Термодинамика в слабо-диссипативной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера
- Авторы: Богданов Р.И1, Богданов М.Р1, Баранов М.А1
-
Учреждения:
- Университет машиностроения
- Выпуск: Том 6, № 2-4 (2012)
- Страницы: 177-184
- Раздел: Статьи
- URL: https://journals.eco-vector.com/2074-0530/article/view/68419
- DOI: https://doi.org/10.17816/2074-0530-68419
- ID: 68419
Цитировать
Полный текст
Аннотация
В статье представлены результаты численного расчета основных термодинамических переменных, таких как зависимость термодинамических потенциалов от температуры и давления, а также геометрические характеристики динамики.Динамика описывается с помощью дискретной аппроксимации в виде ломаных Эйлера как семейство векторных полей, возникающих в бифуркацииБогданова-Такенса.
Полный текст
Слабо-диссипативная теория Колмогорова-Арнольда-Мозера рассматривает малые возмущения гамильтоновых систем в классе всех гладких динамических систем. Таким образом, мы разрушаем интеграл динамики, задаваемый гамильтонианом, но пользуемся методами гамильтоновой механики и термодинамики для рассмотрения численных характеристик маловозмущённой системы в качестве асимптотического анализа расчётных численных данных. Простейший наиболее исследованный пример в слабо-диссипативной теории связан с «Bogdanov-map». Это отображение при подходящем выборе параметров имеет достаточно много асимптотически (не)устойчивых периодических орбит, что позволяет анализировать численные термодинамические величины на практике, сопоставляя эти результаты с пионерскими работами Клаузиуса. Нормальные формы динамических систем Выбор объектов исследования для математики и математиков был и есть основной проблемой, ввиду длительности по времени создания новых содержательных теорий (см. [6, 10, 24, 27-31, 33-45, 48-50]). Нормальные формы динамических систем дают примеры, которые репрезентативны в смысле математической статистики или теории вероятностей (см. [6, 7, 11, 24]). Первоначально они возникли в работах А.А. Андронова и его учеников в связи с развитием теории бифуркаций (см. [6, 7, 24]). На смену исследованиям XVIII-XIX столетий индивидуальных динамических систем пришло более трудное изучение семейств динамических систем, зависящих от конечного числа параметров. Другой энтузиаст теории бифуркаций В.И. Арнольд говорил: «.. На полках библиотек пылится много работ, посвящённых исследованию конкретных индивидуальных систем, но простые модельные системы сценариев потери и смены устойчивости не построены и не исследованы…». Он имел ввиду знаменитую работу А.А. Андронова, посвящённую исследованию семейства векторных полей в нелинейном модельном однопараметрическом семействе сегодня зачастую называемую бифуркацией Андронова-Хопфа. Сам В.И. Арнольд эти идеи реализовал в теории версальных деформаций линейных систем, далеко продвинув исследования Жордана по нормальным формам индивидуальных линейных операторов в конечномерном случае. Ввиду вышеизложенного на сегодняшний день существует большая математическая проблема: описание хаоса или хаотической динамики в детерминированных системах (см. [6, 8, 10, 24, 33, 35, 45]). Примеры необходимости таких исследований даёт математическая физика (см. [2-5, 27-30, 34-42]), также статистическая физика, статистическая механика, восходящие к молекулярно-кинетической теории строения вещества и связанные с именем Больцмана. Безусловно, эти феномены могут описываться гамильтоновой динамикой, но в высоких размерностях фазового пространства, где топологические дополнительные сложности затрудняют численные исследования и понимание эффектов динамики. Поэтому поиск малоразмерных репрезентативных примеров с хаотической динамикой представляет несомненный интерес (см. [1, 33]). Построение такой простейшей модели с нетривиальными свойствами апеллирует к двупараметрическому семейству динамических систем, возникающих в бифуркации Богданова-Такенса. В отличие от бифуркации Андронова, бифуркация Богданова-Такенса (см. [7, 11, 24]) описывает ситуацию, когда два собственных числа матрицы линеаризации динамической системы проходят одновременно нулевое значение. Основная модель В классической теории КАМ (см. [8], [33]) рассматриваются гамильтоновы системы в четномерном евклидовом пространстве , где: – фазовые координаты, а – сопряженные им импульсы. Гамильтониан представляется в виде: , (1) где система с гамильтонианом вполне интегрируемая (например, , где – симметричная положительно определенная матрица (см. [6, 8]). Возмущение выбирается отвечающим случаю общего положения. Таким образом, в возникает гамильтонова динамическая система следующего вида (см.[6, 8, 37]) , (2) Движение материальной точки в системе происходит на поверхности уровня: , (3) которая является гиперповерхностью в , т.е. имеет коразмерность один в случае общего положения. В слабо-диссипативной теории КАМ (см. [9-26, 46-47]) мы разрушаем интеграл (3). Другими словами, мы пишем на дифференциальное уравнение. Точнее, мы рассматриваем полупрямое произведение гамильтоновой системы (2), являющейся прямым сомножителем, на систему в проекции на . В окрестности неособого значения это эквивалентно рассмотрению динамической системы в проекции на трансверсаль к поверхности уровня гамильтониана (3). В простейшем содержательном (нетривиальном) случае такое уравнение можно представить в виде: . (4) Осталось заметить, что в окрестности нерезонансного тора вполне интегрируемой системы с гамильтонианом в уравнении (4) зависимость от можно «убить», т.е. привести систему в к прямому произведению (см. [6, 8, 33]). Ниже мы приводим результаты исследования слагаемого (4) в нормальной форме. Дискретная модель динамики Имея в виду физические приложения наших численных результатов (см. [1, 9, 10, 12-26, 32, 45, 46]), но отправляясь от идей §2, делаем следующий шаг в наших рассмотрениях. В соответствии с бифуркацией Богданов-Такенса мы систему (4) выбираем в нормальной форме (6) и исследуем её простейшую дискретную аппроксимацию в виде ломаных Эйлера в виде (5). Предварительно поясняем точку зрения математической физики. Слабо-диссипативная теория КАМ рассматривает динамику пробной частицы (или их ансамблей) в окружающей сплошной среде с коэффициентами малых сил вязкости переменного знака. Простейшая модель общего положения кусочно-линейной динамики пробной частицы (свободное прямолинейное движение с нулевым ускорением в течение постоянного шага по времени с последующим мгновенным изменением импульса) в обезразмеренном виде дается отображением , (5) где: – малые величины (см. [1]). На рисунке 1 показана зависимость ( ) энтальпии и ( ) свободной энергии (см. [3, 4, 34, 39, 40]) от центра тяжести периодической орбиты ( – энтропия, – объем (площадь), – давление, – энергия). а б Рисунок 1 – Зависимость энтальпии (а) и свободной энергии (б) от координаты центра тяжести В [1, 2] изложена связь (1) с системой на прямой: , (6) где: определяет потенциальные силы, (кинематическая вязкость), – малые величины в коэффициенте вязкости. При в системе (2) энергия имеет вид и используется выше для расчета термодинамических потенциалов (при , но в слабо-диссипативном случае). На рисунках 1 – 5 все величины обезразмерены, но уместно иметь в виду нормировку в системе (2): дно потенциальной ямы отделено от коры ангармонического потенциала на величину (характерный масштаб по оси энергий и термодинамических потенциалов); расстояние от дна потенциальной ямы до коры 1 по фазовой прямой, а нуль коэффициента трения (характерные масштабы на оси центра тяжести периодической орбиты ( , где – период орбиты)). а б Рисунок 2 – Зависимость энтропии от температуры (для асимптотически устойчивых периодических орбит (а) и для асимптотически неустойчивых периодических орбит (б) а б Рисунок 3 – Зависимость энтропии от давления для (для асимптотически устойчивых периодических орбит (а) и для асимптотически неустойчивых периодических орбит (б) а б Рисунок 4 – Зависимость энтропии от давления для асимптотически неустойчивых периодических орбит при фиксированной средней энергии (а) и для асимптотически устойчивых периодических орбит (б) В [1] объясняется, что преобразования Лежандра, т.е. переход от величины – энергии к другим термодинамическим потенциалам связан с выбором симметрии фазового портрета гамильтоновой системы с гамильтонианом . На рисунке 1 видна тенденция к квантованию величин термодинамических потенциалов. Таким образом, мы приходим к заключению, что группы симметрий проявляют тенденцию к квантованию. На рисунке 2 показана зависимость энтропии от температуры. Для асимптотически (не)устойчивой периодической орбиты температура считается из распределения Больцмана, где статистический вес принимает пропорциональным площади области захвата соответствующей орбиты. На рисунке 3 показана зависимость температуры от давления. Давление рассчитывается как работа внешних сил, делённая на изменение объёма, то есть в адиабатическом приближении. Объём здесь означает площадь области захвата асимптотически (не)устойчивой периодической орбиты. На рисунке 3б в дополнении к рисунку 3а показано распределение энтропии от давления для асимптотически неустойчивых периодических орбит в выделенном диапазоне средней энергии. Рисунок 5.– Зависимость свободной энергии от температуры (для асимптотически неустойчивых периодических орбит) На рисунке 5 показана зависимость термодинамических потенциалов свободной энергии от температуры. В заключение заметим, что пробная частица может пониматься как дефект в твердом теле, и позволяет интерпретировать результаты в задачах разрушения твердого тела (см. [2]).×
Об авторах
Р. И Богданов
Университет машиностроенияд.ф.-м.н., проф.
М. Р Богданов
Университет машиностроенияк.ф.-м.н., доц.
М. А Баранов
Университет машиностроения
Список литературы
- Arrowsmith D.K., Cartwright J.H.E., Lansbury A.N., Place C.M. The Bogdanov-map: bifurcations, mode locking, and chaos in a dissipative system// International Journal of Bifurcation and Chaos, 1993, v. 3. № 4, p. 803-842.
- Belotserkovsrii O.V. Turbulence and Instabilities /. M: MZpress, 2003, 460p.
- Dynamic System and Turbulence, Warwick – 1980. Proceeding. Editing by D. Rand and L.S. Young. Lecture Notes in Math., p. 390.
- R.I. Bogdanov, S.N. Nagornykh and M.R. Bogdanov. New Nature of the Noise of Thermally Stimulated Electron Emission from Rods under Cyclic Torsion.: Journal of Surface Investigation, X-ray, Synchrotron and Neutron Techniques, 2007, с. 157-166.
- Альбом течений жидкости и газа: Пер. с англ. /Сост. М. Ван Дайк. М: Мир, 1986, 184 с.
- Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978, 304 с.
- Арнольд В.И. Лекции о бифуркациях и версальных семействах. // УМН, т.27, №5, 1972, с. 119-184.
- Арнольд В.И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики. Ижевск: Ижевская республиканская типография. 1999, 284 с.
- Богданов Р.И. Богданов М.Р. Турбулентность в рамках слабо-диссипативной версии теории КАМ. Тезисы докладов международной конференции «Анализ и особенности», посвященная семидесятилетию Владимира Игоревича Арнольда 20-24 августа Москва 2007, с. 35-38.
- Богданов Р.И. Нелинейные динамические системы на плоскости и их приложения. - М.: Вузовская книга, 2003. 376 с.
- Богданов Р.И. Факторизация диффеоморфизмов над фазовыми портретами векторных полей на плоскости. Функц. анализ и его приложения, т. 31, вып. 2, 1997, c. 67-70.
- Богданов Р.И., Богданов М.Р. Свойства странного аттрактора в слабо-диссипативной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера. Труды международной конференции «DIFF2008», 27 июня – 1 июля 2008. Суздаль–Владимир, Владимирский государственный университет, с. 54-55.
- Богданов Р.И., Богданов М.Р. Модель дожигания отходов в турбулентном режиме. // В сб. Экологические проблемы индустриальных мегаполюсов.: Материалы международной научно-технической конференции. Донецк-Авдеевка. 21-23 мая 2008. Донецк, ДонНТУ Министерство образования и науки Украины, 2008,с. 53-55.
- Богданов Р.И., Богданов М.Р. Статистики в слабо-диссипативной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера. Тезисы докладов международной конференции «Дифференциальные уравнения и топология», посвященная 100-летию со дня рождения А.С. Понтрягина, Москва, 17-22 июня 2008. М: Издательский отдел факультета ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова, МАКС Пресс, 2008, с. 100-101.
- Богданов Р.И., Богданов М.Р. Тепловые характеристики струйных течений в слабо-диссипативной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера. //ДАН. 2008, т.423, № 5, с. 1-4.
- Богданов Р.И., Богданов М.Р. Теплопроводность при транспорте электронного газа. // Тезисы докладов XXXVIII международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами. Под редакцией проф. А.Ф. Тулинова. М: Университетская книга, 2008, с. 36.
- Богданов Р.И., Богданов М.Р. Переход от развитой турбулентности к квазиравновесному состоянию. // Научный Вестник МГУ ГА, серия Математика и физика. № 114, 2007, с. 50-55.
- Богданов Р.И., Богданов М.Р. Слабо-диссипативная версия теории Колмогорова-Арнольда-Мозера: теория и практика расчетов. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2008, т. 48, № 3, с. 73-90.
- Богданов Р.И., Богданов М.Р. Структурообразование в слабо-диссипативной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера. // ДАН. 2008, т. 418, № 6, с. 754-758.
- Богданов Р.И., Богданов М.Р. Тепловые характеристики транспортных процессов на наноуровне. Сб. трудов научной конференции студентов, магистрантов и аспирантов МГУИЭ, 15-18 апреля 2008. М: МГУИЭ, 2008, с. 35-37.
- Богданов Р.И., Богданов М.Р. Термодинамика турбулентности в слабо-диссипативной версии теории КАМ. Сборник трудов IV Международной научно-практической конференции «Энергетические проблемы индустриальных мегаполисов», Москва, 5-7 июня 2007, МГУ ИЭ
- Богданов Р.И., Богданов М.Р., Нагорных С.Н. Механизм разрушения на локальных разогревах при циклическом кручении стержней. IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Т. III, Нижний Новгород. Изд-во Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2006, с. 40.
- Богданов Р.И., Богданов М.Р., Нагорных С.Н. Новая природа шума термостимулированной электронной эмиссии со стержней при циклическом кручении. Тезисы докладов XXXVI Международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами, М. 30 мая-1 июня 2006г. М.: Изд-во МГУ, 2006, с. 33.
- Богданов Р.И. Фазовые портреты динамических систем на плоскости и их инварианты. – М.: Вузовская книга, 2008, 428 с
- Богданов Р.И., Богданов М.Р. Новый механизм микроразрушений твердого тела. В книге «Упругость и неупругость», Материалы Международного научного симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвященный 95-летию со дня рождения А.А. Ильюшина, под редакцией И.А. Кийко, Р.А. Васин, Г.Л. Бровко, М:, ЛЕНАНД, 2006, с. 295-300.
- Богданов Р.И., Гайдученко И.В., Расторгуев В.А., Тарасов Ю.И. Спектрометрия в слабо-диссипативной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера. Тр.семинара «Время, хаос и математические проблемы». М: Книжный дом Университет , 1999, c. 203-224.
- Боголюбов Н.Н. Собрание научных трудов: в 12т. T.S.: Механика, 1939-1980 ред. И.И. Плакида, А.Д. Суханов, 2006, 804 с.
- Больцман Л. Избранные труды. Молекулярно-кинетическая теория газов. Термодинамика. Статистическая механика. Теория излучения. Общие вопросы физики. М.: «Наука», 1984, 590 с.
- Бор Н. Избранные научные труды. В двух томах. Т.1, 1970, 583 с., Т.2, 1971, 675 с., М.: «Наука».
- Бэкстер Р. Точно решаемые модели в статистической механике. М.: Мир, 1985, 488 с.
- Вишик М.И., Фурсиков А.В. Математические задачи статистической гидродинамики. М.: Наука, 1978.
- Генералов М.Б., Нагорных М.Б., Богданов М.Р., Богданов Р.И., Митрофанов А.В. Механизм микроразрушения в слабодиссепативной КАМ-теории. Сб. научных трудов МГУ ИЭ «Механика. Теплофизика. Экология», вып. 3, 2006, М.: Издательский центр МГУ ИЭ, с. 3-38.
- Заславский Г.М. Гамильтонов хаос и фрактальная динамика. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевский институт компьютерных исследований, 2010, 472 с.
- Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика. М: Изд-во иностр. лит-ры, 1955, 479 с.
- Рюэль Д. Термодинамический формализм. Математические структуры классической равновесной статистической механики. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 288 с.
- Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М: Изд-во Московского университета, 1990, 310 с.
- Капица П.Л. Научные труды. Физика и техника низких температур. М.: Наука, 1989, 460 с.
- Колмогоров А.Н. Избранные труды. Кн. 1: Математика и механика. М.: Наука, 1988.
- Ландау Л.Д. Собрание трудов. Т.1. М.: «Наука», 1969, 851 c.
- Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. М.: «Наука», 1964, 633 c.
- Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика. M.: Наука, 1983, 457 c.
- Планк М. Избранные труды. Термодинамика. Теория излучения и квантовая теория. Теория относительности. Статьи и речи. М.: «Наука», 1975, 788 с.
- Роуч П. Вычислительная гидродинамика. Перевод с англ. В.А. Гущина и В.Я. Митницкого под редакцией П.И. Чушкина. М.: Мир, 1980, 616 с.
- Седов Л.И. Механика сплошной среды. М: Наука, 1973, Т.1 536 с., Т.2. 584 с.
- Синай Я.Г. Современные проблемы эргодической теории. М.: Физматгиз, 1995, 208 с. (Современные проблемы математики, вып. 31).
- Сухаревский В.В. Бистабильные состояния в отображении Богданова. Вестник МГУ, серия «Математика. Механика», № 5. М: МГУ, 2003, с. 3-5.
- Сухаревский В.В. Оценка температуры и плотности частиц в слабо-диссипативной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера. Вестник МГУ, серия «Физика. Астрономия», № 6. М: МГУ, 2005, с. 28-29.
- Ферми Э. Термодинамика. Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1998, 163 с.
- Ферми Э. Научные труды. М.: Наука, 1972, т. II, с. 645.
- Ферми Э., Паста Дж., Улам С. Изучение нелинейных задач. В кн.: Ферми Э. Научные труды. Ч. II, 1972.