Construction of a one-parameter stochastic model of the production process

Abstract

The author developed a mathematical, stochastic model of production process execution, which depends on a single parameter. For approbation of the model there was created a simulation model of machine-building production process with influence of random disturbances and failures. Comparison of the results of mathematical modeling and simulation supports the use of mathematical models in practice.

Full Text

Затраты на оперативное управление можно значительно сократить, разработав методику, позволяющую найти оптимум между затратами на оперативное планирование и потерями, которые получаются в результате рассогласования плановых показателей с показателями реальных производственных процессов. Это значит, найти оптимальную длительность прохождения сигнала в цепи обратной связи. Практически это означает сокращение количества расчётов календарных графиков запуска в производство сборочных единиц и за счёт этого экономию материальных ресурсов. Ход производственного процесса в машиностроении носит вероятностный характер. Постоянное влияние непрерывно меняющихся факторов не даёт возможности предсказать на некоторую перспективу (месяц, квартал) ход производственного процесса в пространстве и времени. В статистических моделях календарного планирования состояние детали в каждый определённый момент времени должно задаваться в виде соответствующей вероятности (распределения вероятностей) нахождения её на различных рабочих местах. Вместе с тем необходимо обеспечить детерминированность конечного результата деятельности предприятия. Это, в свою очередь, предполагает возможность при помощи детерминированных методов планировать определённые сроки нахождения деталей в производстве. Однако опыт показывает, что различные взаимосвязи и взаимопереходы реальных производственных процессов многообразны и многочисленны. При разработке детерминированных моделей это создаёт значительные трудности. Попытка учесть все факторы, влияющие на ход производства, делает модель громоздкой, и она перестаёт выполнять функции инструмента планирования, учёта и регулирования. Более простым методом построения математических моделей сложных реальных процессов, зависящих от большого количества различных факторов, учесть которые трудно или даже невозможно, является построение стохастических моделей. В этом случае при анализе принципов функционирования реальной системы или при наблюдении её отдельных характеристик для некоторых параметров строят функции распределения вероятностей. При наличии высокой статистической устойчивости количественных характеристик процесса и их малой дисперсии результаты, получаемые с помощью построенной модели, хорошо согласуются с показателями функционирования реальной системы. Основными предпосылками построения статистических моделей экономических процессов являются: · чрезмерная сложность и связанная с ней экономическая неэффективность соответствующей детермированной модели; · большие отклонения теоретических показателей, получаемых в результате эксперимента на модели, от показателей реально функционирующих объектов. Поэтому желательно иметь простой математический аппарат, описывающий влияние стохастических возмущений на глобальные характеристики производственного процесса (товарный выпуск продукции, объём незавершённого производства и т.д.). То есть построить математическую модель производственного процесса, зависящую от небольшого числа параметров и отражающую суммарное влияние множества факторов, имеющих различную природу, на ход производственного процесса. Главная задача, которую должен ставить перед собой исследователь при построении модели, не пассивное наблюдение за параметрами реальной системы, а построение такой модели, которая при любом отклонении под влиянием возмущений выводила бы параметры отображаемых процессов на заданный режим. То есть при действии любого случайного фактора в системе должен устанавливаться процесс, сходящий к плановому решению. В настоящее время в автоматизированных системах управления эта функция в основном возложена на человека, который составляет одно из звеньев цепи обратной связи в управлении производственными процессами. Обратимся к анализу реального производственного процесса. Обычно длительность планового периода (периодичность выдачи планов цехам) выбирается, исходя из традиционно сложившихся календарных интервалов времени: смена, сутки, пятидневка и т.п. Руководствуются при этом в основном практическими соображениями. Минимальная длительность планового периода определяется оперативными возможностями планируемых органов. Если производственно-диспетчерский отдел предприятия справляется с выдачей скорректированных сменных заданий цехам, то расчёт производится на каждую смену (то есть ежесменно производятся затраты, связанные с расчётом и анализом плановых заданий). Для определения числовых характеристик распределения вероятностей случайных возмущений построим вероятностную модель реального технологического процесса изготовления одной сборочной единицы. Под технологическим процессом изготовления сборочной единицы здесь и в дальнейшем подразумевается последовательность операций (работ по изготовлению данных детали или узла), документально закреплённая в технологии. Каждая технологическая операция изготовления продукции в соответствии с технологическим маршрутом может быть выполнена только после предшествующей. Следовательно, технологический процесс изготовления сборочной единицы является последовательностью событий-операций. Под влиянием различных стохастических причин длительность выполнения отдельной операции может изменяться. В отдельных случаях операция может не выполниться в течение действия данного сменного задания. Очевидно, что эти события можно разложить на элементарные составляющие: выполнения и невыполнения отдельных операций, которым также можно поставить в соответствие вероятности выполнения и невыполнения. Для конкретного технологического процесса вероятность выполнения последовательности, состоящей из К операций, можно выразить следующей формулой: , (1) где: Рi - вероятность выполнения i-ой операции, взятой отдельно; i - номер операции по порядку в технологическом процессе. Этой формулой можно пользоваться для определения стохастических характеристик конкретного планового периода, когда известны номенклатура запускаемой в производство продукции и перечень работ, которые должны быть выполнены в данном плановом периоде, а также их стохастические характеристики, которые определяются опытным путём. На практике перечисленным требованиям удовлетворяют только некоторые виды массового производства, обладающие высокой статистической устойчивостью характеристик. Вероятность выполнения одной отдельно взятой операции зависит не только от внешних факторов, но также от конкретного характера выполняемой работы и от вида сборочной единицы. Для определения параметров приведённой формулы даже при относительно небольшом наборе сборочных единиц, при малых изменениях номенклатуры выпускаемой продукции требуется значительный объём экспериментальных данных, что вызывает существенные материальные и организационные затраты и делает данный способ определения вероятности бесперебойного изготовления продукции малоприменимым. Подвергнем полученную модель исследованию на предмет возможности её упрощения. Исходной величиной анализа является вероятность бессбойного выполнения одной операции технологического процесса изготовления продукции. В реальных производственных условиях вероятности выполнения операций каждого вида различны. Для конкретного технологического процесса эта вероятность зависит: · от вида выполняемой операции; · от конкретной сборочной единицы; · от изготавливаемой параллельно продукции; · от внешних факторов. Проведём анализ влияния колебаний величины вероятности выполнения одной операции на укрупнённые характеристики производственного процесса изготовления продукции (объём товарного выпуска, объём незавершённого производства и т.п.), определяемые с использованием данной модели. Целью исследования является анализ возможности замены в модели различных вероятностей выполнения одной операции средним значением. Совместное влияние всех перечисленных факторов учитывается при вычислении средней геометрической вероятности выполнения одной операции усреднённого технологического процесса. Анализ современного производства показывает, что она колеблется незначительно: практически в пределах 0,9 - 1,0. Наглядной иллюстрацией того, насколько низкой вероятности выполнения одной операции соответствует значение 0,9, является следующий абстрактный пример. Предположим, что нужно изготовить десять деталей. Технологические процессы изготовления каждой из них содержат по десять операций. Вероятность выполнения каждой операции равна 0,9. Найдём вероятности отставания от графика различного количества технологических процессов. Случайное событие, заключающееся в том, что конкретный технологический процесс изготовления сборочной единицы отстанет от графика, соответствует недовыполнению в этом процессе хотя бы одной операции. Оно противоположно событию: выполнению всех операций без сбоя. Его вероятность равна 1 - = 0,65. Поскольку отставания от графика являются независимыми событиями, для определения вероятности отставания от графика различного количества технологических процессов можно воспользоваться распределением вероятностей Бернулли. Результаты вычислений приведены в таблице 1. Таблица 1 Расчет вероятностей отставания от графика технологических процессов к Сумма 1 0,072 0,07 2 0,171 0,24 3 0,250 0,49 4 0,270 0,76 5 0,152 0,92 6 0,068 0,98 7 0,021 1,00 8 0,004 1,00 9 0,000 1,00 10 0,000 1,00 Из таблицы видно, что с вероятностью 0,92 от графика отстанут пять технологических процессов, то есть половина. Математическое ожидание количества отставших от графика технологических процессов будет равняться 6,5. Это значит, что в среднем от графика будут отставать 6,5 сборочных единиц из 10. То есть в среднем будут изготавливаться без сбоев от 3 до 4 детали. Автору неизвестны примеры такого низкого уровня организации труда в реальном производстве. Рассмотренный пример наглядно показывает, что накладываемое ограничение на величину вероятности выполнения без сбоев одной операции не противоречит практике. Всем перечисленным требованиям удовлетворяют производственные процессы механосборочных цехов машиностроительного производства. Таким образом, для определения стохастических характеристик производственных процессов предлагается построить распределение вероятностей пооперационного выполнения одного технологического процесса, которое выражает вероятность выполнения последовательности технологических операций изготовления сборочной единицы через среднюю геометрическую вероятность выполнения одной операции. Вероятность выполнения К операций в этом случае будет равна произведению вероятностей выполнения каждой операции, умноженному на вероятность невыполнения остальной части технологического процесса, которая совпадает с вероятностью невыполнения (К + I)-ой операции. Этот факт объясняется тем, что если не выполнится какая-либо операция, то следующие за ней выполниться не могут. Последняя запись отличается от остальных, так как выражает вероятность полного прохождения без сбоев всего технологического процесса. Вероятность выполнения К первых операций технологического процесса однозначно связана с вероятностью невыполнения оставшихся операций. Таким образом, распределение вероятностей имеет следующий вид: , (2) , ………………………. , ……………………… , , где: