Representation of symmetric second-rank III tensor in the space of resultant eigenvectors



Cite item

Abstract

The article examines the possibility of representation of a symmetric second rank III tensor in the three-dimensional vector space of resultant eigenvectors. It has been shown that the vector space of resultant eigenvalues consists of six independent segments. Vector symmetric tensor may be represented in any of the segments independently. The authors introduce a local vector basis for each of the sectors. It is shown that the previously proposed by A.A. Ilyushin and K.F. Chernykh vector basis of the stress tensor are the second and third segments of the vector space of principal stresses.

Full Text

Симметричный III тензор второго ранга aij , отнесенный к декартовой системе координат xi (i 1, 2,3) , характеризуется шестью компонентами  aij  a ji или собственными векторами ai и ортом их направлений aij . Если известны компоненты тензора aij , то собственные значения находятся посредством решения характеристического уравнения 3 2 à  A1à  A2à  A3  0 , (1.1) где: À1  àijij , À2  (àij àij  àii à jj )/ 2 , À3  àij - инварианты тензора aij . Решение кубического уравнения (1.1) дает три ранжированных собственных значения àmax , àint , àmin - максимальное, промежуточное и минимальное собственное значение. Неравенство àmax  àint  àmin является условием ранжирования собственных значений.  Введем векторное пространство неупорядоченных собственных векторов ai . Трем ранжированным собственным значениям àmax , àint , àmin соответствует шесть различных сочетаний неупорядоченных собственных значений ai à1  à2  à3 , à2  à1  à3 , à2  à3  à1 , à3  à2  à1 , à3  à1  à2 , à1  à3  à2 . (1.2)  Поэтому вектор тензора aij имеет шесть вариантов представления в пространстве ai  (n) (n) (n) An  a1  a2  a3 . (1.3) Индекс n изменяется от 1 до 6 в соответствии с номером сочетания неупорядоченных значений ai в неравенствах (1.2).  В трехмерном пространстве ai выделим плоскость Pd , проходящую через начало ко-  ординат и имеющую одинаковые наклоны к координатным осям ai , à1  à2  à3  0 . (2.1)  Единичный вектор, являющийся нормалью к плоскости  Pd , обозначим как m0 . Направляющие косинусы вектора m0       å1  m0  å2  m0  å3  m0  1/ 3 . Следовательно, по отношению к координатным осям одинаковы     m0  (å1  å2  å3 )/ 3 . ' Проекции главных значений на плоскость Pd обозначим ài  2/ 3ài . Положительно направленные проекции главных осей oà' расположены на плоскости P под углом 2 /3 .   i d Если через направления m0 и åi провести три плоскости, то векторное пространство неупорядоченных собственных значений разделится на шесть равных сегментов с раствором угла  /3 , а плоскость Pd , соответственно, на шесть секторов. Арабскими цифрами (n  1,..., 6) введем нумерацию секторов (сегментов). Отсчет сек- 1 торов будем проводить против хода часовой стрелки от оси oà' . Для каждого из секторов зависимость между неупорядоченными собственными значе- ниями и ранжированными собственными значениями представлена в виде таблицы 2.1. Таблица 2.1 Таким образом, вектор тензора aij n неравенства àmax àint àmin 1 à1  à2  à3 à1 à2 à3 2 à2  à1  à3 à2 à1 à3 3 à2  à3  à1 à2 à3 à1 4 à3  à2  à1 à3 à2 à1 5 à3  à1  à2 à3 à1 à2 6 à1  à3  à2 à1 à3 à2  можно представить в трехмерном пространстве ai независимым образом в любом из шести сегментов.  В каждом из сегментов разложим вектор    Àn на две составляющие: (n) Àn  À0  Ad   . (2.2)  Вектор À0 является проекцией вектора   Àn на нормаль к девиаторной плоскости m0 : À0  À0m0 ,  À0  (à1  à2  à3 )/ 3 . (2.3)  Вектор À0 не зависит от выбора номера сегмента, в котором представлен вектор   Àn . Вектор d A(n) является проекцией вектора Àn на плоскость Pd , причем: (n) 2 2 2 Àd   À  À0  À2  À1 /3 , (2.4) т.е. модуль вектора A(n) является инвариантной характеристикой тензора a . d Направление вектора  A(n) в каждом из секторов плоскости ij P определяется углом  . d d n Положительное направление отсчета угла n примем в направлении против часовой стрелки от оси oà' . Угол  называется фазой тензора a . 1 n ij Значение фазы n вычисляется через фазовый инвариант cos 3* , который в свою очередь вычисляется через инварианты тензора aij 2 À3  9 À À  27 À cos 3*  1 1 2 3 . 1 2 2( À2  3À )3/2 Для вычисления значений фазы n 3 следует воспользоваться тождеством cos   0, 75 cos  0, 25 cos 3*  0 . (2.5) Решением уравнения (2.5) являются три действительных значения функции cos : (cos)1 , (cos)2 , (cos)3 . Поскольку функция cos является четной, то результатом решения уравнения (2.5) будет шесть значений фазы: 1  ...  6 . Каждое значение фазы n  соответствует сектору, в котором представляется вектор Àn . Поскольку угол раствора сектора равен  /3 , то для фазы  (n)  в зависимости от номера сектора существуют ограничения  (n 1) /3   (n)  n /3 . В каждом из сегментов неупорядоченные собственные значения вычисляются по фор- мулам: à(n)  1 ( À  2 À cos ) , 1 3 0 d n (2.6) à(n)  1 a  2 À cos   2   . 2,3 3  0 d  n 3      Проведем плоскости Pñ , которые проходят через ось m0 и делят каждый из сегментов на две равные части. След от пересечения плоскостей Pñ и плоскости Pd обозначим линией ln . Положения линий ln определяются углами n  (2n 1) / 6 , отсчитываемыми от 1 проекции oà' в направлении против хода часовой стрелки. На плоскости Pd в каждый из секторов введем два единичных ортогональных вектора,  (n) mI mII и  (n) mI . Вектор  (n) направим от начала координат вдоль линии ln . Проекции вектора A  (n) d на направления орта  (n) m1I  (n) и mII удобно записать через собственные ранжированные значения [2] À  1 (à  à ) , I 2 max min (3.1) À  1 (2à  à  à ) . II 6 int max min Значения À0 , ÀI , ÀII будем называть линейными инвариантами ранжированных собственных значений. В таблице 3.1 для каждого из секторов плоскости Pd приведены выражения линейных инвариантов À(n) , À(n) через неупорядоченные собственные значения a . I II i n 1, 4 2, 5 3, 6 À(n) (à1  à3 )/ 2 (à2  à3 )/ 2 (à2  à1)/ 2 À(n) (2à2  à1  à3 ) / 6 (2à1  à2  à3 ) / 6 à3  à1  à2 )/ 6 Таблица 3.1 Направление вектора d À(n) на плоскости Pd так же можно определить параметром m  tg  AII AI  2àint  àmax  àmin , (3.2) 3(àmax  àmin ) (n) где:  - угол между линией ln и вектором Àd . В соответствии с таблицей 3.1, условимся положительное направление отсчета угла  принимать в каждом из секторов от линии ln ному собственному значению àmin . по направлению к минимальному ранжирован- Параметр m изменяется в диапазоне меняется в пределах  /6  m   /6 . 1/ 3  m 1/ 3 . Следовательно, угол  из- Нормированное 1  1 значение параметра m вычисляется по формуле:   m 3  2àint  àmax  àmin . (3.3) àmax  àmin Зависимость между фазами n отношениями: и углом  в каждом из n секторов устанавливается соили n  n  (1)n   (2n 1) / 6  (1)n  (3.4)   (   )(1)n  [(2n 1) / 6   ](1)n . (3.5) n n n Зависимость инвариантов ÀI , ÀII от неупорядоченных собственных значений в каждом из n секторов можно определять тригонометрическими формулами: (n) 2  (n) sin    (n) cos 2  (n) sin  5        AI  3 a1 n  2  a2  3 n   a 3 n  6  ,        (3.6) An  (1)n  2  (n) a cos     a(n) sin   2  a(n) cos  5  .           II 3  1  n 2  2  n 3  3  n 6  Локальные векторные базисы для тензора напряжений ранее вводились А.А. Ильюшиным [1]: I  1 (a  a ) , I  1 (2a  a  a ) (3.7) 1 и К.Ф. Черных [3]: 2 2 3 2 6 1 2 3 G  1 (a  a ) , G  1 (2a  a  a ) . (3.8) 2 2 2 1 2 6 3 1 2 Из таблицы 3.1 следует, что компоненты векторного базиса, предложенного А.А. Иль-  юшиным, относятся ко второму сегменту пространства ai , а предложение К.Ф. Черных к третьему сектору. Таким образом, векторные базисы А.А. Ильюшина и К.Ф. Черных являют- ся частными случаями представления (3.6).
×

About the authors

E. E. Kuznetsov

Tula State University; Chuvash State Pedagogical University

Email: SmitheE71@yandex.ru; ekc_05@mail.ru
Ph.D.

I. N. Matchenko

Tula State University; Chuvash State Pedagogical University

Email: SmitheE71@yandex.ru; ekc_05@mail.ru
Dr.Sc.

N. M. Matchenko

Tula State University; Chuvash State Pedagogical University

Email: SmitheE71@yandex.ru; ekc_05@mail.ru
Dr.Sc., Prof.

References

  1. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. - М.: Изд-во АН СССР, 1963. 272 с.
  2. Кузнецов Е.Е., Матченко И.Н., Матченко Н.М. О векторных базисах А.А. Ильюшина и В.В. Новожилова // Труды международной научно-практической конференции: Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемого твердого тела, математического моделирования и информационных технологий. Чебоксары, 2013. Часть 1.- С. 131 - 139.
  3. Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость. - М.: Наука, 1988. 192 с.

Copyright (c) 2015 Kuznetsov E.E., Matchenko I.N., Matchenko N.M.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies