Theoretical analysis of ultrasound exposure pollution on a reverse osmosis membrane

Abstract

The paper considers process of ultrasonic action on pollution of reverse osmosiss membrane.

Full Text

Применение ультразвуковой обработки в сочетании с традиционными приемами очистки поверхностей технологических аппаратов [1, 2] позволяет решить многие проблемы, возникающие при эксплуатации инженерно-экологических систем, в том числе, удаление образующихся слоев на их рабочих поверхностях. При наличии колебаний давления стока имеющего плотность вблизи поверхности возможны резонансные колебания пограничного слоя на ней, которые могут привести к его срыву и, как результат, к интенсификации гидродинамических, фильтрационных и массообменных процессов. Для анализа этого явления применительно к обратноосмотическим технологиям, рассмотрим осажденную на поверхность мембраны единичную жидкую сферическую частицу радиуса R, плотностью ≥, при скольжении ее под влиянием волн УЗ-давления Р относительно объема воды в пограничном слое на мембране. Будем считать в первом приближении, что плотность потока очищаемого стока r1 (однородная по всей площади мембраны) пульсирует периодически и синхронно со скоростью частицы. Пусть Û - модуль полной скорости части на поверхности мембраны относительно потока. Тогда Û = V+V', где V - постоянная составляющая скорости, V' - пульсационная составляющая скорости. Для данного случая потенциал Φ пульсирующей скорости возмущенного движения частицы и окружающей частицу среды удовлетворяет уравнению Лапласа (1) здесь r, θ, φ - сферические координаты. При этом скорости возмущения связаны с Φ - соотношениями его определяющими ; ; . (2) Давление определяется интегралом Лагранжа-Коши, который для малых возмущений скоростей имеет вид ; , (3) где t - время. Решения (2) будем искать в виде ; , (4) где индексы 1, 2 относятся к стоку и частицам загрязнений соответственно: u, Т - модельные функции. В качестве граничных условий рассмотрим непрерывность нормальных составляющих при (5) и равенство разности давлений внутри Р1 и вне Р2 сферы поверхностному натяжению , (6) где σ - коэффициент поверхностного натяжения, Н - средняя кривизна возмущенной поверхности частицы, которая в соответствии с уравнением Пуассона может быть записана в виде , (7) где ξ - радиальное смещение поверхности, определяемое соотношением: при . (8) Так как в соответствии с (3) при сохранении осевой симметрии частицей ; (9) (штрихом обозначено дифференцирование по t), то из (8) и (9) следует, что при и при . (10) Преобразуем граничные условия. Учитывая, что продифференцируем выражение (7) при r=R с учетом (10) (11) Подставив этот результат в продифференцированное выражение (10) получим (12) Для рассматриваемого случая решение может быть представлено в виде двух взаимодействующих сферических функций [2]: ; , (13) где S - поверхностная сферическая функция, m, n - собственные числа. Подставляя (13) в (12), получим уравнение для Т2 . (14) Обозначим отношение плотностей через ρ и будем, как и ранее полагать, что ρ - гармоническая функция времени, т.е. , (15) где ρ0 - отношение средней по времени плотности потока к плотности частиц; ε - безразмерная амплитуда малых колебаний плотности среды, ω - круговая частота накладываемых колебаний плотности. Заменой переменных , приведем уравнение (14) к виду . (16) Здесь . (17) В соответствии с заменой переменных, штрихом обозначено дифференцирование по . Еще одной заменой переменных , уравнение (16) приводится к виду , (18) где ; . Так как η - есть периодическая функция времени, то уравнение (18) представляет собой частный случай уравнения Хилла - уравнение Матье. Этого результата следовало ожидать, ибо, как показано в [4], задача исследования устойчивости периодических решений нелинейных систем всегда приводит к уравнению Хилла. Следовательно, колебания поверхности загрязненной мембраны в потоке будут происходить устойчиво, (без разрыва, т.е. без разрушения осажденного слоя), если все решения (18) ограничены для всех положительных t и будет происходить срыв осажденной на мембране частицы в поток, если хотя бы одно решение (18) неограниченно. Решения (18), обладают тем свойством, что они умножаются на константу при ν, изменяющемся на величину периода ψ, т.е. , при всех z. Такие решения называют нормальными. В рассматриваемом случае в соответствии с [5] общее решение (18) представляет собой сумму нормальных решений, которые в свою очередь могут быть записаны, как произведения экспоненциальной функции и периодической функции с периодом ψ [5] , (19) где φ(х) - периодическая функция; µ - характеристический показатель, зависящий от параметров «а» и «b», и определяющий характер решения. При исследовании устойчивости колебаний частицы загрязнения на поверхности мембраны обратимся к диаграмме устойчивости решений уравнения Матье [3, 4]. Как известно, области устойчивости на этой диаграмме соприкасаются между собой в точках а=b2/4; ģ=0 (b=0, 1, 2,…, n). Эти точки соответствуют линейно независимым периодическим решениям типа ; . (20) При Z=0 все остальные периодические решения (20) стремятся к выражениям, отличающимся от (20) лишь постоянным множителем. Из (20) следует, что . (21) Этому значению x, как показано в [5], соответствует соотношение, которое справедливо для точек на границах областей устойчивости решений уравнений Матье. Для этих точек значение характеристического показателя соответствует . (22) Естественно, что разрушение слоя осажденных на мембране частиц возникает при резонансных колебаниях среды и самих частиц, а эти последние имеют собственную круговую частоту в соответствии с [6] . (23) Оценить время распада частицы можно, зная скорость нарастания колебаний ее поверхности Z. При этом нас интересует Z, соответствующее условиям резонанса. Так как радиальное смещение поверхности частицы можно записать в виде , то . (24) Откуда следует, что . Следовательно, как было отмечено в [7], в условиях резонанса собственных колебаний и внешнего потока, чем выше форма колебаний, т.е. чем больше n, тем быстрее распадается слой осажденных на мембране частиц. В соответствии с (24), используя (16), выражение для оценки времени распада слоя можно записать как , (25) где ξ0 - отклонение поверхности частицы до начала колебаний. В безразмерном виде выражение (25) можно представить как , где . (26) Выражения (25) и (26) позволяют определить отношение времени распада слоя осажденных частиц к периоду колебаний внешнего потока на резонансной частоте . (27) Отметим, что ξ0 = ξ0max, только для твердой сферической частицы. Что же касается жидкой частицы в воде, то по мере того, как происходит ее осаждение, жидкая частица приобретает характерную плоскую форму. При этом ξ0max может рассматриваться, как функция разности скоростей фаз, лобового сопротивления частицы, ее начального радиуса и теплофизических свойств. В работах [8, 9] показано, что для капельных маловязких жидкостей изменение формы частицы, т.е. ξ0max хорошо аппроксимируется экспериментальным соотношением (29) , где - число Вебера. Тогда , где . Рисунок 1. Зависимость времени дробления t частиц, осажденных в порах обратноосмотической мембраны от числа Вебера в пульсирующем потоке воды: 1 - радиус поры R=10-4 м, 2 - радиус поры R=- 10-6 м. Рассмотрим в качестве иллюстрации к изложенному, результаты расчета зависимости tрасп от We при условии, что жидкие осажденные на мембрану частицы распадаются по крайней мере на две части, т.е. n=2 Результаты расчета, для частиц, осажденных из рассола на поверхность обратноосмотической мембраны высокого давления, приведены на рисунке 1. Если учесть, что для выпускаемых промышленностью мембранных картриджей в их объеме находится одномоментное количество фильтрата около 1 дм3, то tпреб. можно оценить в ~ 10-3с. Размеры осажденных частиц будем полагать равными размерам пор обратноосмотической мембраны R≈10-4 - 10-6 м. Следовательно, при (We>2,5) все частицы гарантированно подвергнутся однократному срыву с осажденного слоя. Оценим теперь размеры частиц, подвергающихся УЗ - воздействию при разрушении осажденного слоя. Так, как при фильтрации стока на обратноосмотических мембранах температура должна быть близка к комнатной, свойства стока близки к свойствам воды (r=1 000 кг/м3, s=1,5·104н/м2), то при скорости потока V0= 0,01 - 0,05 м/c, для частиц имеющих характерный размер R≈10-4 - 10-6 м, частоты обеспечивающие срыв частицы находятся в интервале 10 - 25 кГц. Отметим, что дробление слоя частиц, возникающее в том случае, если инерционные силы превосходят поверхностное натяжение, происходит при We = (5¸7) , следовательно, при выбранных параметрах пульсационное дробление слоя весьма существенно влияет на процесс фильтрации.