Generalized integral pulses of flows and forces and potentials of visco-elastic bodies of Boltzmann-Kelvin type

Full Text

Введение Формы представления определяющих соотношений. Характерной особенностью вязко-упругих тел (ВУТ) больцмановско-кельвиновского типа является линейное взаимно однозначное соответствие тройки или переменных: внутренних сил (напряжений ) - внутренних перемещений (деформаций ) или скоростей перемещений (деформаций ) - времени , представленное двумя линейными интегральными выражениями общего вида: , и в частности, для напряжений и деформаций [1 - 7]: , (1) где функции последействия (релаксации и ползучести ) связаны (по условию взаимности) двумя линейными интегральными соотношениями-равенствами следующих из пары соотношений (1): . (2) Каждое из них есть интегральное уравнение Вольтерра второго рода с двумя переменными пределами. Например, для функции релаксации по первому уравнению (2) ядром является другая, а именно: функция ползучести . Таким образом, определяющие соотношения ВУТ больцмановско-кельвиновского типа задаются двумя линейными интегральными выражениями (1) для напряжений и деформаций и одним из тождеств (2) для ядер интегральных выражений, являющихся материальными (физическими) функциями ВУТ. Соотношения (1) - (2) связывают потоки сил и деформаций и импульсы соответственно деформаций или сил (интегральные слагаемые), т.е. левые и правые части разнородны по порядку производных и кратности интегралов: правые части содержат и сами определяющие функции (например, деформации) и их интегралы (обобщённые импульсы деформации), а левые - только сами определяющие функции (напряжения). Эту форму определяющих соотношений ВУТ называют смешанной. Из двух соотношений (1) следует важная линейная связь только интегральных слагаемых (импульсов напряжений и деформаций): . (3) Из соотношения интегральных импульсов (3), используя одно из равенств (2) для ядер подынтегральных выражений, приходим к одному из соотношений (1) для напряжений или деформаций. И таким образом, определяющие соотношения ВУТ больцмановско-кельвиновского типа могут быть также однозначно представлены одним чисто интегральным соотношением (3) и одним из соотношений (2), т.е. одной из следующих систем: , . (4) Отличия смешанной формы (1) от чисто интегральной (4) состоят в том, что в первой паре присутствуют одновременно и обобщённые силы и перемещения и соответствующее интегральное выражение или обобщённой силы или перемещения, ядро которого удовлетворяет условию (тождествам) взаимности (2), а во второй - только интегральные выражения и обобщённых сил и перемещений, ядра которых подчинены условию (уравнениям) взаимности (2). При этом представления в форме (4) однородные (левая и правая части соотношений) по порядку производных или кратности интегралов. Последнее обстоятельство удобно при формулировке соответствующих потенциалов. Потенциалы ВУТ больцмановско-кельвиновского типа. Потенциалы внутренних сил (напряжений) и перемещений (деформаций) или скоростей перемещений (скоростей деформаций) как функции соответствующих переменных представляются дифференциальными выражениями типа: · для векторов усилий и перемещений: , , , ; · для тензоров напряжений и деформаций: , , , , (5) где две функции и или и - соответствующие потенциалы, например, свободная энергия Гельмгольца и потенциал Гиббса. При представлении этих функций обобщённые силы или и обобщённые потоки, перемещения или , выбираются таким образом, чтобы, согласно принципу Кюри, каждая пара (обобщённая сила ~ обобщённое перемещение) равно присутствовала во всех соотношениях, а её компоненты имели одинаковые размерность (скалярную, векторную или тензорную) и порядок производной или кратность интегралов. При этом полная группа потенциалов удовлетворяет условиям взаимности Максвелла (взаимно однозначной определимости), представленным преобразованиями Лежандра-Эйлера [3 - 14], образующими цепочку Гиббса-Гельмгольца вида: , (6) где: и - «жёсткость» и «податливость» связей обобщённых потоков и сил соответственно. Цепочка Гиббса-Гельмгольца, как и мнемоническая диаграмма Борна, позволяет подобно интегральным соотношениям (2) для ядер последействия определять любой потенциал полной группы по известным другим дифференциальным соотношениям (6). Эта связь обеспечивает взаимно однозначное соответствие пар потенциалов и их потоков и сил , потенциальность и однозначную разрешимость определяющих соотношений связи относительно обобщённых сил и потоков. Система неравенств для детерминантов производных потенциалов (отличны от нуля, положительны их дифференциалы второго порядка и главные миноры гессианов) и коэффициентов «жёсткости» и «податливости» (при или ) даёт ряд неравенств типа (таких неравенств ): и соотношений взаимности Максвелла определяют условия экстремума первого и второго порядков и обеспечивают взаимнооднозначную определимость (разрешимость) потоков и сил, интегрируемость дифференциальных форм первого и второго порядков, а в целом - равновесие и устойчивость системы. Таким образом, для вязко-упругих тел больцмановско-кельвиновского типа характерным являются: 1) потенциальность связей обобщённых импульсов потоков и сил; 2) полная группа потенциалов, связанных между собой преобразованиями Лежандра-Эйлера, образует цепочку Гиббса-Гельмгольца; 3) каждый из потенциалов есть функции наборов разноимённых обобщённых импульсов потоков и сил; 4) обобщённые импульсы потоков и сил есть линейные функционалы соответствующих потоков и сил; 5) одноимённые импульсы потоков и сил линейно связаны между собой функционально; 6) ядра интегральных операторов одноимённых импульсов потоков и сил связаны между собой взаимно обратимыми линейными интегральными соотношениями. В существующих (см. [3 - 12] ниже приведенные потенциалы) формах представления потенциалов (функционалов) для ВУТ таких, как свободная энергии и свободная энтальпия, различные потенциалы рассеяния, в качестве потоков и сил традиционно используются смещения (деформации) и напряжения и их интегральные свёртки. Определяющие соотношения между потоками и силами также содержат интегральные свёртки в виде производных. Формы неоднозначны и для их задания требуются дополнительные и независимые условия. Функции, фигурирующие в определяющих уравнениях, нелегко определимы экспериментально. Свободная энергия Гельгольца и свободная энтальпия Гиббса [4, 5]. В теории ВУТ часто используются следующие частные представления потенциалов, выражения которых содержат одновременно производные и интегралы обобщённых сил и потоков. Например, потенциал [4] (свободная энергия Гельмгольца) напряжений, содержащий и поток и интеграл от потока с ядром релаксации , т.е. интегральный импульс потока (деформации): , , , и свободная энтальпия Гиббса - потенциал деформаций, содержащий и силу-напряжение, и интеграл от силы с ядром ползучести , т.е. интегральный импульс силы (напряжений): . В представленных выражениях указанные потенциалы есть функции, соответственно, не только самих потоков и сил, связаные соотношениями, вытекающими из «неклассических» преобразований Лежандра-Эйлера: а не из «классических» (принятых в настоящее время) преобразований Лежандра-Эйлера, отличающихся знаками: и, кроме того, дополнительно слагаемых, зависящих от импульсов потока и силы, а именно: Как отмечалось в [4, 5], определяющие соотношения не содержат параметра , фигурирующего в выражениях для потенциалов и отражающего диссипативные характеристики системы, которые должны быть заданы дополнительно и независимо. Отмечая не единственность форм выражений потенциалов и возможность замены выражений типа другими, соответствующими принятым моделям или более общими, например, [2 - 12]: которые задаются дополнительно и независимо, например, с использованием первого закона термодинамики: где: - внутренняя энергия при обратимом тепле ; - свободная энергия; - дополнительная работа; - мощность рассеяния; При этом в качестве параметров состояния (потоков и сил) используются деформации и напряжения [1 - 4]. Потенциалы модели Максвелла [1 - 5]. Модель Максвелла , представляющая последовательное двухэлементное простое соединение гуковских и ньютоновских элементов, описывается неполным обыкновенным линейным дифференциальным уравнением первого порядка вида . Мощность и определяющие соотношения для такой модели имеют вид: Потенциалы модели Фойгхта [2]. Модель Фойгхта состоит из параллельно соединённых простейших гуковских и ньютоновских элементов. Дифференциальное уравнение состояния для них - это неполное линейное уравнение . Мощность и соответствующие соотношения для этой модели есть: В обоих случаях потенциалы, соответственно, выражены через потоки (деформации) и силы (напряжения), а определяющие соотношения содержат и сами потоки и силы и их импульсы и при этом в такой неудобной форме, что установить их общность и универсальность затруднительно. Об этом, в частности, свидетельствуют указанные выше неединственность (неоднозначность) форм выражения свободной энергии и неопределённость диссипативных характеристик даже при однозначном выборе определённой формы. Обобщённые интегральные импульсы потоков и сил ВУТ. Исходя из общих представлений о линейных взаимно обратимых функциональных соотношениях двух функций и для вязко-упругих тел больмановско-кельвиновских твёрдых тел: (7) где функции последействия (ядра релаксации и ползучести разностного типа) удовлетворяют условию взаимно однозначной обратимости операторов - линейным интегральным уравнениям Вольтерра второго рода с двумя переменными пределами: , (8) и сложив первое и второе, умноженное на числовой коэффициент , получим линейную алгебраическую связь интегральных слагаемых общего вида: (9) Формула (9) связывает обобщённые интегральные импульсы, соответственно, потоков (деформаций) и сил (напряжений), поэтому выбор формы представления импульсов следует органично. При этом и связь органично устанавливается алгебраически линейная, а развёрнутые формы типа (7) связей потоков (или сил) с силами и импульсами сил (или потоками и их импульсами) следуют из (9) с использованием (8); в прямой связи (7) соотношения (8) есть следствие, а в обратной (9) соотношения (8) есть необходимое условие. Потенциалы рассеяния - квадратичные формы обобщённых импульсов. Составив следующие произведения обобщённых импульсов: (10) сравнив их с произведением первого и второго выражений (7), разрешённых относительно соответствующих импульсов, получаем: а с учётом (9) имеем следующие равенства квадратичных форм: (11) Полагая поток деформацией, а силу напряжением, из (11) видим физическую интерпретацию квадратичных форм - удельных энергий: и при этом функции - потенциалы импульсов напряжений и деформации, соответственно: (12) удовлетворяют соотношениям Гиббса-Гельмгольца и преобразованиям Лежандра-Эйлера: (13) и по своим свойствам идентичны свойствам свободной энергии Гельмгольца и потенциалу Гиббса. Приведенные выше соотношения, касающиеся одномерных скалярных систем, применимы и для многомерных тензорных. Линейные соотношения вязко-упругости. В случае изотропных ВУТ имеем для девиаторной и шаровой частей тензоров напряжений и деформаций следующие соотношения [2, 4, 5, 10]: (14) где ядра ползучести и релаксации связаны линейными интегральными уравнениями Вольтерра второго рода: (15) Как видим, этим соотношениям соответствуют импульсы, связанные линейными алгебраическими выражениями, аналогичными закону Гука для линейно упругих тел: (16) и соответствующие потенциалы (17) Соотношения (16) и (17) при условиях (15) определяют потенциальную линейную связь потоков (деформаций) и сил (напряжений) через соответствующие обобщённые импульсы. Здесь свёртки типа - вторые инварианты тензоров. И таким образом, известные [2, 4, 5, 10] линейные определяющие соотношения вязко-упругости представляются в форме (16) через обобщённые импульсы, аналогичные форме закона Гука для линейно упругих тел. Для нелинейных систем подобного рода соотношения могут быть представлены в случае, так называемой, квазилинейности свойств, когда выполняются в первую очередь соотношения взаимной разрешимости функций последействия (ядер релаксации и ползучести) типа (15). Ниже приводится вариант таких соотношений. Квазилинейные соотношения вязко-упругости. В случае изотропных нелинейных ВУТ, считая, что функции последействия не зависят от напряжённо-деформированного состояния, имеем для девиаторной и шаровой частей тензоров напряжений и деформаций следующие соотношения [2, 4, 5, 10]: где ядра ползучести и релаксации связаны линейными интегральными уравнениями Вольтерра второго рода: Этим соотношениям соответствуют импульсы, связанные линейными алгебраическими выражениями, аналогичными закону Гука для нелинейно упругих тел: и соответствующие потенциалы: (18) Приведенные выше соотношения при условиях типа (15) определяют потенциальную нелинейную связь потоков (деформаций) и сил (напряжений) через соответствующие обобщённые импульсы. Здесь, как и ранее свёртки типа - вторые инварианты тензоров, а потенциалы есть квадратичные функционалы. Могут быть более сложные соотношения, например, тогда когда функционалы - неквадратичные функции соответствующих импульсов потоков и сил - функционалов типа Больцмана-Кельвина: Отметим важное свойство потенциалов типа и : они зависят либо только от импульсов потоков, либо только от импульсов сил. Потенциалы могу содержать только импульсы разнородных потоков и сил. Таким образом, потенциалы больцмановско-кельвиновских ВУТ могут быть представлены как функции обобщённых импульсов - функционалов потоков, скоростей потоков, сил и, в некоторых случаях, скоростей сил. Ниже приведены соответствующие примеры «модельных» ВУТ, таких как «стандартные» трёхэлементные тела Кельвина и Пойнтинга-Томсона и двухэлементные тела Максвелла и Фойгхта. В первых примерах приводятся основные свойства деформационных кривых ВУТ с экспоненциальными ядрами и иллюстрируются связи потоков и сил и соответствующих импульсов для трёх программ «истории» деформации или нагружения, а в последних двух примерах приведены необходимые преобразования определяющих соотношений, приводящие к больцмановски-кельвиновскому виду. Импульсы потоков и сил «стандартного» тела Кельвина. Модель линейного вязко-упругого тела, предложенная в 1875 г., представляет собой последовательное соединение простого гуковского элемента и фойгхтовского тела, состоящего из параллельного соединения простых гуковского и ньютоновского элементов. Соответствующее линейное обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее напряжённо-деформированное состояние такого тела: при нулевых начальных условиях имеет решение: (19) Аналогичное справедливо и для «нормального» тела Пойнтинга-Томсона (1890-1892г.), представляющего собой параллельное соединение простого гуковского элемента и максвеловского тела, состоящего из последовательно соединённых простых гуковского и ньютоновского элементов. При этом параметры уравнения и выражаются через соответствующие модули упругости Юнга гуковских элементов и коэффициенты вязкости ньютоновских элементов: Ядра релаксации и ползучести разностного экспоненциального типа, а коэффициенты при них , соответственно, и больше нуля. Для модельных численных исследований состояний больцмановских реологических тел с функциями последействия с ядрами экспоненциального типа, не связанных с конкретными свойствами гуковских и ньютоновских элементов, величина может выбираться таким образом, чтобы относительное изменение подынтегральных функций не превышало заданной величины на всём интервале времени. Значение параметра , а параметров и - по уровню (асимптотам) кривых ползучести или релаксации: На рисунках 1 и 2 приведены графики ядер релаксации и ползучести (при и четырёх значениях и, соответственно, ; нумерации кривых на рисунках соответствует номеру ), кривые релаксации (рисунок 2) и ползучести (рисунок 3). а) б) Рисунок 1. Ядра релаксации (а) и ползучести (б) На рисунках 4а и 4б представлены значения, соответственно, импульсов деформаций и напряжений: а) б) Рисунок 2. Кривые релаксации (а) и соответствующие импульсы деформации (б) а) б) Рисунок 3. Кривые ползучести (а) и соответствующие импульсы (б) деформаций а) б) Рисунок 4. Импульсы деформаций и напряжений при ползучести (а) и релаксации (б) В качестве пробных «численных экспериментов» приняты следующие «истории» деформации (Д) и нагружения (Н): гармоническая смещённая (ГК1), параболическая (П), гармоническая симметричная (Г1) и гармоническая смещённая с удвоенной частотой (ГК2), заданных на интервале времени : На рисунке 5а представлены графики «истории» деформации и «отклика» напряжений для одного из значений параметра , а на рисунке 5б - «изохронная деформационная кривая» для «истории» деформаций ГК1Д. а) б) Рисунок 5. «История» деформации и «отклик» (а) и изохронная кривая (б) по программе ГК1Д Для всех указанных значений параметров аналогичные кривые приведены ниже. а) б) Рисунок 6. «Отклики» (а) и изохронные кривые (б) по программе ГК1Д а) б) Рисунок 7. Импульсы деформации (а) и изохронные импульсы (б) деформации и напряжений по программе ГК1Д В рассматриваемых примерах иллюстрируются характерные свойства линейных вязко-упругих тел, проявляющихся в различных режимах («историях») деформации и нагружения, в частности, активного нагружения и разгрузки по гармоническому и параболическому законам и повторное нагружение - разгрузка. Приведены изохорные деформационные кривые и графики изменения импульсов деформации и напряжений. При этом, если задается «история» деформации, то значения импульса напряжений определяются по значениям вычисленных напряжений; если «история» задаётся по напряжениям, то импульс деформации определяется по значениям вычисленных деформаций. В конце каждой серии графиков приводится изохронная кривая импульсов - прямая (линейная) зависимость. а) б) Рисунок 8. «История» напряжений и «отклик» (а) и изохронная кривая (б) по программе ГК1Н а) б) Рисунок 9. «Отклики» (а) и изохронные кривые (б) по программе ГК1Н а) б) Рисунок 10. Импульс деформации (а) и изохронные импульсы (б) деформации и напряжений по программе ГК1Н а) б) Рисунок 11. «История» деформации и «отклик» (а) и изохронная кривая (б) по программе ПД а) б) Рисунок 12. «Отклики» (а) и изохронные (б) кривые по программе ПД а) б) Рисунок 13. Импульс деформации (а) и изохронные (б) импульсы напряжений и деформаций по программе ПД а) б) Рисунок 14. «История» напряжений и «отклик» (а) и изохронная кривая (б) по программе ПН а) б) Рисунок 15. «Истории» напряжений и «отклики» (а) и изохронные (б) кривые по программе ПД а) б) Рисунок 16. Импульсы деформаций (а) и изохронная кривая (б) импульсов по программе ПН Импульсы потоков и сил тела Максвелла. Так для модели Максвелла , представляющей последовательное двухэлементное простое соединение гуковских и ньютоновских элементов (так что ): (20) В рассмотренном случае в качестве потока принята скорость деформации, а в качестве силы - скорость напряжений. Соответственно, импульсы скоростей деформации и скоростей напряжений, между которыми определена линейная связь (20), ядро релаксации - экспонента, а ядро ползучести - единичная функция. Импульсы потоков и сил тела Фойгхта. Для модели Фойгхта , состоящей из параллельно соединённых простейших гуковских и ньютоновских элементов (так что ): (21) Для определяющих соотношений модели Фойгхта в качестве потока принята скорость деформации, а в качестве силы - напряжение. Линейная связь соответствующих импульсов скоростей деформации и импульсов напряжений представлены формулой (21), где ядро ползучести - экспонента, а ядро релаксации - единичная функция. Потенциалы импульсов напряжений и импульсов скоростей деформации - квадратичные формы. Квазилинейные соотношения импульсов в главной теории вязко-упругости [12]. Для тензорно-линейных уравнений квазилинейной теории вязко-упругости, предложенной А.А. Ильюшиным и П.М. Огибаловым, основанной на постулате изотропии, используем тензоры-девиаторы интегрального импульса: деформации - импульс движения, интегрального импульса напряжений - импульс силы: (22) и их интенсивности: Из равенства направляющих тензоров импульсов деформации и напряжений: (23) следуют квазилинейные соотношения ВУТ. Полагая универсальной зависимость «жёсткости» или «податливости» при активном пропорциональном нагружении, т.е. универсальности изохронной импульсно-деформационной кривой: (24) и учитывая уравнения связей ядер действия (деформации) и последействия (релаксации): (25) квазилинейные связи тензоров деформации и напряжений вязко-упругих тел записываются в формах: · равное присутствие импульсов: (26) · разрешённые относительно импульса деформации: (27) · разрешённые относительно импульса напряжений: (28) Заключение В рассмотренных примерах линейных модельных представлений вязко-упругих тел наглядно видно, что в качестве потенциалов могут быть использованы импульсы соответствующих потоков (деформаций, скоростей деформаций) и сил (напряжений и скоростей напряжений) с ядрами релаксации и ползучести. Для их выражений используются различные преобразования и подстановки. В частности, для нелинейных (квазилинейных по потокам и силам) и линейных по времени применяются соответствующие подстановки. Таким образом, потенциалы больцмановско-кельвиновских ВУТ могут быть представлены как функции обобщённых импульсов-функционалов потоков, скоростей потоков, сил и, в некоторых случаях, скоростей сил.

About the authors

E. Z. Korol

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Email: ez_korol@mail.ru
Ph.D., Prof.; +7 916 852-30-09

References

Supplementary files