Представление симметричного III тензора второго ранга в пространстве главных собственных векторов
- Авторы: Кузнецов Е.Е1,2, Матченко И.Н1,2, Матченко Н.М1,2
-
Учреждения:
- Тульский государственный университет
- Чувашский государственный педагогический университет
- Выпуск: Том 9, № 2-4 (2015)
- Страницы: 91-94
- Раздел: Статьи
- URL: https://journals.eco-vector.com/2074-0530/article/view/67152
- DOI: https://doi.org/10.17816/2074-0530-67152
- ID: 67152
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Рассматриваются возможности представления симметричного III тензора второго ранга в трехмерном векторном пространстве главных собственных векторов. Показано, что векторное пространство главных собственных значений состоит из шести независимых сегментов. Вектор симметричного тензора может быть представлен в любом из сегментов независимым образом. Вводится локальный векторный базис для каждого из секторов. Показано, что предложенные ранее А.А. Ильюшиным и К.Ф. Черных векторные базисы тензора напряжений относятся ко второму и третьему сегментам векторного пространства главных напряжений.
Ключевые слова
Полный текст
Симметричный III тензор второго ранга aij , отнесенный к декартовой системе координат xi (i 1, 2,3) , характеризуется шестью компонентами aij a ji или собственными векторами ai и ортом их направлений aij . Если известны компоненты тензора aij , то собственные значения находятся посредством решения характеристического уравнения 3 2 à A1à A2à A3 0 , (1.1) где: À1 àijij , À2 (àij àij àii à jj )/ 2 , À3 àij - инварианты тензора aij . Решение кубического уравнения (1.1) дает три ранжированных собственных значения àmax , àint , àmin - максимальное, промежуточное и минимальное собственное значение. Неравенство àmax àint àmin является условием ранжирования собственных значений. Введем векторное пространство неупорядоченных собственных векторов ai . Трем ранжированным собственным значениям àmax , àint , àmin соответствует шесть различных сочетаний неупорядоченных собственных значений ai à1 à2 à3 , à2 à1 à3 , à2 à3 à1 , à3 à2 à1 , à3 à1 à2 , à1 à3 à2 . (1.2) Поэтому вектор тензора aij имеет шесть вариантов представления в пространстве ai (n) (n) (n) An a1 a2 a3 . (1.3) Индекс n изменяется от 1 до 6 в соответствии с номером сочетания неупорядоченных значений ai в неравенствах (1.2). В трехмерном пространстве ai выделим плоскость Pd , проходящую через начало ко- ординат и имеющую одинаковые наклоны к координатным осям ai , à1 à2 à3 0 . (2.1) Единичный вектор, являющийся нормалью к плоскости Pd , обозначим как m0 . Направляющие косинусы вектора m0 å1 m0 å2 m0 å3 m0 1/ 3 . Следовательно, по отношению к координатным осям одинаковы m0 (å1 å2 å3 )/ 3 . ' Проекции главных значений на плоскость Pd обозначим ài 2/ 3ài . Положительно направленные проекции главных осей oà' расположены на плоскости P под углом 2 /3 . i d Если через направления m0 и åi провести три плоскости, то векторное пространство неупорядоченных собственных значений разделится на шесть равных сегментов с раствором угла /3 , а плоскость Pd , соответственно, на шесть секторов. Арабскими цифрами (n 1,..., 6) введем нумерацию секторов (сегментов). Отсчет сек- 1 торов будем проводить против хода часовой стрелки от оси oà' . Для каждого из секторов зависимость между неупорядоченными собственными значе- ниями и ранжированными собственными значениями представлена в виде таблицы 2.1. Таблица 2.1 Таким образом, вектор тензора aij n неравенства àmax àint àmin 1 à1 à2 à3 à1 à2 à3 2 à2 à1 à3 à2 à1 à3 3 à2 à3 à1 à2 à3 à1 4 à3 à2 à1 à3 à2 à1 5 à3 à1 à2 à3 à1 à2 6 à1 à3 à2 à1 à3 à2 можно представить в трехмерном пространстве ai независимым образом в любом из шести сегментов. В каждом из сегментов разложим вектор Àn на две составляющие: (n) Àn À0 Ad . (2.2) Вектор À0 является проекцией вектора Àn на нормаль к девиаторной плоскости m0 : À0 À0m0 , À0 (à1 à2 à3 )/ 3 . (2.3) Вектор À0 не зависит от выбора номера сегмента, в котором представлен вектор Àn . Вектор d A(n) является проекцией вектора Àn на плоскость Pd , причем: (n) 2 2 2 Àd À À0 À2 À1 /3 , (2.4) т.е. модуль вектора A(n) является инвариантной характеристикой тензора a . d Направление вектора A(n) в каждом из секторов плоскости ij P определяется углом . d d n Положительное направление отсчета угла n примем в направлении против часовой стрелки от оси oà' . Угол называется фазой тензора a . 1 n ij Значение фазы n вычисляется через фазовый инвариант cos 3* , который в свою очередь вычисляется через инварианты тензора aij 2 À3 9 À À 27 À cos 3* 1 1 2 3 . 1 2 2( À2 3À )3/2 Для вычисления значений фазы n 3 следует воспользоваться тождеством cos 0, 75 cos 0, 25 cos 3* 0 . (2.5) Решением уравнения (2.5) являются три действительных значения функции cos : (cos)1 , (cos)2 , (cos)3 . Поскольку функция cos является четной, то результатом решения уравнения (2.5) будет шесть значений фазы: 1 ... 6 . Каждое значение фазы n соответствует сектору, в котором представляется вектор Àn . Поскольку угол раствора сектора равен /3 , то для фазы (n) в зависимости от номера сектора существуют ограничения (n 1) /3 (n) n /3 . В каждом из сегментов неупорядоченные собственные значения вычисляются по фор- мулам: à(n) 1 ( À 2 À cos ) , 1 3 0 d n (2.6) à(n) 1 a 2 À cos 2 . 2,3 3 0 d n 3 Проведем плоскости Pñ , которые проходят через ось m0 и делят каждый из сегментов на две равные части. След от пересечения плоскостей Pñ и плоскости Pd обозначим линией ln . Положения линий ln определяются углами n (2n 1) / 6 , отсчитываемыми от 1 проекции oà' в направлении против хода часовой стрелки. На плоскости Pd в каждый из секторов введем два единичных ортогональных вектора, (n) mI mII и (n) mI . Вектор (n) направим от начала координат вдоль линии ln . Проекции вектора A (n) d на направления орта (n) m1I (n) и mII удобно записать через собственные ранжированные значения [2] À 1 (à à ) , I 2 max min (3.1) À 1 (2à à à ) . II 6 int max min Значения À0 , ÀI , ÀII будем называть линейными инвариантами ранжированных собственных значений. В таблице 3.1 для каждого из секторов плоскости Pd приведены выражения линейных инвариантов À(n) , À(n) через неупорядоченные собственные значения a . I II i n 1, 4 2, 5 3, 6 À(n) (à1 à3 )/ 2 (à2 à3 )/ 2 (à2 à1)/ 2 À(n) (2à2 à1 à3 ) / 6 (2à1 à2 à3 ) / 6 à3 à1 à2 )/ 6 Таблица 3.1 Направление вектора d À(n) на плоскости Pd так же можно определить параметром m tg AII AI 2àint àmax àmin , (3.2) 3(àmax àmin ) (n) где: - угол между линией ln и вектором Àd . В соответствии с таблицей 3.1, условимся положительное направление отсчета угла принимать в каждом из секторов от линии ln ному собственному значению àmin . по направлению к минимальному ранжирован- Параметр m изменяется в диапазоне меняется в пределах /6 m /6 . 1/ 3 m 1/ 3 . Следовательно, угол из- Нормированное 1 1 значение параметра m вычисляется по формуле: m 3 2àint àmax àmin . (3.3) àmax àmin Зависимость между фазами n отношениями: и углом в каждом из n секторов устанавливается соили n n (1)n (2n 1) / 6 (1)n (3.4) ( )(1)n [(2n 1) / 6 ](1)n . (3.5) n n n Зависимость инвариантов ÀI , ÀII от неупорядоченных собственных значений в каждом из n секторов можно определять тригонометрическими формулами: (n) 2 (n) sin (n) cos 2 (n) sin 5 AI 3 a1 n 2 a2 3 n a 3 n 6 , (3.6) An (1)n 2 (n) a cos a(n) sin 2 a(n) cos 5 . II 3 1 n 2 2 n 3 3 n 6 Локальные векторные базисы для тензора напряжений ранее вводились А.А. Ильюшиным [1]: I 1 (a a ) , I 1 (2a a a ) (3.7) 1 и К.Ф. Черных [3]: 2 2 3 2 6 1 2 3 G 1 (a a ) , G 1 (2a a a ) . (3.8) 2 2 2 1 2 6 3 1 2 Из таблицы 3.1 следует, что компоненты векторного базиса, предложенного А.А. Иль- юшиным, относятся ко второму сегменту пространства ai , а предложение К.Ф. Черных к третьему сектору. Таким образом, векторные базисы А.А. Ильюшина и К.Ф. Черных являют- ся частными случаями представления (3.6).×
Об авторах
Е. Е Кузнецов
Тульский государственный университет; Чувашский государственный педагогический университет
Email: SmitheE71@yandex.ru; ekc_05@mail.ru
к.ф-м.н.
И. Н Матченко
Тульский государственный университет; Чувашский государственный педагогический университет
Email: SmitheE71@yandex.ru; ekc_05@mail.ru
д.ф-м.н.
Н. М Матченко
Тульский государственный университет; Чувашский государственный педагогический университет
Email: SmitheE71@yandex.ru; ekc_05@mail.ru
д.ф-м.н. проф.
Список литературы
- Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. - М.: Изд-во АН СССР, 1963. 272 с.
- Кузнецов Е.Е., Матченко И.Н., Матченко Н.М. О векторных базисах А.А. Ильюшина и В.В. Новожилова // Труды международной научно-практической конференции: Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемого твердого тела, математического моделирования и информационных технологий. Чебоксары, 2013. Часть 1.- С. 131 - 139.
- Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость. - М.: Наука, 1988. 192 с.
Дополнительные файлы
![](/img/style/loading.gif)