Analysis of kinematic and power parameters of rolling wheel propulsor

Full Text

Основными характеристиками движителя перекатывающегося типа [1], формирующего опорную поверхность движения [2], являются кинематические, динамические и энергетические соотношения, определяющие законы движения каждого звена, а также их амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики. Поскольку плоское движение колеса перекатывающегося типа (КПТ) [3] определяется действием активных сил, являющихся потенциальными , где полная потенциальная энергия системы. В этом случае обобщенные силы можно представить в виде (1): (1) Так как потенциальная энергия есть функция положения, то имеет место равенство: , . Исходя из вышеизложенного, уравнение Лагранжа можно записать в виде (2): (2) или , . Функции обобщенных координат , обобщенных скоростей и времени представляют лагранжиан системы, определяющий её состояние. При этом система находится под действием активных потенциальных сил: . Обобщенные силы для рассматриваемой системы можно представить в виде: , , где: – обобщенный потенциал, зависящий от скорости движения системы. Тогда функция Лагранжа для рассматриваемой системы определяется как разность кинетической энергии и обобщенного потенциала: . Составим дифференциальные уравнения движения для рассматриваемой системы (рисунок 1), принимая за обобщенные координаты , , Рисунок 1. Схема формирования опорной поверхности движения колесом перекатывающегося типа Определим координаты звеньев колеса перекатывающегося типа где: В этом случае скорости первого, второго и третьего звеньев будут равны: В общем случае для рассматриваемой системы кинетическая энергия будет равна: После элементарных преобразований и введения обозначений запишем: , где: (3) С учётом обозначений: , функции и можно записать в форме (4): , , (4) где: и – коэффициенты инерции, зависящие от обобщённых координат и времени. Таким образом, рассматриваемую систему можно представить суммой квадратичной , линейной и нулевой форм относительно обобщённых скоростей: , (5) где: и – массы и скорости взаимодействующих звеньев колеса перекатывающегося типа. Уравнения Лагранжа для рассматриваемой системы (рисунок 1) будут иметь вид: , , где: – функции, однозначно определяющие положение системы: , , . В нашем случае: где: – определены, из условий (6): . (6) Отсюда имеем определитель системы (7): (7) Из (7) следует, что решение, определяющее характеристику движения системы «колесо перекатывающегося типа - опорная поверхность» по схеме рисунок 1 существует. Главные колебания КПТ складываются из колебаний вращающегося ротора электродвигателя – привода опорно-приводного устройства [1] , его корпуса и обода колеса. Запишем выражения кинетической энергии и силовой функции для расчётной схемы (рисунок 1). (8) Поскольку только один коэффициент инерции зависит от обобщенных координат , то для устойчивого положения равновесия, когда , с достаточной для практических расчетов степенью точности можно записать, что . В этом случае кинетическая энергия системы будет иметь вид (9): . (9) Потенциальную энергию разложим в ряд по степеням и и, ограничиваясь членами не старше второго порядка малости, запишем: , , тогда для малых колебаний силовая функция будет иметь вид (10): . (10) Полученные выражения кинетической энергии и силовой функции, позволяют составить уравнения Лагранжа для рассматриваемой системы. Для первой обобщенной координаты будем иметь: , . Для второй обобщенной координаты уравнения Лагранжа будут иметь следующий вид: Для третьей обобщенной координаты запишем уравнение Лагранжа в виде: , где: . После выполнения элементарных преобразований уравнения малых колебаний для схемы (рисунок 1) будут иметь следующий вид: (11) Найдём общее и частное решение полученных дифференциальных уравнений в виде: , , . Следовательно: , . Подставим значения , и в (11) и, приравняв к нулю коэффициенты при и после элементарных преобразований, получим алгебраические линейные однородные уравнения (12): (12) Эти уравнения относительно коэффициентов должны иметь решение отличное от нуля, поскольку в противном случае , что соответствует устойчивому положению равновесия (состоянию покоя), и поэтому определитель этой системы будет равен нулю. Определим главные колебания исходя из условия положительно определенной системы . Раскроем определитель и приведем частное к виду (13): (13) Так как для нашей системы то частное решение будет иметь вид (14): (14) Из (14) находим круговые частоты собственных колебаний системы: . (15) Для получения общего решения дифференциальных уравнений движения системы из (16) определим соотношения амплитуд, которое в общем случае будет равно: . (16) С учетом (16) получим: , . Выразим и : , . Исходя из вышеизложенного, можно записать общее решение дифференциальных уравнений движения рассматриваемой системы: (17) Произвольные постоянные и определяются из начальных условий. Если считать, что изначально система «колесо – опорная поверхность» находится в положении устойчивого равновесия и при этом время и , , . Из вышеизложенного следует, что в начальный момент система – обод колеса и опорно-приводной вал находятся в крайнем нижнем положении. При подведении вращающего момента к опорно-приводному валу – звено , перекатываясь по внутренней поверхности обода – звено в момент времени займет положение, при котором система под действием момента силы начнет совершать плоское поступательное движение при наличии сил трения. Продифференцируем (17) по времени: (18) С учетом начальных условий будут иметь: и для (17) Из первых двух уравнений определим . Следовательно, . Для второй пары уравнений запишем: , следовательно, , . Частное решение для начальных условий будет иметь вид: Главные колебания системы запишем в виде (19): ,,,. (19) Из (19) видно, что плоское движение системы «колесо – опорная поверхность» (рисунок 1) осуществляется с амплитудами, зависящими от соотношений радиусов и , а также от величины . Таким образом, проделанный анализ показывает, что кинематические параметры в значительной мере определяют энергоэффективность колеса перекатывающегося типа. Плоское движение КПТ совершается в основном за счёт внешнего силового гравитационного поля с применением в конструкции колеса опорно-приводного устройства, создающего момент силы путём смещения мгновенного центра давления по ходу движения транспортного средства. Возникающие при этом колебания могут войти в зону резонансных частот, которые отрицательно скажутся на плавности хода транспортного средства. Следовательно, обод колеса целесообразно выполнять из двух беговых дорожек, опорные башмаки которых должны быть смещены друг относительно друга на полшага их опорной поверхности.

About the authors

A. I Sergeev

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Email: trak vc@mami.ru
Ph.D.; +7 (495) 223 05 23 ext.1527

A. E Esakov

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Email: trak vc@mami.ru
Ph.D.; +7 (495) 223 05 23 ext.1527

S. M Kruglov

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Email: trak vc@mami.ru
+7 (495) 223 05 23 ext.1527

I. V Cherniy

Bryansk Institute of Business Administration

Email: trak vc@mami.ru
Ph.D.; +7 (495) 223 05 23 ext.1527

References

Supplementary files