Thermodynamics in weakly-dissipative Kolmogorov-Arnold-Moser theory

Full Text

Слабо-диссипативная теория Колмогорова-Арнольда-Мозера рассматривает малые возмущения гамильтоновых систем в классе всех гладких динамических систем. Таким образом, мы разрушаем интеграл динамики, задаваемый гамильтонианом, но пользуемся методами гамильтоновой механики и термодинамики для рассмотрения численных характеристик маловозмущённой системы в качестве асимптотического анализа расчётных численных данных. Простейший наиболее исследованный пример в слабо-диссипативной теории связан с «Bogdanov-map». Это отображение при подходящем выборе параметров имеет достаточно много асимптотически (не)устойчивых периодических орбит, что позволяет анализировать численные термодинамические величины на практике, сопоставляя эти результаты с пионерскими работами Клаузиуса. Нормальные формы динамических систем Выбор объектов исследования для математики и математиков был и есть основной проблемой, ввиду длительности по времени создания новых содержательных теорий (см. [6, 10, 24, 27-31, 33-45, 48-50]). Нормальные формы динамических систем дают примеры, которые репрезентативны в смысле математической статистики или теории вероятностей (см. [6, 7, 11, 24]). Первоначально они возникли в работах А.А. Андронова и его учеников в связи с развитием теории бифуркаций (см. [6, 7, 24]). На смену исследованиям XVIII-XIX столетий индивидуальных динамических систем пришло более трудное изучение семейств динамических систем, зависящих от конечного числа параметров. Другой энтузиаст теории бифуркаций В.И. Арнольд говорил: «.. На полках библиотек пылится много работ, посвящённых исследованию конкретных индивидуальных систем, но простые модельные системы сценариев потери и смены устойчивости не построены и не исследованы…». Он имел ввиду знаменитую работу А.А. Андронова, посвящённую исследованию семейства векторных полей в нелинейном модельном однопараметрическом семействе сегодня зачастую называемую бифуркацией Андронова-Хопфа. Сам В.И. Арнольд эти идеи реализовал в теории версальных деформаций линейных систем, далеко продвинув исследования Жордана по нормальным формам индивидуальных линейных операторов в конечномерном случае. Ввиду вышеизложенного на сегодняшний день существует большая математическая проблема: описание хаоса или хаотической динамики в детерминированных системах (см. [6, 8, 10, 24, 33, 35, 45]). Примеры необходимости таких исследований даёт математическая физика (см. [2-5, 27-30, 34-42]), также статистическая физика, статистическая механика, восходящие к молекулярно-кинетической теории строения вещества и связанные с именем Больцмана. Безусловно, эти феномены могут описываться гамильтоновой динамикой, но в высоких размерностях фазового пространства, где топологические дополнительные сложности затрудняют численные исследования и понимание эффектов динамики. Поэтому поиск малоразмерных репрезентативных примеров с хаотической динамикой представляет несомненный интерес (см. [1, 33]). Построение такой простейшей модели с нетривиальными свойствами апеллирует к двупараметрическому семейству динамических систем, возникающих в бифуркации Богданова-Такенса. В отличие от бифуркации Андронова, бифуркация Богданова-Такенса (см. [7, 11, 24]) описывает ситуацию, когда два собственных числа матрицы линеаризации динамической системы проходят одновременно нулевое значение. Основная модель В классической теории КАМ (см. [8], [33]) рассматриваются гамильтоновы системы в четномерном евклидовом пространстве , где: – фазовые координаты, а – сопряженные им импульсы. Гамильтониан представляется в виде: , (1) где система с гамильтонианом вполне интегрируемая (например, , где – симметричная положительно определенная матрица (см. [6, 8]). Возмущение выбирается отвечающим случаю общего положения. Таким образом, в возникает гамильтонова динамическая система следующего вида (см.[6, 8, 37]) , (2) Движение материальной точки в системе происходит на поверхности уровня: , (3) которая является гиперповерхностью в , т.е. имеет коразмерность один в случае общего положения. В слабо-диссипативной теории КАМ (см. [9-26, 46-47]) мы разрушаем интеграл (3). Другими словами, мы пишем на дифференциальное уравнение. Точнее, мы рассматриваем полупрямое произведение гамильтоновой системы (2), являющейся прямым сомножителем, на систему в проекции на . В окрестности неособого значения это эквивалентно рассмотрению динамической системы в проекции на трансверсаль к поверхности уровня гамильтониана (3). В простейшем содержательном (нетривиальном) случае такое уравнение можно представить в виде: . (4) Осталось заметить, что в окрестности нерезонансного тора вполне интегрируемой системы с гамильтонианом в уравнении (4) зависимость от можно «убить», т.е. привести систему в к прямому произведению (см. [6, 8, 33]). Ниже мы приводим результаты исследования слагаемого (4) в нормальной форме. Дискретная модель динамики Имея в виду физические приложения наших численных результатов (см. [1, 9, 10, 12-26, 32, 45, 46]), но отправляясь от идей §2, делаем следующий шаг в наших рассмотрениях. В соответствии с бифуркацией Богданов-Такенса мы систему (4) выбираем в нормальной форме (6) и исследуем её простейшую дискретную аппроксимацию в виде ломаных Эйлера в виде (5). Предварительно поясняем точку зрения математической физики. Слабо-диссипативная теория КАМ рассматривает динамику пробной частицы (или их ансамблей) в окружающей сплошной среде с коэффициентами малых сил вязкости переменного знака. Простейшая модель общего положения кусочно-линейной динамики пробной частицы (свободное прямолинейное движение с нулевым ускорением в течение постоянного шага по времени с последующим мгновенным изменением импульса) в обезразмеренном виде дается отображением , (5) где: – малые величины (см. [1]). На рисунке 1 показана зависимость ( ) энтальпии и ( ) свободной энергии (см. [3, 4, 34, 39, 40]) от центра тяжести периодической орбиты ( – энтропия, – объем (площадь), – давление, – энергия). а б Рисунок 1 – Зависимость энтальпии (а) и свободной энергии (б) от координаты центра тяжести В [1, 2] изложена связь (1) с системой на прямой: , (6) где: определяет потенциальные силы, (кинематическая вязкость), – малые величины в коэффициенте вязкости. При в системе (2) энергия имеет вид и используется выше для расчета термодинамических потенциалов (при , но в слабо-диссипативном случае). На рисунках 1 – 5 все величины обезразмерены, но уместно иметь в виду нормировку в системе (2): дно потенциальной ямы отделено от коры ангармонического потенциала на величину (характерный масштаб по оси энергий и термодинамических потенциалов); расстояние от дна потенциальной ямы до коры 1 по фазовой прямой, а нуль коэффициента трения (характерные масштабы на оси центра тяжести периодической орбиты ( , где – период орбиты)). а б Рисунок 2 – Зависимость энтропии от температуры (для асимптотически устойчивых периодических орбит (а) и для асимптотически неустойчивых периодических орбит (б) а б Рисунок 3 – Зависимость энтропии от давления для (для асимптотически устойчивых периодических орбит (а) и для асимптотически неустойчивых периодических орбит (б) а б Рисунок 4 – Зависимость энтропии от давления для асимптотически неустойчивых периодических орбит при фиксированной средней энергии (а) и для асимптотически устойчивых периодических орбит (б) В [1] объясняется, что преобразования Лежандра, т.е. переход от величины – энергии к другим термодинамическим потенциалам связан с выбором симметрии фазового портрета гамильтоновой системы с гамильтонианом . На рисунке 1 видна тенденция к квантованию величин термодинамических потенциалов. Таким образом, мы приходим к заключению, что группы симметрий проявляют тенденцию к квантованию. На рисунке 2 показана зависимость энтропии от температуры. Для асимптотически (не)устойчивой периодической орбиты температура считается из распределения Больцмана, где статистический вес принимает пропорциональным площади области захвата соответствующей орбиты. На рисунке 3 показана зависимость температуры от давления. Давление рассчитывается как работа внешних сил, делённая на изменение объёма, то есть в адиабатическом приближении. Объём здесь означает площадь области захвата асимптотически (не)устойчивой периодической орбиты. На рисунке 3б в дополнении к рисунку 3а показано распределение энтропии от давления для асимптотически неустойчивых периодических орбит в выделенном диапазоне средней энергии. Рисунок 5.– Зависимость свободной энергии от температуры (для асимптотически неустойчивых периодических орбит) На рисунке 5 показана зависимость термодинамических потенциалов свободной энергии от температуры. В заключение заметим, что пробная частица может пониматься как дефект в твердом теле, и позволяет интерпретировать результаты в задачах разрушения твердого тела (см. [2]).

About the authors

R. I Bogdanov

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Dr. Sc., Prof.

M. R Bogdanov

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Ph. D.

M. A Baranov

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

References

Supplementary files