Moment theory of wedge

Abstract

The article describes the different types of loading of a wedge in the process of work, considers the forces acting on a wedge for the various types of loads and proposes the method of accounting of appearing loads.

Full Text

В технологическом оборудовании, станках, механизмах имеется целый ряд узлов, перемещаемых при работе по клиновым направляющим скольжения. Для их привода необходима информация по определению сил сопротивления перемещению, влиянию параметров клиновой пары. В работе [1], названной пространственной теорией клина, по существу решалась лишь частная краевая задача на примере нагружения короткого клина. Не исследовалось расположение сдвигающей нагруженный клин силы для случая, продолжительного по длине контакта, пренебрегалось эксцентриситетом действия этой силы по отношению к силам трения, неправомерно оценивалось действие нормальных сил как результата изменения только контактных деформаций, излишне упрощенной была принята расчетная модель. Однако решение поставленной задачи имело большое прикладное значение, поэтому целесообразно продолжить начатое исследование и внести уточнения с тем, чтобы в общем случае рассмотреть действительную пространственную теорию нагружения клина, помещенного в клиновую канавку основания (рисунок 1а). При этом возможны два случая: первый – основание неподвижно, под действием осевой силы сдвигается клин (рисунок 1б), второй – клин неподвижен, под действием осевой силы сдвигается основание (рисунок 1в). Рисунок 1 – Схемы работы клиновой пары Рассмотрим предельный случай – полное осевое скольжение клина в канавке основания. При этом предполагаем клин как гомогенное тело, материал которого подчиняется закону Гука. Действие силы рассматриваем со стороны реакции клина. В поперечном сечении, т.е. плоскости , предполагаем, что точкой приложения равнодействующей сдвигающих сил является центр тяжести площади плоской фигуры (точка на рисунке 2). Рисунок 2- Расчетная схема Учтем размеры сечения клина, указанные на рисунке 2. К ним, определяющим форму симметричной трапеции, относят длину любого промежуточного слоя на расстоянии от верхнего основания (1) координату точки , отсчитываемую от верхнего основания , . (2) Под действием сил (рисунок 1а), вдавливающих клин в канавку основания, происходит поперечное сжатие его слоев. Предположим, что форма клина при этом сохранится и абсолютная деформация сжатия слоев будет одинаковой по всей высоте сечения . В результате напряжения сжатия при постоянстве модуля упругости для клина как анизотропного тела могут быть определены следующим образом: , (3) тогда , (4) т.е. имеем гиперболический закон изменения , показанный на рисунке 2 пунктирной линией: (5) при , а при . Для упрощения дальнейших расчетов удобнее гиперболический закон лианезировать (показан на рисунке 2 пунктиром), а в полученной трапеции определять координату центра тяжести , т.е. центр давления (точка ), от нижнего основания (рисунок 2) в аналогичном (1) виде: , (6) или после упрощения: . (7) Окончательно эксцентриситет (рисунок 2) точек приложения равнодействующих сил составит: . (8) Если учесть, что равнодействующая сил отпора материала клина сжатию приложена в точке (рисунок 2), то она с учетом коэффициента трения определит и силу трения , препятствующую продольному сдвигу клина в канавке основания, причем направление этой силы всегда противоположно направлению скольжения. Наличие эксцентриситета создает пару сил или момент, изменяющий вдавливание клина от начального действия (рисунок 1). Для рисунка 1б, когда клин скользит в канавке неподвижного основания, сила трения направлена против его скольжения (рисунок 3а), и создаваемый момент пары сил стремится дополнительно вдавить клин в канавку. В противоположном случае (рисунок 1в), когда клин неподвижен, а скользит основание, направление сил меняется (рисунок 3б), и создаваемый момент стремится выдвинуть клин из канавки. Таким образом, действие момента искажает процесс начального вдавливания клина в канавку основания и требует отдельного изучения. Выделим из клина элемент (рисунок 3). Проведем силовой анализ для случая полного скольжения клина в канавке основания (рисунок 4). а б Рисунок 3-Схема действия пары сил а) б) в) Рисунок 4 – Силовой анализ На рисунке 4а показана схема действия сил на каждом из контактов клина. Из нее следует, что суммарная сила трения на элементе составит: , (9) где: – приведенный коэффициент трения; (10) – интенсивность силы от действующего момента (рисунок 4б). Естественно, что в рассматриваемом случае суммарная в двух контактах сила трения равна сдвигающей клин силе . Для нахождения используем преобразование Кельвина [2], дающего статически эквивалентную замену действия момента (рис. 4в), согласно которому , где: – фиктивная перерезывающая сила. В результате: . (11) Аналогичная зависимость приводится и в [3]. Возвращаясь к уравнению (9), с учетом (11) получаем исходное дифференциальное уравнение: . (12) Решение уравнения (12) проводим следующим образом: обозначим и подставим в (12), тогда: или , (13) что после интегрирования приводит к уравнению: , (1) где: – константа интегрирования. Проведя потенциирование, получаем: . (14) В начале контакта клина с основанием, т.е. при , сила равна суммарной силе сопротивления движению . В то же время можно положить при и . В итоге из (14) следует, что , и тогда окончательно имеем: . Интегрирование этого уравнения приводит к результату: . (15) Отсюда следует, что при имеем . Дополнительная роль момента при оценивается прибавкой к составляющей в скобках формулы (15), т.е. к увеличению силы сопротивления движению клина, характерному для исполнения, приведенного на рисунке 1б. В случае исполнения, приведенного на рисунке 1в, эта составляющая уменьшает силу сопротивления движению клина. В настоящее время ведется подготовка эксперимента для практического подтверждения предложенной теории.