Algebra of electric and weak charges

Abstract

The article explores the relationship between the laws of multiplication of vectors in contravariant Clifford algebra and matrixes of weak electric charges. As a result, it is established that the algebra of electric and weak charges can be considered as a subalgebra of contravariant Clifford algebra. Structural constants of contravariant Clifford algebra are considered over the set of real numbers, complex numbers and quaternions.

Full Text

Объединение электрического и слабого взаимодействий стало возможным благодаря введению электрослабой группы [1]. Здесь - группа слабого гиперзаряда, а - группа слабого изоспина. Соответствующие этим группам алгебры электрического и слабого зарядов вводятся дополнительно алгебре Дирака. В настоящей работе ставится задача установления связи алгебр электрического и слабого зарядов с формализмом релятивистской квантовой механики. При этом нужно учесть, что в рамках указанного формализма ковариантная алгебра Клиффорда сводится , в частном случае, к алгебре Дирака [2]. Отсюда следует, что, не выходя за рамки релятивистской квантовой механики, алгебры электрического и слабого зарядов можно связать с контравариантной алгеброй Клиффорда . Итак, в соответствии с нашим замыслом мы должны, пользуясь правилами умножения векторов в контравариантной алгебре Клиффорда , найти структурные матрицы этой алгебры. Затем среди этих матриц найти матрицы, соответствующие подалгебрам электрического и слабого зарядов. В том случае, если такие матрицы будут найдены, мы подтвердим вывод о том, что в формализме релятивистской квантовой механики содержится возможность описания электрослабых взаимодействий. 1. Присоединенное представление базисных векторов Введем в рассмотрение контравариантную ассоциативную алгебру . Ее векторы запишем в следующем виде: , где: - базисные векторы, - координаты контравариантного вектора. Запишем закон умножения базисных векторов в алгебре следующим образом: . (1) Здесь структурные постоянные алгебры. Они рассматриваются в виде матриц, называемых структурными. Индекс I нумерует сами матрицы. Номер матрицы совпадает с номером правого базисного вектора. Индекс L нумерует строки, а индекс K - столбцы структурных матриц. Сравнивая закон умножения (1) с законом умножения базисных векторов для ковариантной алгебры Клиффорда [2], отметим два существенных различия этих законов между собой. Они имеют разный порядок умножения базисных векторов. Для (1) базисный вектор с номером структурной матрицы занимает правое место в произведении, а для алгебры базисный вектор с номером структурной матрицы занимает левое место в произведении базисных векторов. Базисные векторы в матричном виде изображаются вектором-строкой, а базисные векторы изображаются вектором-столбцом. Вполне естественно ожидать, что указанные отличия приведут к существенным отличиям структурных матриц рассматриваемой алгебры от структурных матриц ковариантной алгебры Клиффорда и матриц Дирака, в частности. Вместе с тем, с одной стороны, нужно понимать, что указанные отличия законов умножения являются в определенном смысле взаимно дополнительными. Поэтому следует ожидать, что структурные матрицы алгебр и также являются в некотором смысле взаимно дополнительными. С другой стороны, нужно помнить, что структурные матрицы алгебры , в частном случае, представляют собой матрицы Дирака, ключевые для квантовой теории. Отсюда следует важный вывод: роль искомых нами структурных матриц алгебры должна быть столь же существенна для релятивистской квантовой механики, как и матриц Дирака. В соответствии с нашим общим замыслом необходимо для базисных векторов найти структурные матрицы , пользуясь (1) и правилами умножения векторов в алгебре Клиффорда. Из (1) следует алгоритм вычисления структурных матриц, соответствующих базисным векторам. Сначала нужно установить номер структурной матрицы в соответствии с номером базисного вектора. Затем для вычисления элемента структурной матрицы с номером I, расположенного в строке с номером K и в столбце с номером L, необходимо базисный вектор, номер которого совпадает с номером столбца матрицы, умножить справа на базисный вектор, номер которого совпадает с номером структурной матрицы. Далее нужно определить базисный вектор, на который проецируется это произведение, и численное значение проекции. Тогда номер L указанного базисного вектора определит номер строки, на пересечении которой с рассматриваемым столбцом, необходимо поставить указанное численное значение проекции. Теперь вычислим структурные матрицы по приведенному алгоритму. В том случае, когда необходимо подчеркнуть размерность образующего пространства алгебры Клиффорда, используется обозначение вместо обозначения . Это особенно полезно при выделении подалгебры алгебры Клиффорда. Например, подалгебру алгебры с тремя образующими базисными векторами (например, ) удобно обозначать . Вычисления структурных матриц выполним для двух случаев: 1) алгебра с тремя образующими базисными векторами ; 2) алгебра с четырьмя образующими базисными векторами . 2. Контравариантная алгебра Клиффорда 2.1. Действительное представление Обращение к матрицам Дирака [1] научило нас тому, что компоненты векторов и матриц необходимо рассматривать в следующей последовательности индексов: (32, 13, 21, 0, 1, 2, 3, 123). Таким образом, будем записывать слагаемые вектора в следующей последовательности: . (3) В результате получим действительные матрицы 8×8 присоединенного представления базисных векторов . Они приведены в разделе 2.4. Помимо действительного представления рассмотрим комплексное и кватернионное представления базисных векторов алгебры Клиффорда, удобные в силу своей компактности. 2.2. Комплексное представление Остановимся на вопросе о представлении произведения алгебр Клиффорда. Алгебру Клиффорда можно записать в виде произведения . И затем представить алгебру как алгебру гиперчисел. Например, вектор (3) алгебры можно записать в следующем виде: . Эта запись соответствует записи алгебры в виде произведения . Базисными векторами алгебры являются , , , ; базисными векторами алгебры являются , . Пространство можно рассматривать как пространство комплексных чисел. Для этого базисному вектору алгебры поставим в соответствие мнимую единицу i с обратным знаком, имея в виду, что , а базисному вектору алгебры поставим в соответствие действительную единицу. В результате получим вектор алгебры в комплексном представлении: . Комплексное представление дается матрицами 4×4, в которых блоки заменены базисными единицами 1 и i. Они приведены в раздел 2.4. 2.3. Кватернионное представление Напомним, что кватернионы - это числа вида: , где: - действительные числа, а - базисные кватернионы, для которых выполняются следующие правила умножения: , . Кватернионное представление базисных векторов основано на следующем разложении вектора: . (4) Это представление соответствует записи алгебры в виде произведения . Базисными векторами алгебры являются , ; базисными векторами алгебры являются , , , . Так как , то пространство можно рассматривать как пространство кватернионов. Для базисных кватернионов введем обозначения , , , 1. Заменяя в (4) базисные векторы , , , базисными кватернионами, получим вектор алгебры в кватернионном представлении: . Кватернионное представление базисных векторов дается структурными матрицами 2×2. Эти матрицы приведены в следующем разделе. 2.4. Структурные матрицы контравариантной алгебры Клиффорда В этом разделе приведем структурные матрицы контравариантной алгебры Клиффорда . При преобразовании матриц от действительного представления к комплексному использованы следующие обозначения для блоков 2×2: Алгебра системы чисел {1, a, b, i} представлена законами умножения: , , , , . При преобразовании матриц от комплексного представления к кватернионному использованы следующие обозначения для блоков 2×2: В результате имеем следующую таблицу базисных структурных матриц контравариантной алгебры Клиффорда : Среди полученных матриц выделим матрицу, которая в комплексном представлении имеет вид . Именно эту матрицу нужно считать ответственной за электромагнитное взаимодействие, так как на эту матрицу умножаются компоненты потенциала электромагнитного поля в уравнении Дирака. Такой матрицей является матрица, соответствующая базисному вектору . Отсюда следует, что алгеброй электрического заряда является подалгебра контравариантной алгебры Клиффорда, построенная на базисных векторах и . 3. Контравариантная алгебра Клиффорда 3.1. Действительное представление Структурные матрицы алгебры будем вычислять для особого порядка индексов, обобщающего порядок индексов, указанный в разделе 2.1: (32, 13, 21, 0, 42, 14, 1324, 34, 1, 2, 3, 123, 134, 234, 4, 124) . То есть будем записывать слагаемые вектора в следующей последовательности: . В результате получим матрицы 16×16 действительного представления базисных векторов . Они приведены в разделе 3.4. 3.2. Комплексное представление Комплексное представление основано на следующем разложении вектора: . Это представление соответствует записи в виде произведения . Базисными векторами алгебры являются: , , , , , , , , базисными векторами алгебры являются , . Заменяя базисный вектор мнимой единицей, а базисный вектор действительной единицей, получим вектор алгебры в комплексном представлении: + . Комплексное представление базисных векторов дается структурными матрицами 8×8, в которых соответствующие блоки заменены базисными единицами 1 и i. Эти матрицы приведены в разделе 3.4. 3.3. Кватернионное представление Кватернионное представление базисных векторов основано на разложении вектора: . Это представление соответствует записи алгебры в виде произведения . Базисными векторами одной алгебры являются , , , ; базисными векторами другой алгебры являются , , , . Как и прежде, заменяя последнюю группу базисных векторов базисными кватернионами, получим вектор алгебры в кватернионном представлении: . Кватернионное представление базисных векторов дается структурными матрицами 2×2. Эти матрицы приведены в следующем разделе. 3.4. Структурные матрицы контравариантной алгебры Клиффорда В этом разделе приведем структурные матрицы контравариантной алгебры Клиффорда . Для компактности статьи мы приведем только четыре матрицы из шестнадцати. Эти матрицы соответствуют базисным векторам алгебры электрического заряда и алгебры слабого заряда . Обозначения для блоков 2×2, использованных при преобразовании матриц от действительного представления к комплексному и при преобразовании матриц от комплексного представления к кватернионному, приведены в разделе 2.4. Среди полученных структурных матриц контравариантной алгебры Клиффорда кандидатами на структурные матрицы алгебры слабого заряда являются такие, которые изоморфны алгебре кватернионов, с одной стороны, и не включают в себя структурную матрицу, соответствующую базисному вектору , с другой стороны, так как этот вектор уже отнесен к алгебре электрического заряда. Такие требования оставляют единственную возможность для выделения подалгебры слабого заряда, которой является подагебра контравариантной алгебры Клиффорда , построенной на базисных векторах , , , . Выводы Алгебры электрического и слабого зарядов можно ввести, не выходя за рамки формализма релятивистской квантовой механики, если эти алгебры рассматривать как подалгебры контравариантной алгебры Клиффорда . Тогда алгеброй электрического заряда является подалгебра контравариантной алгебры Клиффорда, построенная на базисных векторах и , а алгеброй слабого заряда является подагебра контравариантной алгебры Клиффорда , построенной на базисных векторах , , , .