Independent work of students in the discipline "methods of fractal analysis"

Abstract

The article suggests four types of tasks for cognitive-search classroom students' independent work on the subject "Methods of fractal analysis". The authors presented simple and complex variants of each tasks, showed relationship of tasks with general cultural and professional competences of bachelor degree program (221700.62).

Full Text

В современной науке наблюдается стремительное развитие нового междисциплинарного направления изучения разнообразных структур - фрактального анализа. Особое распространение эта теория получила в области изучения и оценки свойств материала, полученного нанотехнологиями, для которых применение положений классических методов не позволяет учесть доказанной нелинейной синергетической природы процессов формирования структуры, и, как следствие, приводит к искажениям полученных результатов. Необходимость использования для исследования характеристик наноматериала нетрадиционных подходов привела к появлению потребности в бакалаврах, владеющих положениями фрактальной геометрии и навыками фрактального анализа. Таблица 1. Характеристика курса «Методы фрактального анализа» Название характеристики Количество часов аудиторные занятия 36 лекции 18 семинары и практические занятия 18 самостоятельная работа 36 дисциплина по выбору студентов; читается в одном семестре (в 5-ом); форма промежуточной аттестации - зачет; относится к вариативной части математического и естественнонаучного цикла Этот факт послужил причиной возникновения нового учебного курса «Методы фрактального анализа». Данная дисциплина читается в Университете машиностроения на кафедре «Стандартизация, метрология и сертификация» («СМиС») бакалаврам, обучающимся по направлению подготовки 221700.62 «Стандартизация и метрология». Детальная информация о курсе представлена в таблице 1. В работе [1] разработаны теоретическая, практическая, программная и техническая основы курса «Методы фрактального анализа» (рисунок 1). При этом в качестве практических занятий предложено выполнение фрактального анализа в специализированном программном обеспечении Nova [2] и Fractan с последующей защитой работы в форме компьютерного тестирования [2]. Этот вид аудиторной самостоятельной работы студентов относится к репродуктивной, так как предполагает работу студентов c методическим материалом [3-5], в котором указана последовательность выполнения фрактального анализа на компьютере. При этом закрепление и уточнение знаний достигается с помощью упражнений и решением алгоритмических (типовых) задач. В данной статье представлены примеры другой формы самостоятельной работы -познавательно-поисковой. Рисунок 1. Основы учебного курса «Методы фрактального анализа» Познавательно-поисковая (реконструктивная) предполагает выполнения заданий с обязательным преобразованием информации. В рамках курса «Методы фрактального анализа» такой работой могут быть следующие четыре типа заданий: Тип заданий №1. Составление по предложенному рисунку алгоритма построения геометрического фрактала. Исходными изображениями могут быть известные геометрические фракталы (рисунок 2): кривая Коха; треугольник Серпинского; ковер Серпинского. Рисунок 2. Геометрические фракталы: а - снежинка Коха; б - треугольник Серпинского; в - ковер Серпинского Можно предложить и более сложную форму этой работы. В этом случае обработка рисунка будет происходить в два этапа: сначала составление алгоритма, а затем - определение фрактальной размерности геометрического фрактала по формуле 1. , (1) где: D - размерность Хаусдорфа; - минимальное число самоподобных копий (эталонов), которые в совокупности полностью покрывают фрактальное множество и при этом не пересекаются; - коэффициент подобия копий. Тип заданий №2. Выполнение R/S-анализа заданного временного ряда данных (формула 2) с последующей интерпретацией показателя Херста (параметра H) [6]: · определение вида броуновского движения: фрактальное, при H = 0…0,5 и при H = 0,5…1; нефрактальное или вырожденное фрактальное, при H = 0; 0,5; 1; · установление наличия зависимости «прошлого» от «будущего»: марковский процесс при H = 0,5; немарковский процесс при H = 0…0,5 и при H=0,5…1; · оценка зависимости «прошлого» в «будущем»: персистентная корреляция при H = 0,5…1; антиперсистентная корреляция при H = 0…0,5; · определение возможности предсказания поведения объекта в будущем: предсказание возможно при H = 0…0,5 и при H = 0,5…1; · определение вида шума: розовый шум при H = 0…0,5; белый шум при H = 0,5; черный шум, если H = 0,5…1. (2) где: α - постоянная величина (в разных исследованиях авторы рекомендуют значения от 0,5 до π/2; Херст предлагал α=1); τ - число наблюдений; H - показатель Херста; R - размах отклонения; S - стандартное отклонение. С целью уложения можно организовать выполнение задания на компьютере с программированием расчётов в универсальном программном обеспечении типа Microsoft Excel с последующим сравнением результатов, полученных в программе Fractan. Тип заданий №3. Выявление зависимости между фрактальной размерностью поверхности и ее свойствами [7]. Установлено, что современные методы обработки и изготовления материалов формируют на поверхности элементы, форма и расположение которых, как правило, сильно отличается от традиционного представления шероховатости как о периодическом чередовании выступов и впадин, описываемых в рамках евклидовой геометрии. В связи с этим возникает задача разработки и применения новых подходов в оценке свойств поверхности. Одним из возможных направлений поиска таких подходов является использование теории фракталов и разработанного на ее основе фрактального анализа, а в качестве оценочного количественного параметра - фрактальной размерности D. Суть задания заключается в анализе студентом предложенной научной литературы с последующим заполнением таблицы по форме, представленной на рисунке 3. Свойство поверхности Характер зависимости свойства от фрактальной размерности Триботехнические характеристики Уменьшение параметра D свидетельствует о снижении коэффициента трения Коррозионная стойкость … … … Рисунок 3. Форма представления выполнения задания 3 Для повышения сложности работы можно предложить студентам выбрать любой предложенный научный материал и по нему составить «Ромашку Блума», то есть сформулировать по тексту следующие шесть вопросов: 1) простой вопрос (требует знания фактического материала и ориентирован на работу памяти; пример: «С помощью какого средства измерений авторы статьи вычисляли фрактальную размерность поверхности?»); 2) уточняющий вопрос («Правильно ли я понял, что уменьшение фрактальной размерности свидетельствует о снижении триботехнических характеристик?»); 3) оценочный вопрос (сравнение) («Как вы думаете, как изменятся коррозионные свойства поверхности при увеличении параметра D с 2,1 до 2,17?»); 4) творческий вопрос («Какое будет дальнейшее направление развития исследований автора данной статьи?»); 5) практический вопрос («как мы можем применить результаты исследований данной работы в автомобилестроении?»); 6) интерпретирующий, объясняющий вопрос («Какова интерпретация графика, представленного на рисунке?»). Тип заданий №4. Построение многомерной шкалы, позволяющей по численному значению фрактальной размерности оценить структурно-динамические свойства поверхности и определить направление корректировки технологического процесса ее обработки. Возможный общий вид шкалы представлен в работе [8] (решение простого варианта задания). Более детальная шкала, построенная для оценки качества электрохимически обработанной поверхности, описана в работе [9] (решение сложного варианта). Предложенные типы реконструктивных заданий развивают следующие общекультурные и профессиональные компетенции направления подготовки 221700.62 «Стандартизация и метрология» (таблица 2). Таблица 2. Типы заданий и их связь с компетенциями Тип задания Развиваемые компетенции №1 ОК-15 №2 ОК-15; ОК-16; ПК-20 №3 ОК-4; ОК-19; ПК-17 №4 ОК-4; ОК-19; ПК-17 Дальнейшим шагом развития курса «Методы фрактального анализа» станет разработка заданий и организация творческой аудиторной самостоятельной работы студентов, направленной на изучение возможности применения фрактального анализа для изучения материалов, полученных современными методами обработки [10, 11].