряжения , определяются по формуле: ,  C2  1  , C 24  12  4 1 C2 C2 2 1 C2  (15)   1 для   0. Выпишем полную систему уравнений (12)-(13) с учетом (15): 0    y C  1   1 C 2  12  4 1 C C dy  2 1 C   1 C2  1  C 24  12  4 1 C2 C2    2 1 C2  dy  0,  y0   y0 C  1  C 2  12  4 1 C C M   ydy  (16)  1   1 C2  1  2 1 C  C 24  12  4 1 C2 C2   y  0 2 1 C2  ydy, m   dm1  2  2        dt  m 1 B .  1     Таким образом, решение задачи об изгибе стержня сводится к решению системы интегро-дифференциальных уравнений (16) относительно неизвестных функций y0 (t ) , (t ) , ( y, t ) с начальными условиями (0)  0 и ( y, 0)  1. Начальное значение y0 (0) совпадает со значением, полученным в аналогичной задаче при установившейся ползучести без учёта повреждённости (см. п. 2.1). Решение системы уравнений (16) проводится по шагам до тех пор, когда на поверх- ностном, растянутом, самом ослабленном слое сплошность достигнет нулевого значения: ( y  1, t * )  0 (повреждённость ( y  1, t * )  1 ). В этот момент времени t  t * появляется фронт разрушения, который с течением времени начинает продвигаться вглубь стержня. Движение фронта разрушения описывается координатой Y (t ) . Интегрирование уравнений равновесия в растянутой зоне стержня проводится до этой координаты. Напряжения в стержне перераспределяются таким образом, что в неразрушенной части стержня сохраняет- ся равновесие по внутренним усилиям (напряжениям). Расчёт проводится до того значения t** , при котором напряжения на внешних сторонах растянутой и сжатой зон достигнут соот- ** ветствующих значений b1 и b2 . Этот момент времени t  t , соответствующий предельному напряжённому состоянию, является моментом разделения стержня на две части, т.е. разрушения стержня. В качестве примера рассмотрим изгиб стержня при M  0.5 .   1.5 , m  n  3 , B  20 , На основе полученного решения системы уравнений (16) и формул (15) построены за- висимости повреждённости (рисунок 3) и эпюры распределения напряжений (рисунок 4) по поперечному сечению стержня при различных значениях t (t0  0, t1  0.1, t2  0.2, t3  0.21,  t4  t  0.2221, t5  0.222111, ** t6  t  0.2221118). Условие продвижения фронта разрушения с поверхности вглубь стержня имеет вид ( y  Y , t )  1. Расчёты показали, что интервал времени продвижения фронта вплоть до разрушения составляет всего 0.006% от полного времени t  . Глубина проникновения фрон- та равна Y t    0.9 , что составляет 5 % от высоты стержня. Рисунок 3. Зависимости поврежденности  от координаты y при разных значениях времени t . Рисунок 4. Эпюры напряжений в поперечном сечении стержня при различных значениях t . Дополнительное влияние агрессивной окружающей среды Рассмотрим чистый изгиб при ползучести длинного стержня, имеющего форму поперечного сечения в виде тонкой полосы b  H0 ( H0  b ), с учётом влияния диффузии окружающей среды. Изгибающий момент, действующий на стержень, равен M . В качестве начального условия примем равенство концентрации агрессивной среды в материале стерж- ня c нулю, а в качестве граничного условия на поверхности стержня примем c(t)  c0 . Для решения уравнения диффузии используем приближённый метод решения, описан- ный в монографиях [2, 3]. В этом случае выражение для интегрально среднего уровня кон- центрации по поперечному сечению cm ( t) имеет вид. 1 t A  H 2 3 t при t  t0 , t0  , 48D c t    0 (17) 1 2  exp m        1 1 t  при t  t0 ,  3  4  t0  где: D0  const коэффициент диффузии окружающей среды в материале стержня. Гипотеза плоских сечений имеет вид (9). Смещение нейтральной поверхности изгибае- мого стержня при ползучести происходит вследствие разносопротивляемости материала рас- тяжению и сжатию, а также за счёт ослабления материала вследствие накопления повре- ждённости в процессе ползучести. В качестве определяющего и кинетического уравнений рассмотрим уравнения (13), дополненные зависимостями p и  от интегрально средней концентрации среды cm . В кинетическом уравнении используется параметр сплошности   1 (  - повреждённость). Введём безразмерные переменные (8), кроме того, cm  cm / c0 . Систему определяющих и кинетических соотношений ползучести в безразмерном виде с учётом дробно-степенной функции [8] примем в виде:  n        dp  1 1       1cm (t ) при 0 ,    dt  n (18)       1 1cm (t ) при   0 ,    1        m          d B 1 2cm (t ) при 0 ,     dt   1       0 при   0. (19) В соотношениях (18) и (19) 1 и  2 константы, характеризующие диффузионный процесс, B , n и m - материальные константы. Напряжённо-деформированное состояние изогнутого стержня в любой момент времени определяется осевыми напряжениями  ( y ) и осевыми деформациями ползучести p  p( y, t ) . Уравнения равновесия тонкой полосы в безразмерном виде имеют вид (12). Согласно гипотезе плоских сечений (9), записанной в безразмерном виде, и соотноше- ниям (18) имеем:  2 n  2  d 2  y  y0   n  1    2   C  y, t  при  0, C( y, t )   dt  1 c (t ) .    Таким образом, получим выражения для   и   . 1 m  ,   C2  1  , C 24  12  4 1 C2 C2 2 1 C2    1 для   0 . В результате преобразований соотношение (19) примет следующий вид:   d m1    2 m  2  dt     B m 1  1       1 2cm (t ) при   0 ,  d   0 при  dt   0 . Решение задачи об изгибе стержня сводится к решению системы интегродифференциальных уравнений относительно неизвестных функций y0 t ,  t ,   y, t  с начальными условиями (0)  0 и ( y, 0)  1, начальное значение y0 0 совпадает со значением, полученным в аналогичной задаче при установившейся ползучести без учёта повреждённости (см., например, [5]). Задача решается до того значения t * , при котором на растянутом поверхностном слое сплошность достигнет нулевого значения: ( y  1, t * )  0 (т.е. повреждённость ( y  1, t * )  1 ). В этот момент времени t  t * появляется фронт разрушения, который с течением времени продвигается вглубь стержня. Движение фронта разруше- ния характеризуется координатой Y (t ) . Интегрирование уравнений равновесия в растянутой зоне стержня проводится до этой координаты  y  Y (t ) . Расчёты проводятся до того значения t ** , при котором напряжения на внешних сторонах растянутой и сжатой зон достигнут соответствующих значений пределов прочности. Это значение времени время разделения стержня на две части, т.е. разрушение стержня. t  t ** определяет В качестве примера было проведено исследование ползучести стержня вплоть до разрушения при следующих значениях параметров M  0.5, B  20 , n  m  3,   1.5, 1  0.2 , 2  0.8. Вычисления показали, что присутствие агрессивной среды при данных значениях параметров приводит к уменьшению времени до разрушения стержня t  на 18%. Выводы Решение связанной задачи о длительной прочности растягиваемого стержня в агрес- сивной среде c учетом взаимной зависимости уровня концентрации среды в материале стержня и величины накапливаемой поврежденности показало уменьшение времени до раз- рушения по сравнению с решением задачи, когда отсутствует влияние накапливаемой по- врежденности на изменение концентрации. Получены решения задач при установившейся ползучести стержня при изгибе с учетом разносопротивляемости, при дополнительном учете накапливаемой поврежденности матери- ала и при дополнительном учете влияния агрессивной среды. Определены значения времен до разрушения стержня в указанных условиях. Показано, что агрессивная окружающая среда приводит к уменьшению времени до разрушения рассматриваемых стержней.

About the authors

A. M. Lokoshenko

Institute of Mechanics of MSU

Email: loko@imec.msu.ru
Dr.Eng., Prof.

L. V. Fomin

Institute of Mechanics of MSU

References

Supplementary files