Prediction of remaining lifetime of constructions and machine elements

Abstract

There are suggested effective methods of solving the task about prediction of remaining lifetime according to statistical information on faults; and calculated cumulated damage models.

Full Text

Такая задача обычно возникает в ситуациях, когда по предварительным экспертным или расчетным оценкам или по ряду диагностических признаков выявляется, что ресурс объекта близок к исчерпанию, а продление срока его эксплуатации на некоторое время может дать значительный экономический эффект. При этом имеется в виду, что в расчетных моделях по оценке ресурса учитывают только наиболее нагруженные режимы работы и принимают минимальные прочностные характеристики материалов. Кроме того, такие расчеты часто носят лишь сравнительный характер, и поэтому действительное техническое состояние объекта на данный момент времени эксплуатации может значительно отличаться от расчетного. Прогнозирование остаточного ресурса можно осуществить только для конкретных объектов по их индивидуальному техническому состоянию. При этом понятие «техническое состояние» может трактоваться в широком смысле – от факта того, что на данный момент времени отказа не произошло (хотя он и мог бы произойти, если судить по имеющимся статистическим данным), до установления детализированного действительного технического состояния объекта, определяемого по большому числу диагностических признаков. Рассмотрим наиболее типичные ситуации и расчетные модели по прогнозированию остаточного ресурса. 1. Прогнозирование остаточного ресурса по статистической информации об отказах Пусть имеется информация о ресурсе в виде плотности f (t) и интегральной функции F(t) распределения вероятностей или функции p(t) = 1 – F(t) для времени t безотказной работы, а о техническом состоянии объекта известно лишь то, что на данный момент времени отказа не произошло. Требуется установить закон распределения вероятностей остаточного ресурса Т, отсчет которого производится от момента времени t = (рисунок 1). Рисунок 1 Поскольку вероятность безотказной работы в течение времени (+T ) равна произведению вероятности такой работы на интервале времени Т (при условии, что уже отработано время ), и вероятности такой работы за время то (1) Определив γ%-ный остаточный ресурс Тγ как решение уравнения р(Тγ /) = γ, получаем уравнение для определения величины Тγ: (2) Этот результат также можно получить следующим образом. Поскольку плотность распределения вероятностей остаточного ресурса можно представить в виде (см. рисунок 1) (3) где , если коэффициент нормировки то (4) Интегрируя (4) по Т в пределах от Тγ до ∞, приходим к соотношению (2). В соответствии с (4) интегральная функция распределения вероятностей остаточного ресурса определяется по формуле: . (5) Остаточный γ%-ный ресурс можно найти из равенства , (6) которое с учетом (5) принимает вид соотношения (2). Тогда ожидаемое значение остаточного ресурса определяется как: Рассмотрим примеры расчета остаточного ресурса. Пример 1 Пусть рассеивание времени безотказной работы отсутствует и отказ происходит точно в момент времени t0. Тогда: где: – дельта-функция. Подставив это выражение в (4), получаем плотность распределения вероятностей остаточного ресурса в виде: т.е. в рассматриваемом случае остаточный ресурс T = t0 – , что и следовало ожидать. Пример 2 Пусть время безотказной работы описывается законом Вейбулла с плотностью распределения вероятностей: (7) интегральной функцией распределения вероятностей: (8) и функцией надежности: (9) где: b и t0 – параметры. Требуется оценить остаточный ресурс Т при условии, что объект уже отработал время . Подставив выражения (7) – (9) в (4) и (5), определяем плотность и интегральную функцию распределения вероятностей остаточного ресурса: (10) . (11) Из соотношения (2) для рассматриваемого случая находим γ%-ный остаточный ресурс: (12) Необходимо отметить, что при b = 1 (в случае экспоненциального закона распределения вероятностей ресурса) остаточный ресурс не зависит от предварительной наработки . Этот случай является полной противоположностью описанной в примере 1 ситуации. В связи с этим следует отметить, что рассеивание времени безотказной работы при гауссовых стационарных процессах нагружения описывается экспоненциальным законом распределения вероятностей. Это приводит к выводу, что для таких процессов (если надежность определяется по внезапным отказам) время предварительной наработки не влияет на надежность последующего функционирования системы. 2. Прогнозирование остаточного ресурса по расчетным моделям накопления повреждений В изложенном выше подходе к прогнозированию остаточного ресурса закон распределения вероятностей времени безотказной работы считался заданным. Рассмотрим ситуацию, когда этот закон необходимо найти на стадии проектирования и расчета. Для решения такой задачи можно использовать различные модели, отражающие изменение параметров технического состояния в результате постепенного накопления усталостных повреждений. С помощью этих моделей могут быть описаны такие физические процессы, как износ, коррозия и т.п., приводящие к отказам. Рассмотрим в качестве примера простейшую линейную случайную веерную функцию изменения технического состояния (рисунок 2) вида: (13) где скорость k изменения показателя технического состояния х является случайной величиной с заданной функцией распределения вероятностей Fk(k). Рисунок 2 Отметим, что к виду (13) можно привести ряд нелинейных функций. Так, функции приводятся к виду (13) путем введения новых переменных: Полагая, что отказ происходит в момент достижения процессом x(t) предельно допустимого уровня , для определения ресурса получаем выражение (14) из которого следует, что ресурс является функцией случайного параметра k. В соответствии с методами определения закона распределения вероятностей функции случайного аргумента функцию распределения вероятностей времени безотказной работы можно найти по функции Fk (k): . (15) В случае, когда величина k описывается законом распределения вероятностей Вейбулла с функцией (16) где: k и b – параметры, (17) где: Пусть – время предварительной наработки. Тогда, подставив выражение (17) в (2), определяем γ%-ный остаточный ресурс: . (18) где: Если функция (13) описывает процесс накопления усталостных повреждений, параметр k представляет собой скорость накопления усталостных повреждений можно определить как (19) где: N0, ψ, σ –1, m – параметры поверхности усталости; σа, σm – амплитудные и средние напряжения циклов; – средний интервал времени между нагружениями. Вероятностные характеристики параметра k зависят от случайных величин, входящих в соотношение (19); они могут быть найдены как вероятностные характеристики функции со случайными аргументами. В рамках описанной модели также можно рассмотреть случай, когда опасный уровень повреждения характеризуется статистическим рассеиванием и (или) со временем изменяется (например, уменьшается вследствие старения материала или влияния других подобных факторов). Если этот уровень является случайным и описывается плотностью распределения вероятностей соотношение типа (18) следует рассматривать как условное выражение, получаемое при фиксированных значениях . Переходя к безусловным величинам, получим (20) Таким образом, γ%-ный ресурс может быть определен с учетом накопления усталостных напряжений.