Asymptotics of solutions of differential equations with degeneration

Abstract

This article examines possible applications of the asymptotic method of Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB) for solution of ordinary differential equations with a small parameter at the higher derivative, to build and evaluate the solutions of a class of degenerating ordinary differential equations of second order containing a large number parameter.

Full Text

Исследование вырождающихся эллиптических уравнений приводит к необходимости изучения свойств решений обыкновенных вырождающихся дифференциальных уравнений с вещественными параметрами. Ряд свойств таких решений был установлен в работах [1, 3]. Дальнейшее продвижение в указанном направлении требует более тонких методов для исследования свойств решений граничных задач вблизи поверхности вырождения. Основой такого подхода могут стать асимптотические методы. Целью настоящей работы является изучение свойств решений обыкновенного сильно вырождающегося дифференциального уравнения второго порядка, содержащего большой числовой параметр на основе не связанного со специфическими свойствами гильбертовых пространств подхода, в основу которого положен асимптотический метод ВКБ. Рассмотрим вырождающееся обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка (1) содержащее большой числовой параметр . Предположим, что коэффициенты уравнения удовлетворяют следующим условиям: (2) ; (3) . (4) Предположим также, что существуют такие, что (5) Докажем, что при выполнении сформулированных условий, при существует достаточно большое число такое, что при рассматриваемое уравнение имеет два линейно независимых решения . Для этих решений и их производных первого порядка получим следующие асимптотические представления . (6) . (7) где (8) . (9) (10) Функции и выражаются через коэффициенты исследуемого уравнения: (11) (12) Для функции и , также получим асимптотические представления при и достаточно большом k. При доказательстве полученных асимптотических представлений и оценок использовался асимптотический метод ВКБ [2]. С целью обоснования применимости этого метода к вырождающемуся обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка (1) рассмотрим уравнение . (13) Функция удовлетворяет условиям: при ;. (14) при . (15) при , , (16) где . (17) В [2] установлено существование и единственность решений и , систем интегральных уравнений . (18) . (19) для которых справедливы оценки (20) (21) . (22) Лемма 1. При выполнении условий (14) - (16) для решений уравнения (13) и их производных справедливы асимптотические представления (23) (24) (25) (26) , (27) , (28) где , , а функции и , являются решениями систем интегральных уравнений (18) и (19) соответственно. Следствие 1. Для функций справедливы оценки , (29) , (30) где . Доказательство. Справедливость оценок (29) - (30) вытекает из представлений (26) - (28) и оценок (20) - (22). Замена независимой переменой по формуле: , (31) приводит уравнение (1) к виду: (32) где функция обратная к монотонной функции , , (33) (34) Замена искомой функции по формуле: (35) приводит уравнение (32) к виду: (36) где . (37) Лемма 2. При выполнении условий (2)-(4) на коэффициенты уравнения (1) и -достаточно велико, функция , удовлетворяет требованиям (14)-(16). Доказательство. Представление (37) с использованием выражения (34) преобразуем к виду: (38) Из полученного представления и условий (3) следует принадлежность функции пространству и отличие от нуля при и - достаточно велико. Таким образом, функция удовлетворяет условию (14). В качестве ветви рассмотрим функцию Из представления (38) вытекает, что при достаточно велико, и, следовательно, . Поэтому и при , что доказывает справедливость условия (15) для функции . Для доказательства условия (16) получим оценки функций, входящих в представление (17). Из условий (3) и представления (38) при и достаточно велико, имеем (39) (40) , (41) (42) Следовательно, имеет место эквивалентность . (43) Из представления (34) с учетом условия (3) легко получить оценки на функцию и ее производные при и (44) , (45) . (46) Из условий (2) при и следуют оценки , (47) (48) Представление (37) и полученные оценки (44)-(48) позволяют оценить производные функции , (49) . (50) Используя представления (17) при и оценки (49) и (50), оценим функцию следующим образом: . (51) Полученная оценка позволяет проверить выполнение условия (16) при . Пусть тогда и справедливы соотношения: (52) При справедливы соотношения: (53) Следствие 2. При выполнении условий (2)-(4), и достаточно велико, уравнение (36) имеет два линейно независимых решения , для которых справедливы асимптотические представления: (54) (55) где (56) (57) , (58) , (59) , , функции и , являются решениями систем интегральных уравнений (18) при и (19) при соответственно. Теорема. Пусть выполнены условия (2)-(4), тогда при и -достаточно велико, уравнение (1) имеет два линейно независимых решения , для которых справедливы асимптотические представления (6) и (7), где , (60) (61) (62) . (63) Доказательство. Асимптотическое представление (6) непосредственно следует из (33), (35) и (54). Действительно, (64) где а функции , определены в (8). Дифференцирование выражения (33) с учетом (8), (54), (55), (58), (59) приводит к следующим представлениям функций: и , = (65) Далее используются представления (9), (10), (61), (63) позволяющие преобразовать полученное выражение к следующему виду: = (66) Аналогичным образом выводится представление производной = . (67) Полученные представления (64), (66), (67) доказывают утверждения теоремы. Выводы. В статье доказана возможность использования асимптотического метода ВКБ для исследования вырождающегося дифференциального уравнения второго порядка, получены асимптотические представления решений и их производных первого порядка.