Importance of simplicial sets in quality management of technical products

Abstract

The paper shows the potential of simplicial sets of topological spaces in the quality management of technical products. At the same time the authors describe the basic issues of definition of main products required in estimating the level of quality of assessed technical products. Also shown that, as a generalized indicator in determining the quality of basic products based on simplicial sets it is possible to use the newly introduced character m which stands for geometric mean of the parameters of the simplex.

Full Text

Введение В технических приложениях симплексный метод относят к одному из методов оптимизации. В нашем случае оптимизация технических изделий (ТИ) – это повышение их качества. Уровень качества вновь созданного изделия определяют в сравнении с базовым (наилучшим) техническим изделием такого же типа. Последовательное улучшение качества оцениваемого ТИ имеет целью доведение качества оцениваемого ТИ до уровня базового. При отсутствии базовых изделий, адекватных оцениваемому ТИ, их создают искусственно (синтезируют) с помощью различных вычислительных методов. В представленном материале описан метод определения базовых изделий на основе симплициальных множеств. При наличии базового изделия мы получаем возможность сравнить качества оцениваемого и базового изделий, вычислить разницу в показателях и принять соответствующие решения, направленные на улучшение качества оцениваемого ТИ. Целью данной работы является исследование возможностей симплициальных множеств в управлении качеством технических изделий. Необходимые теоретические сведения Решение основной задачи линейного программирования (оптимизация технических параметров, решений и пр.) геометрическими методами применимо для случая до трех переменных. В случае большего числа переменных геометрическое решение задачи невозможно, поэтому для решения основной задачи линейного программирования используют аналитические методы, основным из которых является симплекс-метод. В нашем случае объектом оптимизации является одна переменная – целевая функция достижения наивысшего качества технического изделия, описываемая выражением: Qоц.→ Qбаз.=1,0. В соответствии с ним качество оцениваемого технического изделия должно стремиться к наилучшему качеству – качеству базового изделия равного 1,0. Поэтому в качестве инструмента оптимизации параметров качества оцениваемых технических изделий применим объекты топологических пространств – симплициальные многогранники и полиэдры. С точки зрения евклидового пространства (Rп) симплекс – п-мерный многогранник, являющийся выпуклой оболочкой п+1 точек (вершин симплекса), которые не лежат в (п—1)-мерной плоскости. При п=0, 1, 2, 3 симплекс представляет собой точку, отрезок линии, треугольник, тетраэдр. Указанные симплексы расположены в соответствующих пространствах: нульмерном, одномерном, двумерном или трехмерном. Начиная с симплекса тетраэдр, выпуклая оболочка линейно независимого подмножества евклидового пространства называется евклидовым симплексом [1]. С точки зрения топологического пространства, в любом топологическом пространстве Х имеются симплициальные множества (сингулярные симплексы), т.е. непрерывные отображения σ: ∆п→Х, где ∆п – п- мерный геометрический стандартный симплекс. Геометрический п- мерный стандартный симплекс описан выражением [2]: . (1) Эта формула означает следующее: п – мерный геометрический стандартный симплекс представляет собой подмножество точек ti евклидова пространства размерностью п+1, геометрическая сумма точек ti равна 1, размерность точек ti 0…1.0. Симплициальный образ технического изделия С нашей точки зрения симплициальный образ технического изделия можно представить прямоугольной призмой, показанной на рисунке 1. Если изделие состоит из одной сборочной единицы, то β0 – β1 – шкала весомостей деталей, Qизд.(1-2,1-3) – качество сборочной единицы, – качества деталей, входящих в эту сборочную единицу. Если изделие состоит из нескольких сборочных единиц, то обозначают качества сборочных единиц, входящих в это изделие, то β0 – β1 – шкала весомостей сборочных единиц, остальные понятия и принципы такие же, как и в случае одной сборочной единицы. Рисунок 1 – Геометрический образ изделия, представляющего собой одну или несколько сборочных единиц Симплициальный образ изделия по рисунку 1 представляет собой исходный симплекс. Этот симплекс является начальным пунктом алгоритма поиска базового симплекса, описывающего базовое техническое изделие. Параметры исходного симплекса: мерность -4, символ –тетраэдр, геометрическая фигура – прямоугольная пирамида, нульмерных вершин Nв= 4, одномерных ребер Nр =6, двумерных граней (плоскостей) Nгр =4, m=4.57 – среднее геометрическое параметров симплекса: . (2) После каждой итерации (переход к симплексу следующего более высокого уровня) получаются многогранники, имеющие каждый раз количество вершин больше на единицу. Итерации симплексов описывают логический процесс совершенствования технических изделий. Принцип улучшения качества ТИ на основе итераций симплексов состоит в повышении мерности и типа симплекса в сторону увеличения. Качество оцениваемых ТИ при совершенствовании конструкции стремится к качеству базового изделия, так как качество базовых ТИ всегда выше качества оцениваемых. Усложнение симплексов (повышение качества ТИ) нужно вести до тех пор, пока качество оцениваемого ТИ не достигнет качества базового образца. Таким образом, поиск базового симплекса, олицетворяющего качество базового ТИ и описанного формулой п-мерного геометрического стандартного симплекса, состоит в переборе вершин выпуклой области п-мерного пространства исходного симплекса до точки, в которой целевая функция достигает максимума, т.е. . На рисунке 2 представлен процесс образования симплексов последовательных мерностей. Пунктирными линиями обозначены качества деталей или сборочных единиц, которые с каждой итерацией увеличивают свои значения. Повышение качества каждого последующего изделия определяется тем, что исходный симплекс (расположенный в трехмерном пространстве) итерируется в симплекс, расположенный в пространстве, который является базовым, т.е. Rn+i, где п + i – мерность конечного (базового) симплекса. В результате ранее проведенных исследовательских работ [3] было получено, что качество ТИ тесно связано с символьной группой , где – символ Шлефли (количество p – угольных граней, q – гранных углов), m – среднее геометрическое параметров симплекса: (3) Рисунок 2 – Итерации симплексов, сопровождающиеся повышением мерности (качества) технических изделий Символы Шлефли учтены в символе m , поэтому в дальнейшем мы оперируем только этим символом. В таблице 1 представлены характеристики симплексов, следующих за исходным (тетраэдром). Эти симплексы необходимы для поиска базового симплекса. Таблица 1 Параметры симплексов (количество вершин, ребер, граней и их m - среднее геометрическое) Базовый симплекс находят путем итераций исходного симплекса до тех пор, пока не будет найден симплекс с качеством, близким 1.0, т.е. будет выполнено условие . Качество базового изделия находят по формуле: , (4) где: mбаз и mоц – средние геометрические параметров базового и оцениваемого симплексов соответственно. Симплексы, у которых Qбаз.>1.0 в расчеты не принимаются, так как квалиметрическое качество технических изделий не может быть больше 1.0. В таблице 2 показан принцип поиска базового симплекса для оцениваемого технического изделия «Ролик», качество которого Qоц=0.43. Таблица 2 Поиск (итерации) базового симплекса для оцениваемого изделия «Ролик» Базовым симплексом (базовым изделием) для изделия «Ролик» является симплекс Пентатоп (пятивершинник) с качеством Qбаз.=0.746, симплекс Гексатоп (шестивершинник) с качеством Qбаз.= 1.14 (Qбаз.>1.0), не может являться базовым симплексом. Выводы 1. Каждое техническое изделие совершенствуется поэтапно, постепенно приближаясь по качеству к базовому, равному Qбаз.≈1.0. 2. При наличии базового значения качества мы получаем возможность сравнения качеств оцениваемого и базового изделий с целью принятия управляющих решений, касающихся улучшения качества оцениваемого ТИ. 3. Зная уровень качества базового изделия, конструктор может оценить, насколько близка разработанная конструкция к оптимальной, имеет ли смысл дальнейшая работа над повышением ее качества.