Experience of using the variational principle of Hamilton-Ostrogradskiy to practical issues of compilation of differential equations of autonomous small oscillations

Full Text

Введение Фактически весь монокристаллический кремний, используемый для производства интегральных схем, производится по методу Чохральского [1]. Рост кристаллов по методу Чохральского заключается в затвердевании атомов жидкой фазы на границе раздела фаз. Скорость вытягивания оказывает влияние на форму границы раздела фаз между растущим кристаллом и расплавом, которая является функцией радиального градиента температуры и условий охлаждения боковой поверхности растущего кристалла. Установка для выращивания кристаллов кремния включает в себя четыре основных узла: печь, в которую входит тигель, механизм вытягивания кристалла, устройство для управления составом атмосферы и блока управления [1]. Наиболее опасными для технических объектов оказываются вибрационные воздействия. Механизм вытягивания должен с минимальной вибрацией и высокой точностью обеспечить реализацию параметра процесса роста кристалла - постоянную скорость вытягивания. На качество выращиваемого кристалла влияют колебания, возникающие вследствие вибраций фундамента и упругих деформаций деталей механизма вытягивания кристалла. Чтобы иметь возможность при проектировании системы исключить резонансные частоты путём соответствующего подбора масс и размеров деталей механизма вытягивания необходимо знать собственные частоты его колебаний. В настоящее время задачи теоретической и прикладной механики решаются с помощью уравнений Лагранжа второго рода. Однако вывод этих уравнений, предложенный самим Лагранжем, отличается известной сложностью. В работе [2] были исследованы дифференциальные уравнения свободных малых колебаний механизма для вытягивания кристалла, составленные методом Лагранжа для системы с двумя степенями свободы, и определены собственные частоты колебаний. Однако наибольший эффект при решении задач движения систем под действием приложенных к ним сил дает применение интегрального принципа Гамильтона-Остроградского [3]. На основе указанного принципа легко получить дифференциальные уравнения и в дальнейшем использовать их для описания движения сложных механических устройств, в том числе при колебаниях систем со многими степенями свободы. В данной работе рассматривается опыт применения интегрального вариационного принципа Гамильтона-Остроградского к практическим вопросам составления дифференциальных уравнений колебаний для системы с двумя степенями свободы. Обычно различают дифференциальные и интегральные принципы. Эти принципы можно получить из общего уравнения динамики [3]. При рассмотрении интегральных вариационных принципов речь будет идти исключительно о системах с геометрическими или голономными связями. Принцип, определяемый равенством (1), в общей форме, пригодной и для консервативных и неконсервативных систем, называется принципом М.В. Остроградского [3]: (1) При движении системы в консервативном силовом поле первая вариация действия по Гамильтону должна быть равна нулю и равенство (1) приобретает вид: (2) где: - функция Лагранжа, - кинетическая энергия системы; - потенциальная энергия системы. Интеграл с переменным верхним пределом будем называть действием материальной системы по Гамильтону: (3) Принцип, определяемый равенством (2) называется принципом Гамильтона-Остроградского. Этот принцип показывает, что при движении системы по «прямому» пути первая вариация действия по Гамильтону должна быть равна нулю. Равенство (2) - частный случай равенства (1). Целью работы являются теоретические исследования применения вариационного принципа Гамильтона-Остроградского к практическим вопросам составления и решения дифференциальных уравнений свободных малых колебаний механизма вытягивания кристалла в установке для выращивания кремния. Постановка задач Расчётная схема механизма для вытягивания кристалла представлена на рисунке 1. Рисунок 1. Расчётная схема В механизме для вытягивания кристалла затравочный кристалл (затравка) крепится к каретке 1, которая с постоянной скоростью порядка 0,3 - 7 мм/мин поднимается вверх по двум направляющим колоннам 2 посредством стальной ленты 3, переброшенной через неподвижный блок 4 и наматываемой на барабан 5. Осью блока 4 служит траверса, соединяющая концы направляющих колонн. При расчёте направляющие колонны принимаются абсолютно жесткими, трением каретки о направляющие пренебрегаем, проскальзывание ленты по блоку отсутствует. Механическая система (механизм для вытягивания кристалла) имеет две степени свободы. За обобщённые координаты примем координату , определяющую положение каретки 1 и угол поворота блока отсчитываемые от положений статического равновесия. В положении статического равновесия . Результаты исследований Воспользуемся равенством (2) и покажем, что из интегрального принципа Гамильтона-Остроградского так же, как из принципа Даламбера-Лагранжа, можно получить дифференциальные уравнения малых колебаний механической системы с двумя степенями свободы: , (4) или с учётом функции Лагранжа (считаем, что варьирование и интегрирование - переставимые операции) получим: (5) Вычисляем кинетическую энергию системы: (6) где: - масса каретки, - момент инерции блока относительно оси вращения. Проварьировав функцию (6), для изохронных вариаций найдём: . (7) Воспользуемся тождеством для преобразования первого члена: . (8) Так как (считаем, что варьирование и дифференцирование - переставимые операции), то с помощью (8) запишем: . (9) Аналогичным тождеством воспользуемся для преобразования второго члена: . (10) Так как , то с помощью (10) запишем: . (11) Подставив результаты (9) и (11) в формулу (5), найдём: . (12) Потенциальная энергия механической системы: (13) где: - потенциальная энергия силы тяжести каретки, - потенциальная энергия силы тяжести блока, так как точка приложения силы тяжести блока неподвижна, - потенциальная энергия упругой силы стальной ленты длиной , - потенциальная энергия упругой силы стальной ленты длиной . (14) где: - коэффициент жёсткости стальной ленты длиной , - удлинение этой ленты в положении статического равновесия, - угол поворота блока, - радиус блока. После преобразований получаем: (15) Найдём: (16) где: - коэффициент жёсткости стальной ленты длиной , - удлинение этой ленты в положении статического равновесия, - угол поворота блока при статическом приложении к системе силы тяжести каретки. После преобразований получаем: (17) Рассмотрев положение равновесия каретки и блока, найдём: . (18) Тогда подставив выражения потенциальной энергии системы, найдём: . (19) Подставив в (19) выражения , получим: (20) В положении равновесия при значениях и для консервативной системы должны выполняться равенства: . (21) Для потенциальной энергии, принимая во внимание равенство (20), окончательно получим: (22) Проварьировав функцию (22) для изохронных вариаций, найдём: . (20) Для применения принципа Гамильтона-Остроградского внесём результаты (12) и (20) в равенство (5), получим: (21) После перегруппировки слагаемых в формуле (21) получим: (22) Нетрудно видеть, что первый и второй интегралы в формуле (22) обращаются в нуль. Действительно, (23) (24) Напомним, что в основу вывода интегрального принципа Гамильтона-Остроградского положено условие соединения начала и конца «прямого» и «окольного» путей. Значит, в данном случае при значениях времени и имеем и . Поэтому интегралы (23) и (24) обращаются в нуль и уравнение (22) принимает вид: (25) В подынтегральном выражении вариации обобщенных координат и линейно независимы, так как неголономные связи отсутствуют. Поэтому коэффициенты при них дожны быть порознь равны нулю. Имеем: , (26) . (27) Таким образом, выражения (26) и (27) являются искомыми дифференциальными уравнениями свободных малых колебаний механической системы с двумя степенями свободы. Запишем полученные дифференциальные уравнения (26) и (27) следующим образом: , (29) где: Решение системы дифференциальных уравнений (29) будем искать в виде: , (30) где: и постоянные величины. Подставив эти решения в уравнение (4), получим: . (31) Однородная линейная система имеет решения, отличные от нуля, если определитель системы равен нулю. . (32) Раскрыв определитель, получим уравнения частот: (33) После ряда преобразований собственные частоты колебаний запишутся в следующем виде: (34) Проведём определение коэффициентов жесткости стальной ленты на двух участках механизма. На участке длиной : . На участке длиной : , где: - модуль Юнга стали (материала ленты), - площадь поперечного сечения ленты, - толщина ленты, - ширина ленты. Заключение Применение вариационного принципа Гамильтона-Остроградского при составлении дифференциальных уравнений свободных малых колебаний для механизма вытягивания кристалла в установке для выращивания кремния оказалось целесообразным и эффективным. Получена система дифференциальных уравнений движения для механической системы с двумя степенями свободы. В результате решения системы дифференциальных уравнений определены собственные частоты колебаний системы и коэффициенты жесткости стальной ленты на двух участках механизма вытягивания кристалла. Полученные соотношения дают возможность при проектировании установки исключить резонансные частоты путём соответствующего подбора масс направляющих колонн, каретки, блока и размеров направляющих колонн.

About the authors

M. V. Serov

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Email: tm@mami.ru
Ph.D.; +7 495 223-05-23

G. M. Averyanova

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Email: tm@mami.ru
+7 495 223-05-23

E. V. Karnacheva

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Email: tm@mami.ru
+7 495 223-05-23

References

Supplementary files